《數(shù)學(xué)：51《任意角及其度量》弧度制教案（滬教版高中一年級 第二學(xué)期）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)：51《任意角及其度量》弧度制教案（滬教版高中一年級 第二學(xué)期）（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 5.1(2) 弧度制 一、教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)課的內(nèi)容主要是學(xué)習(xí)角的一種新的度量.弧度制與角度制一樣，只是度量角的一種方法，但由于學(xué)生有先入為主的想法，所以學(xué)起來有一定的困難.本堂課首先必須清楚1弧度的概念，它與所在圓的半徑大小無關(guān).其次弧度制與角度制相比有一定的優(yōu)點，一是在進(jìn)位上角度制在度、分、秒上是60進(jìn)制，而弧度制卻是十進(jìn)制，其二在弧長和扇形的面積的表示上弧度制也比角度制簡單. 在教學(xué)時，可通過弧度制與角度制對比來分析、說明應(yīng)用弧度制的度量方法比應(yīng)用角度制的度量方法更具有優(yōu)越性. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計 (1) 理解弧度的意義，能正確地

2、進(jìn)行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)； (2) 了解角的集合與實數(shù)集R之間可以建立起一一對應(yīng)的關(guān)系； (3) 掌握弧度制下的弧長公式，會利用弧度解決某些簡單的實際問題； (4) 在理解弧度制定義的基礎(chǔ)上，領(lǐng)會弧度制定義的合理性； (5) 通過學(xué)習(xí)，理解并認(rèn)識角度制與弧度制都是對角度量的方法，二者是辯證統(tǒng)一的. 三、教學(xué)重點及難點 重點：理解弧度制引入的必要性，掌握定義，能熟練地進(jìn)行角度制與弧度制的互化． 難點：弧度制定義的理解． 四、教學(xué)流程設(shè)計 實例引入 概念辨析 鞏固練習(xí) 總結(jié)提煉 作業(yè)及反饋 拓展與思考 五、教學(xué)過程設(shè)計

3、 一、情景引入 回顧：我們在平面幾何中研究角的度量，當(dāng)時是用度作為單位來度量角，的角是如何定義的？ 我們規(guī)定把周角的作為度的角． 把用度作為單位來度量角的制度叫做角度制. 例：已知三角形中兩個內(nèi)角分別為，，求它的另一個內(nèi)角的大小. 在角度制下，當(dāng)把兩個帶著度、分、秒各單位的角相加、相減時，由于運算進(jìn)率非十進(jìn)制，給我們帶來不少困難．那么我們能否重新選擇角的單位，使在該單位制下兩角的加、減運算與常規(guī)的十進(jìn)制加減法一樣去做呢？本節(jié)課就來嘗試選擇這種新單位． 二、學(xué)習(xí)新課 1、概念形成 n 弧度制的定義 我們把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，如圖1，弧的長

4、等于半徑，弧所對的圓心角就是弧度的角，弧度制的單位符號是，讀作弧度． 圖1 的弧度數(shù) 的弧度數(shù) 提問：若弧是一個半圓，則其圓心角的弧度數(shù)是多少？ 若弧是一個整圓，則其圓心角的弧度數(shù)是多少？ 因為半圓的弧長，其圓心角的弧度數(shù)是，同理，若弧是一個整圓，其圓心角的弧度數(shù)是． 　　在到的角的弧度數(shù)必然適合不等式，角的概念推廣后，弧的概念也隨之推廣，任一正角的弧度數(shù)都是一個正數(shù)．如果圓心角表示一個負(fù)角，且它所對的弧長，則這個圓心角的弧度數(shù)是，由此我們給出弧度制的定義：一般地， 正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0；角的弧度數(shù)的絕對值，其中是以角

5、作為圓心角時所對的弧長， 是圓的半徑，這種以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制． 提問：為什么可以用弧長與其半徑的比值來度量角的大小呢？ 即這個比值是否與所取的圓的半徑大小無關(guān)呢？ （易證以角為圓心角所對的弧長與其半徑的比值，由的大小來確定，與所取的半徑大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．） 因為，可以得到，那弧長等于圓弧所對圓心角的弧度數(shù)的絕對值與半徑的積，這個公式比采用角度制時相應(yīng)公式要簡單． 問題：試用角的弧度數(shù)表示扇形的面積公式. 扇形面積公式：. 2、角度制與弧度制的互化 用“弧度”與“度”去度量每一個角時，除了零角以外，所得到的量數(shù)都是不同的，但它們既然是度量同一個

