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2019年高考數(shù)學(xué) 2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用課時(shí)提升作業(yè) 文 新人教A版 一、選擇題 1.(xx佛山模擬）抽氣機(jī)每次抽出容器內(nèi)空氣的60%,要使容器內(nèi)剩下的空氣少于原來的0.1%,則至少要抽(參考數(shù)據(jù):lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)( ) (A)15次 (B)14次 (C)9次 (D)8次 2.某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式:A種方式是月租20元,B種方式是月租0元.一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時(shí)間t(分鐘)與打出電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖,當(dāng)打出電話150分鐘時(shí),這兩種方式電話費(fèi)相差( ) (A)10元 (B)20元 (C)30元 (D)元 3.某學(xué)校制定獎(jiǎng)勵(lì)條例,對(duì)在教育教學(xué)中取得優(yōu)異成績(jī)的教職工實(shí)行獎(jiǎng)勵(lì),其中有一個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)項(xiàng)目是針對(duì)學(xué)生高考成績(jī)的高低對(duì)任課教師進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)的.獎(jiǎng)勵(lì)公式為f(n)=k(n)(n-10),n＞10(其中n是任課教師所在班級(jí)學(xué)生的該任課教師所任學(xué)科的平均成績(jī)與該科省平均分之差,f(n)的單位為元),而k(n)=現(xiàn)有甲、乙兩位數(shù)學(xué)任課教師，甲所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分18分，而乙所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分21分,則乙所得獎(jiǎng)勵(lì)比甲所得獎(jiǎng)勵(lì)多( ) (A)600元 (B)900元 (C)1 600元 (D)1 700元 4.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長(zhǎng)x,y應(yīng)為( ) (A)x=15,y=12 (B)x=12,y=15 (C)x=14,y=10 (D)x=10,y=14 5.（xx廣州模擬）某種細(xì)菌經(jīng)60分鐘培養(yǎng)，可繁殖為原來的2倍，且知該細(xì)菌的繁殖規(guī)律為y=10ekt，其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間（單位：小時(shí)），y表示細(xì)菌個(gè)數(shù)，10個(gè)細(xì)菌經(jīng)過7小時(shí)培養(yǎng)，細(xì)菌能達(dá)到的個(gè)數(shù)為( ) (A)640 (B)1 280 (C)2 560 (D)5 120 6.（能力挑戰(zhàn)題）一水池有兩個(gè)進(jìn)水口，一個(gè)出水口，每個(gè)水口的進(jìn)、出水速度如圖甲、乙所示.某天0點(diǎn)到6點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丙所示. 給出以下3個(gè)論斷:①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水; ③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水也不出水.則一定正確的是( ) (A)① (B)①② (C)①③ (D)①②③ 二、填空題 7.(xx武漢模擬)里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為:M=lg A-lg A0,其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.假設(shè)在一次地震中，測(cè)震儀記錄的最大振幅是1 000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為______級(jí)；9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的______倍. 8.一個(gè)人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL，那么，一個(gè)喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過_______小時(shí),才能開車(精確到1小時(shí)). 9.