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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5-4 數(shù)列求和課時(shí)作業(yè) 文 一、選擇題 1．(xx年高考大綱全國(guó)卷)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項(xiàng)和等于(　　) A．－6(1－3－10)　　　　　　 B.(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 解析：由3an＋1＋an＝0，得＝－，故數(shù)列{an}是公比q＝－的等比數(shù)列． 又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝ ＝3(1－3－10)． 答案：C 2．?dāng)?shù)列1 ，3 ，5 ，7 ，…，(2n－1)＋的前n項(xiàng)和Sn的值等于(　　) A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－ 解析：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(2n－1)＋， 則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－. 答案：A 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)，且S25＝100，則a12＋a14等于(　　) A．16 B．8 C．4 D．不確定 解析：由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)，可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，由S25＝＝100，解得a1＋a25＝8，所以a1＋a25＝a12＋a14＝8. 答案：B 4．已知數(shù)列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，那么數(shù)列{bn}＝的前n項(xiàng)和Sn為(　　) A. B. C. D. 解析：an＝＝，∴bn＝＝＝4， ∴Sn＝4 ＝4＝. 答案：B 5．已知數(shù)列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2 013項(xiàng)之和S2 013等于(　　) A．1 B．2 010 C．4 018 D．0 解析：由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1. 故數(shù)列的前n項(xiàng)依次為2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.由此可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為6，且S6＝0.∵2 013＝6335＋3，∴S2 013＝S3＝4 018. 答案：C 二、填空題 6．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝3，a4＝81，若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝log3an，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝________. 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝33n－1＝3n，故bn＝log3an＝n， 所以＝＝－. 則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 答案： 7．對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________. 解析：∵an＋1－an＝2n， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2 ＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2. 答案：2n＋1－2 8．(xx年青島模擬)已知函數(shù)f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________. 解析：因?yàn)閒(n)＝n2cos(nπ)，所以 a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)] f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝＝5 050， f(2)＋…＋f(101)＝22－32＋42－…－992＋1002－1012 ＝(22－32)＋(42－52)＋…＋(1002－1012) ＝－5－9－…－201＝＝－5 150， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)] ＝－5 150＋5 050＝－100. 答案：－100 三、解答題 9．(xx年高考湖南卷)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1≠0,2an－a1＝S1Sn，n∈N*. (1)求a1，a2，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和． 解析：(1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a. 因?yàn)閍1≠0，所以a1＝1. 令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2. 當(dāng)n≥2時(shí)，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1兩式相減，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1. 于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． 因此，an＝2n－1.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1(n∈N*)． (2)由(1)知，nan＝n2n－1.記數(shù)列{n2n－1}的前n項(xiàng)和為Bn， 于是Bn＝1＋22＋322＋…＋n2n－1，① 2Bn＝12＋222＋323＋…＋n2n.② ①－②，得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n2n ＝2n－1－n2n. 從而B(niǎo)n＝1＋(n－1)2n(n∈N*)． 10．(xx年臺(tái)州模擬)在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n＋2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n＋2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令an＝lg Tn，n≥1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝tan antan an＋1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解析：(1)設(shè)t1，t2，…，tn＋2構(gòu)成等比數(shù)列，其中t1＝1，tn＋2＝100， 則Tn＝t1t2…tn＋1tn＋2，① Tn＝tn＋2tn＋1…t2t1，② ①②并利用titn＋3－i＝t1tn＋2＝102(1≤i≤n＋2)，得 T＝(t1tn＋2)(t2tn＋1)…(tn＋1t2)(tn＋2t1)＝102(n＋2)，Tn＝10n＋2， ∴an＝lg Tn＝n＋2，n≥1. (2)由題意和(1)中計(jì)算結(jié)果，知 bn＝tan(n＋2)tan(n＋3)，n≥1. 另一方面，利用 tan 1＝tan[(k＋1)－k]＝， 得tan(k＋1)tan k＝－1. 所以Sn＝bk＝tan(k＋1)tan k ＝ ＝－n. B組　高考題型專(zhuān)練 1．(xx年高考北京卷)已知{an}是等差數(shù)列，滿(mǎn)足a1＝3，a4＝12，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}為等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． 解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得d＝＝＝3. 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)． 設(shè)等比數(shù)列{bn－an}的公比為q，由題意得q3＝＝＝8，解得q＝2. 所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1. 從而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)． (2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)． 數(shù)列{3n}的前n項(xiàng)和為n(n＋1)，數(shù)列{2n－1}的前n項(xiàng)和為1＝2n－1. 所以，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為n(n＋1)＋2n－1. 2．(xx年高考安徽卷)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*. (1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)設(shè)bn＝3n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解析：(1)證明：由已知可得＝＋1，即－＝1. 所以是以＝1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)得＝1＋(n－1)1＝n，所以an＝n2. 從而bn＝n3n. Sn＝131＋232＋333＋…＋n3n， ① 3Sn＝132＋233＋…＋(n－1)3n＋n3n＋1. ② ①－②得，－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n3n＋1 ＝－n3n＋1＝， 所以Sn＝. 3．(xx年高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 解析：(1)方程x2－5x＋6＝0的兩根為2,3，由題意得a2＝2，a4＝3. 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，從而a1＝. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋1. (2)設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，由(1)知＝，則 Sn＝＋＋…＋＋， Sn＝＋＋…＋＋. 兩式相減，得Sn＝＋－＝＋－. 所以Sn＝2－. 4．(xx年高考湖南卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和． 解析：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n. (2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T(mén)2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 5．(xx年高考山東卷)在等差數(shù)列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1與a4的等比中項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝a，記Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn. 解析：(1)由題意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， 即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)， 解得a1＝2， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n. (2)由題意知bn＝a＝n(n＋1)， 所以Tn＝－12＋23－34＋…＋(－1)nn(n＋1)． 因?yàn)閎n＋1－bn＝2(n＋1)， 可得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝Tn－1＋(－bn)＝－n(n＋1)＝－. 所以Tn＝