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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第九章 第49課 平面的性質與空間直線的位置關系要點導學 多點共線與多線共點的證明 　如圖,已知△ABC的各頂點均在平面α外,直線AB,AC,BC分別交平面α于點P,Q,R,求證:P,Q,R三點共線. (例1) [思維引導]根據(jù)公理2,選擇恰當?shù)膬蓚€平面,只要證明R,Q,P三點都是某兩個平面的公共點,即可證明三點在這兩個平面的交線上. [證明]設△ABC確定了一個平面β,因為點R∈BC,所以R∈β. 又R∈α,所以R在平面α和平面β的交線上. 同理,點P,Q也在平面α和平面β的交線上. 而平面α和平面β的交線只有一條, 故P,Q,R三點共線. [精要點評](1) 證明點共線的方法:①先考慮兩個平面的交線,再證明有關的點都是這兩個平面的公共點;②先選擇其中兩點確定一條直線,再證明其他點也在這條直線上. (2) 公理的正確運用,嚴密的邏輯推理過程,文字、符號、圖形語言的轉化是解立體幾何題的基本要求,也是高考考查的重點. 　已知E,F,G,H分別為空間四邊形(四個頂點不共面的四邊形)ABCD各邊AB,AD,BC,CD上的點,且直線EF和GH交于點P,求證:B,D,P在同一條直線上. (變式) [證明]因為P∈EF,而E∈AB,F∈AD, 所以EF平面ABD, 所以P∈平面ABD; 同理,P∈平面BDC. 所以點P在平面ABD與平面BDC的交線上. 又因為平面ABD∩平面BDC=BD, 所以P∈BD,即B,D,P在同一條直線上. 點線共面的證明 　已知直線l與三條平行直線a,b,c都相交,求證:l與a,b,c共面. [思維引導]先由兩平行直線確定一個平面,再確定另一個平面,最后說明兩平面重合且直線l在三平行直線所確定的平面內即可. (例2) [證明]如圖,因為a∥b,所以直線a,b可確定一個平面α. 因為b∥c,所以直線b,c可確定一個平面β. 因為A∈a,B∈b,C∈c,且A,B,C∈l, 所以lα,lβ,所以存在兩條相交直線b,l既在平面α內又在平面β內, 所以由公理3及推論知,平面α,β必重合, 所以直線l與直線a,b,c共面. [精要點評]證明幾條線共面的方法:①先由有關元素確定一個基本平面,再證其他的點(或線)在這個平面內;②先由部分點線確定平面,再由其他點線確定平面,然后證明這些平面重合. 　求證:若不交于同一個點的四條直線兩兩相交,則這四條直線共面. [證明]若三直線l1,l2,l3交于一點A(如圖(1)),則由點A與l4確定一個平面α,A∈α,B∈α,ABα,l1α, 同理可得l2α,l3α, 所以l1,l2,l3,l4四線共面. 圖(1)　　　　　　　圖(2)(變式) 若四直線無三線共點,設兩直線l1,l2交于一點A(如圖(2)),則l1,l2確定一個平面α,則B∈α,C∈αl3α. 同理,l4α, 所以l1,l2,l3,l4四線共面. 求異面直線所成的角 　(xx全國卷)已知正四面體ABCD中,E是AB的中點,求異面直線CE與BD所成角的余弦值. (例3) [解答]設AD的中點為F,連接EF,CF,則EF∥BD,所以異面直線CE與BD所成的角是∠FEC或其補角. 設正四面體ABCD的棱長為2a,則EF=a,CE=CF=a, 由余弦定理可得cos∠CEF==. 故異面直線CE與BD所成角的余弦值為. 　(xx通城模擬)已知四棱錐P-ABCD的所有側棱長都為,底面ABCD是邊長為2的正方形,求CD與PA所成角的余弦值. [解答]在正方形ABCD中,CD∥AB,所以∠PAB或其補角就是異面直線CD與PA所成的角. 在△PAB中,PA=PB=,AB=2, 所以cos∠PAB===, 故CD與PA所成角的余弦值為. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,對角線A1C與平面BDC1交于點O,AC,BD交于點M,E為AB的中點,F為AA1的中點. (范題賞析) (1) 求證:C1,O,M三點共線; (2) 求證:E,C,D1,F四點共面; (3) 求證:CE,D1F,DA三線共點. [規(guī)范答題](1) 因為C1,O,M∈平面BDC1,點C1,O,M∈平面A1ACC1,由公理3知點C1,O,M在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上,(3分) 所以C1,O,M三點共線.(4分) (2) 連接A1B,CD1. 因為E,F分別是AB,A1A的中點,所以EF∥A1B.(6分) 因為A1B∥CD1,所以EF∥CD1, 所以E,C,D1,F四點共面.(8分) (3) 由(2)可知,E,C,D1,F四點共面. 又EF=A1B,所以D1F,CE為相交直線,設交點為P, (10分) 則P∈D1F平面ADD1A1,P∈CE平面ADCB.(12分) 又平面ADD1A1∩平面ADCB=AD,所以P∈AD, 所以CE,D1F,DA三線共點.(14分) 1. 如果a,b是異面直線,b,c也是異面直線,那么直線a與c的位置是　　　　　　. [答案]平行、相交或異面 [解析]事實上,直線a與c的位置關系是不確定的. 2. 若l∩m=,則直線l與m的位置關系是　　　　　　. [答案]平行或異面 3. (xx南安模擬)下列圖形中不一定是平面圖形的是　　　　.(填序號) ①三角形; ②四邊相等的四邊形; ③梯形; ④平行四邊形. [答案]② [解析]根據(jù)確定平面的公理以及推論知①③④中的圖形是平面圖形,根據(jù)空間四邊形知四邊相等的四邊形不一定是平面圖形.注意在立體幾何中的四邊形不一定是平面圖形,也可構成幾何體即三棱錐. 4. 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分別是AB,BC的中點,E1,F1分別是A1B1,B1C1的中點,求證:EF∥E1F1. (第4題) [證明]連接AC,則在三角形ABC中, 因為E,F分別是AB,BC的中點,所以EF∥AC. 同理,在△A1B1C1中,E1F1∥A1C1. 又因為AA1∥BB1,CC1∥BB1,且AA1=BB1,CC1=BB1, 所以四邊形AA1C1C是平行四邊形,所以AC∥A1C1. 所以E1F1∥AC,所以EF∥E1F1. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習(第97-98頁).