（能力挑戰(zhàn)題）在某條件下的汽車測(cè)試中，駕駛員在一次加滿油后的連續(xù)行駛過程中從汽車儀表盤得到如下信息： 注：油耗=,可繼續(xù)行駛距離=； 平均油耗=. 從以上信息可以推斷在10:00-11:00這一小時(shí)內(nèi)________(填上所有正確判斷的序號(hào)). ①行駛了80千米; ②行駛不足80千米; ③平均油耗超過9.6升/100千米; ④平均油耗恰為9.6升/100千米; ⑤平均車速超過80千米/小時(shí). 三、解答題 10.(xx梅州模擬)某投資公司投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的利潤(rùn)分別是P(億元)和Q（億元），它們與投資額t(億元)的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式今該公司將5億元投資于這兩個(gè)項(xiàng)目，其中對(duì)甲項(xiàng)目投資x（億元），投資這兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的總利潤(rùn)為y(億元).求: (1)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式. (2)總利潤(rùn)的最大值. 11.（xx中山模擬）國(guó)際上鉆石的質(zhì)量計(jì)量單位為克拉.已知某種鉆石的價(jià)值y（美元）與其質(zhì)量x（克拉）的平方成正比，且一顆質(zhì)量為3克拉的該種鉆石的價(jià)值為54 000美元. (1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式. (2)若把一顆鉆石切割成質(zhì)量比為1∶3的兩顆鉆石，求價(jià)值損失的百分率. （注：價(jià)值損失的百分率=100%；在切割過程中的質(zhì)量損耗忽略不計(jì)） 12.（能力挑戰(zhàn)題）在扶貧活動(dòng)中，為了盡快脫貧(無債務(wù))致富，企業(yè)甲將經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支3 600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息).在甲提供的資料中有:①這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元;②該店月銷量Q(百件)與銷售價(jià)格P（元）的關(guān)系如圖所示;③每月需各種開支2 000元. （1）當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí)，月利潤(rùn)扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大?并求最大余額. （2）企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧? 答案解析 1.【解析】選D.抽n次后容器剩下的空氣為(40%)n.由題意知（40%）n＜0.1%,即0.4n＜0.001, ∴nlg0.4＜-3, ∴ ∴n的最小值為8. 2.【解析】選A.由題意可設(shè)sA(t)=kt+20,sB(t)=mt, 又sA(100)=sB(100), ∴100k+20=100m, ∴k-m=-0.2, ∴sA(150)-sB(150)=150k+20-150m =150(-0.2)+20=-10, 即兩種方式電話費(fèi)相差10元. 3.【解析】選D.k(18)=200, ∴f(18)=200(18-10)=1 600(元). 又∵k(21)=300, ∴f(21)=300(21-10)=3 300(元), ∴f(21)-f(18)=3 300-1 600=1 700(元). 故選D. 4.【思路點(diǎn)撥】利用三角形相似列出x與y的關(guān)系式，用y表示x.從而矩形面積可表示為關(guān)于y的函數(shù). 【解析】選A.由三角形相似得得x=(24-y), 由0＜x≤20得,8≤y＜24, ∴S=xy=-(y-12)2+180, ∴當(dāng)y=12時(shí)，S有最大值，此時(shí)x=15. 5.【解析】選B.t=0時(shí)，y=10,故t=1時(shí)，y=20，即10ek=20,得k=ln 2，故y=10etln 2，得y=102t，當(dāng)t=7時(shí)，y=1027=1 280. 6.【思路點(diǎn)撥】首先知道進(jìn)水口與出水口每小時(shí)的進(jìn)水量和出水量，再分析蓄水量的變化情況，根據(jù)蓄水量的變化進(jìn)行判斷. 【解析】選A.由丙圖知0點(diǎn)到3點(diǎn)蓄水量為6，故應(yīng)兩個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，不出水，故①正確. 由丙圖知3點(diǎn)到4點(diǎn)間1小時(shí)蓄水量少1個(gè)單位，故一個(gè)進(jìn)水一個(gè)出水，故②錯(cuò)誤. 由丙圖知4點(diǎn)到6點(diǎn)蓄水量不變，故可能不進(jìn)水也不出水或兩個(gè)進(jìn)水一個(gè)出水，故③錯(cuò)誤. 【誤區(qū)警示】本題易誤選C.