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2019-2020年高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試題 理 本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。 2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。 3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。 4．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。 參考公式：錐體體積公式,其中S為錐體的底面積，為錐體的高. 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．已知集合，那么集合為 　A． B． C． D． 2．若復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．函數(shù)的一條對(duì)稱軸為 A. B. C. D. 4．已知向量的夾角為120，，且，則 A．6 B．7 C．8 D．9 - 5．函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象為 6．閱讀如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果的值為 A．0 B． C． D． 7．已知橢圓與雙曲線 共焦點(diǎn)，設(shè)它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為， 且，則雙曲線的漸近線方程為 A． B． C． D． 8．若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 A．8 B． C．2 D. 二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分． （一）必做題（9～13題） 9．已知是等差數(shù)列，，，則該數(shù)列前10項(xiàng)和 ． 10．一個(gè)幾何體的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖都是邊長(zhǎng)為的等邊 三角形，俯視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為 . 11．不等式的解集是 ． 12．從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法有 種（用數(shù)字作答）． 13．給出下列四個(gè)命題： ①已知服從正態(tài)分布，且，則； ②“”的一個(gè)必要不充分條件是“”； ③函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為； ④命題；命題．則命題“”是假命題． 其中正確命題的序號(hào)是 ． （二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題） 14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)中，圓與直線相交所得的弦長(zhǎng)為 . 15．（幾何證明選講選做題）如圖，⊙是的外接圓，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連結(jié)交⊙于點(diǎn)，連結(jié)，若,則的大小為 . 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16．（本小題滿分12分） 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是,已知，. （1）求的值； （2）若，為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng). 17．（本小題滿分12分） 甲、乙兩種元件的質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于85為正品，小于85為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： 測(cè)試指標(biāo) 元件甲 8 12 40 32 8 元件乙 7 18 40 29 6 （1）試分別估計(jì)元件甲、元件乙為正品的概率； （2）生產(chǎn)一件元件甲，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)一件元件乙，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元. 在（1）的前提下，記為生產(chǎn)1件元件甲和1件元件乙所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望． 18．（本小題滿分14分） 如圖所示，已知垂直以為直徑的圓所在平面，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，且,， （1）求證：⊥； （2）求二面角的余弦值． 19．（本小題滿分14分） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足． （1）求； （2）求； （3）設(shè)，求證：對(duì)任意正整數(shù)，有． 20．（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為，直線、與直線分別交于點(diǎn)． （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； （2）求線段的最小值； （3）以為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由． 21．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)，（）． （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域； （2）試討論函數(shù)的單調(diào)性． 海珠區(qū)xx學(xué)高三綜合測(cè)試（二） 理科數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 說明：1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)． 2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分． 3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)． 4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分． 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16. 解：（1）且，∴．………………1分 ∴ ………………2分 ………………4分 ………………5分 ． ………………6分 （2）由（1）可得． ………………7分 由正弦定理得，即， ………………8分 ………………12分 17．解：（1）在分別抽取的100件產(chǎn)品中，為正品的元件甲有80件，為正品的元件乙有75件. ………………1分 所以元件甲、乙為正品的頻率分別為，. ………………3分 根據(jù)頻率可估計(jì)元件甲、乙為正品的概率分別為，. ………………4分 （2）隨機(jī)變量的所有取值為150，90，30，－30， ………………5分 則，， ，． ………………9分 所以的分布列為： 150 90 30 -30 ………………10分 的數(shù)學(xué)期望為.……………12分 18．解：（1）由, ，知，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．……1分連接．∵，∴為等邊三角形． ……………2分 又點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴．……………3分 ∵平面，平面， ∴． ……………4分 又，平面， 平面， ∴平面． ……………5分 又平面， ∴⊥． ……………6分 （2）解法1:過點(diǎn)作，垂足為，連接． 由（1）知，平面，又?平面，∴⊥．……………7分 又，∴⊥平面． 又?平面，∴⊥． ……………8分 ∴為二面角的平面角． ……………9分 因?yàn)椋?∴，則．……………12分 在中，由（1）可知，∴， ………13分 ∴，即二面角的余弦值為． ……………14分 解法2: 由（1）可知，三線兩兩垂直，以原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系. ………7分 則,,, ………8分 ∴,, ………9分 設(shè)平面與平面的法向量分別為, 顯然平面法向量為，………10分 由，, ∴，解得 ………11分 ∴ ………12分 ，………13分 ∴二面角的余弦值為．………14分 19．解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴， ……………1分 當(dāng)時(shí)，，∴， ……………2分 ∴． ……………4分 (2)由（1）猜想：. ……………5分 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)，顯然成立； 假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即，那么當(dāng)時(shí)， ， 即時(shí)命題也成立， 綜上可知，． ……………9分 （3）由（2）知， ……………10分 ∴， ………11分 ∴， …13分 ∴． ……………14分 20. 解：（1）已知，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)， ∴直線的斜率，直線的斜率（）， ………2分 又，∴， ………………3分 即． ………………4分 （2）設(shè)直線的方程為的，直線的方程為的， ………………6分 由，得， ∴； ………………7分 由，得，∴， ………………8分 由，∴，………9分 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立， ∴線段長(zhǎng)的最小值． ………………10分 （3）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓的任意一點(diǎn)，則，即 ， ………………11分 又， 故以為直徑的圓的方程為：， ………………12分 令，得，解得， ………………13分 ∴以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)或． ………………14分 21.解:（1）當(dāng)時(shí)，， ………………1分 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值2． …………2分 當(dāng)時(shí)，，， 在上單調(diào)遞增，所以． ………………3分 所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋? ………………4分 （2）由，得， ………………5分 ①當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減， ………………6分 當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增． ………………7分 ②當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增．………………8分 當(dāng)時(shí)，令，解得，舍去負(fù)值，得， 當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減， ………………9分 當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增． ………………10分 ③當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減．……………11分 當(dāng)時(shí)，令，得， 下面討論是否落在區(qū)間上， 令，解得，令，解得， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．……………12分 當(dāng)時(shí)，在上存在極值點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．……………13分 綜上所述： 當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在和上 單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減． ……………14分