6、角的結(jié)果，二者就可以相互換算．我們已經(jīng)知道：若弧是一個整圓，它的圓心角是周角，其弧度數(shù)是，而在角度制里它是，因此，兩邊除以2，得若將等式兩邊同除以180，得； 同理，若將等式兩邊同除以，得（即） 例1：把角化為弧度制. 答：. 例2：把角化為角度制. 答：. [說明]在進(jìn)行角度制與弧度制互化時要抓住這個關(guān)鍵． 下面請大家寫出一些特殊角的弧度數(shù)． 角度 弧度 按從左至右順序其答案是：、、、、、、、、、、．今后我們用弧度制表示角的時候，“弧度”二字或“”通常省略不寫，而

7、只寫相應(yīng)的弧度數(shù)．例如：角就表示是弧度的角，就表示弧度的角的余弦，即． 例3：計算下列各式的值 (1) (2) (精確到) 答： (1) ； 　?。?）. [說明]第（2）小題使用計算器計算，教師可提醒學(xué)生注意計算器的設(shè)置，需根據(jù)問題，選擇角度制還是弧度制. 3、角度制與弧度制的比較 引進(jìn)弧度制后，我們應(yīng)將它與角度制進(jìn)行比較，同學(xué)們應(yīng)明確：① 弧度制是以“弧度”為單位度量角的制度，角度制是以“度”為單位度量角的制度；② 弧度是等于半徑長的圓弧所對的圓心角（或該弧）的大小，而是圓的所對的圓心角的大??；③ 不論是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與半徑大小無關(guān)的定

8、值． 4、角的集合與實數(shù)集R之間的一一對應(yīng) 正角 零角 負(fù)角 正數(shù) 零 負(fù)數(shù) 用弧度制來度量角，實際上是在角的集合與實數(shù)集R之間建立這樣的一一對應(yīng)關(guān)系（如圖2所示）． 圖2 　　每一個角都有唯一的一個實數(shù)（即這個角的弧度數(shù)）與它對應(yīng)；反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角（角的弧度數(shù)等于這個實數(shù)）與它對應(yīng)． 　　[說明]以后我們將要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，它的自變量的意義可以有多種解釋，從而使三角函數(shù)的應(yīng)用更加廣泛，在數(shù)學(xué)與科學(xué)研究中普遍采用弧度制，這是重要的原因之一． 例4：下列各角中哪幾個是第二象限角？ (1) (

9、2) (3) (4) (5) (6) 答：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 從而可知(2)、(4)、(5)所給的角在第二象限內(nèi). 說明：① 用弧度制表示終邊重合的角的方法； ② 把一角化為形式，其中，從而可判斷角所在的象限． ③ 在同一問題求解過程中，兩種單位不能混用，如 寫法不妥． 例5：填空 (1) 在內(nèi)與終邊重合的角是___________. (2) 圓的弧長等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長，則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)是___________. (3) 在扇形中，，弧長

10、為，則此扇形內(nèi)切圓的面積是___________. 答：(1) ；(2) ；(3). 三、鞏固練習(xí) 練習(xí)5.1（2） 四、課堂小結(jié) （1）弧度制的定義； （2）弧度制與角度制之間的互化（）； （3）扇形弧長公式：，扇形面積公式：； （4）掌握用弧度制表示終邊重合的角； （5）理解弧度制的思想. 五、課后作業(yè) 練習(xí)冊 P13－15 習(xí)題5.1 A組 1.(2)，3，4，5，7 習(xí)題5.1 B組 3，4 六、教學(xué)設(shè)計說明 1、 要使學(xué)生理解弧度制與引入弧度制的必要性.弧度制與角度制一樣，只是度量角的一種方法，但由于學(xué)生有先入為主的想法，所以學(xué)起來有一定的困難. 首先必須清楚1弧度的概念，它與所在圓的半徑大小無關(guān).其次弧度制與角度制相比有一定的優(yōu)點，一是在進(jìn)位上角度制在度、分、秒上是六十進(jìn)制，而弧度制卻是十進(jìn)制；其二在弧長和扇形的面積的表示上弧度制也比角度制簡單. 在教學(xué)時，通過弧度制與角度制對比分析、說明應(yīng)用弧度制的度量比應(yīng)用角度制的度量方法具有優(yōu)越性； 2、 關(guān)于弧度制與角度制之間互化，教學(xué)時要抓住這個關(guān)鍵引導(dǎo)學(xué)生. 3、 教學(xué)應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)在同一式中，所采用的單位必須一致.