出錯(cuò)的原因是忽視了蓄水量不變也可能是兩個(gè)進(jìn)水一個(gè)出水. 7.【解析】由題意,在一次地震中，測(cè)震儀記錄的最大振幅是1 000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001,則M=lg A-lg A0=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6. 設(shè)9級(jí)地震的最大振幅是x,5級(jí)地震的最大振幅是y, 9=lg x+3,5=lg y+3,解得x=106,y=102. 所以=10 000. 答案：6 10 000 8.【解析】設(shè)x小時(shí)后,該駕駛員血液中的酒精含量不超過0.09 mg/mL,則有0.3()x≤0.09，即()x≤0.3, 估算或取對(duì)數(shù)計(jì)算得至少5小時(shí)后，可以開車. 答案：5 9.【解析】實(shí)際用油為7.38升. 設(shè)L為10:00前已用油量，ΔL為這一個(gè)小時(shí)內(nèi)的用油量，s為10:00前已行駛距離，Δs為這一個(gè)小時(shí)內(nèi)已行駛的距離 得L+ΔL=9.6s+9.6Δs, 即9.5s+ΔL=9.6s+9.6Δs,ΔL=0.1s+9.6Δs, +9.6＞9.6. 所以③正確，④錯(cuò)誤.這一小時(shí)內(nèi)行駛距離＜100=76.875，所以①錯(cuò)誤,②正確. ⑤由②知錯(cuò)誤. 答案：②③ 10.【解析】(1)根據(jù)題意,得y= (5-x),x∈［0,5］. （2） 令t=,t∈［0,］,則x= y= 因?yàn)?∈［0,］， 所以當(dāng)=2時(shí)，即x=2時(shí)，y最大值=0.875. 答:總利潤(rùn)的最大值是0.875億元. 11.【解析】（1）依題意設(shè)y=kx2, 當(dāng)x=3時(shí)，y=54 000,∴k=6 000,故y=6 000x2. (2)設(shè)這顆鉆石的質(zhì)量為a克拉，由（1）可知， 按質(zhì)量比為1∶3切割后的價(jià)值為6 000(a)2+6 000(a)2. 價(jià)值損失為6 000a2-［6 000(a)2+6 000(a)2］. 價(jià)值損失的百分率為 =0.375=37.5%. ∴價(jià)值損失的百分率為37.5%. 12.【解析】設(shè)該店月利潤(rùn)余額為L(zhǎng), 則由題設(shè)得L=Q(P-14)100-3 600-2 000 ① 由銷售圖易得 代入①式得L= （1）當(dāng)14≤P≤20時(shí),Lmax=450元,此時(shí)P=19.5元; 當(dāng)20＜P≤26時(shí)，Lmax=元,此時(shí)P=元. 故當(dāng)P=19.5元時(shí)，月利潤(rùn)余額最大，為450元. (2)設(shè)可在n年后脫貧, 依題意有12n450-50 000-58 000≥0，解得n≥20. 即最早可望在20年后脫貧. 【變式備選】為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì),某單位在國(guó)家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目，經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為 且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，國(guó)家將給予補(bǔ)償. (1)當(dāng)x∈［200,300］時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利?如果獲利，求出最大利潤(rùn);如果不獲利，則國(guó)家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損? (2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低? 【解析】(1)該項(xiàng)目不會(huì)獲利. 當(dāng)x∈［200,300］時(shí)，設(shè)該項(xiàng)目獲利為S, 則S=200x-(x2-200x+80 000) =-x2+400x-80 000=-(x-400)2, 所以當(dāng)x∈［200,300］時(shí)，S＜0，因此該項(xiàng)目不會(huì)獲利. 當(dāng)x=300時(shí)，S取得最大值-5 000, 所以國(guó)家每月至少補(bǔ)貼5 000元才能使該項(xiàng)目不虧損. (2)由題意，可知二氧化碳的每噸處理成本為: ①當(dāng)x∈［120,144)時(shí), x2-80x+5 040=(x-120)2+240, 所以當(dāng)x=120時(shí)，取得最小值240. ②當(dāng)x∈［144,500］時(shí)， -200≥ 當(dāng)且僅當(dāng) 即x=400時(shí),取得最小值200. 因?yàn)?00＜240，所以當(dāng)每月的處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低.