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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理（普通班） 一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60，把答案填在答題卡上，否則不給分.） 1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ） A． B． C． D． 2．離散型隨機(jī)變量，則( ) A．0.4 B．0.6 C．1 D． 0.24 3.分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件A,“第二枚為正面”記為事件B，“兩枚結(jié)果相同”記為事件C,那么事件A與B、A與C間的關(guān)系是( ) A．A與B相互獨(dú)立，A與C互斥 B． A與B，A與C均相互獨(dú)立 C．A與B，A與C均互斥 D．A與B互斥，A與C相互獨(dú)立 4．在三段論:“①所有的中國人都堅(jiān)強(qiáng)不屈;②一中人是中國人;③一中人一定堅(jiān)強(qiáng)不屈”中,其中“大前提”和“小前提”分別是(　　) A．②③ B．①③ C．①② D．②① 5．如果隨機(jī)變量，且，則（ ） A． B． C． D． 6．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第xx個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為（ ） A．12088 B．12092 C．16118 D．16122 7．設(shè)＝1+，則( )． A.共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，＝ B.共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，＝ C.共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，＝ D.共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，＝ 8．如圖所示的陰影部分由方格之上3個(gè)小方格組成，我們稱這樣的圖案為L形圖案（每次旋轉(zhuǎn)后仍為L形圖案），那么在45小方格的紙上可以畫出不同位置的L形圖案的個(gè)數(shù)（ ） A.16 B.32 C.48 D.64 9．箱子里有個(gè)黑球，個(gè)白球，每次隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第次取球之后停止的概率為（ ） A． B． C． D． 10. 已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第一次抽到的是螺口燈泡的條件下，第二次抽到的是卡口燈泡的概率為(　 　) A． B． C． D． 11. 曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積是（ ） A.4 B. 3 C.2 D.1 12.設(shè)．過點(diǎn)且平行于軸的直線與曲線的交點(diǎn)為，曲線過點(diǎn)的切線交軸于點(diǎn)，則的面積的最小值是（ ） A．1 B． C． D． 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡上，否則不給分.） 13．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是 ． 14．若，則二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 . 15．由1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，能被3整除的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是_______.（用數(shù)字作答） 16. 在平面幾何中有如下結(jié)論：正△ABC的內(nèi)切圓面積為，外接圓面積為，則.推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體ABCD的內(nèi)切球體積為，外接球體積為，則_ ___. 三、解答題(本大題共6小題，共70分，其中第17題10分，其余各題12分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟, 把答案寫在答題卡上，否則不給分.) 17.（本小題滿分10分）已知在的展開式中，第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng). （Ⅰ） 求的值； （Ⅱ）求展開式中含項(xiàng)的系數(shù)． 18.（本小題滿分12分）甲、乙兩人參加一項(xiàng)測(cè)試，根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)，甲在本次測(cè)試中能通過的概率是，乙在本次測(cè)試中能通過的概率是，甲、乙兩人能否通過本次測(cè)試是相互獨(dú)立的，試求： （Ⅰ）甲、乙兩人都不能通過本次測(cè)試的概率； （Ⅱ）甲、乙兩人中恰有一人能通過本次測(cè)試的概率； （Ⅲ）甲、乙兩人中至多有一人能通過本次測(cè)試的概率. 19. （本小題滿分12分）現(xiàn)要安排5名大學(xué)生到三所學(xué)校支教，設(shè)每名大學(xué)生去任何一所學(xué)校是等可能的． （Ⅰ）求5名大學(xué)生中恰有2人去校支教的概率； （Ⅱ）設(shè)有大學(xué)生去支教的學(xué)校的個(gè)數(shù)為，求的分布列． 20. （本小題滿分12分）如圖所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)． （Ⅰ）求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值； （Ⅱ）求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值． E F 第21題 P O(A) B C D x y 21.（本小題滿分12分）如圖，有一個(gè)長方形地塊ABCD，邊AB為2km.，該地塊的一角是濕地(圖中陰影部分)，其邊緣線AC是拋物線的一部分.現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線AC上一點(diǎn)P的直線型隔離帶EF，E、F分別在邊AB，BC上(隔離帶不能穿越濕地，且占地面積忽略不計(jì)).設(shè)點(diǎn)P到邊AD的距離為t(單位:km)，△BEF的面積為S(單位: ). （Ⅰ）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域; （Ⅱ）問：按上述要求隔離出的△BEF面積S能否達(dá)到3 ?并說明理由.(說明：解答利用如圖建立的平面直角坐標(biāo)系) 22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（）. （Ⅰ）求證：函數(shù)在上為增函數(shù)；函數(shù)在上為減函數(shù)； （Ⅱ）若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）比較與的大小. 武平一中xx學(xué)年第二學(xué)期半期考試 高二數(shù)學(xué)（理科）參考答案 1．A 2．D 3．B 4．C 5．A 6．B 7．C 8．C 根據(jù)題意，由于由方格之上3個(gè)小方格組成我們稱這樣的圖案為L形，那么在45小方格的紙上可以畫出不同位置的L形的圖案，故答案為C. 9.D 10.D設(shè)事件A為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則P(A)＝，P(AB)＝＝．則所求概率為P(B|A)＝＝＝． 11.B 12. D 13． i 14．15 15．24 構(gòu)成能被3整除的三位的數(shù)字組合有：1、2、3，2、3、4，3、4、5，1、3、5，共四種情況，每一種情況可以排成的三位數(shù)是個(gè)，故共個(gè)。 16. 17. 解（Ⅰ）……6分 （Ⅱ） ……12分 18.解：記甲、乙兩人能通過本次測(cè)試分別是事件A、B，則P(A)=, P(B)= …1分 （Ⅰ）甲、乙兩人都不能通過本次測(cè)試的概率為： P()=P()P()=(1-)(1-)=……4分 （2）甲、乙兩人中恰有一人能通過本次測(cè)試的概率為： P(A+B)=P(A)+P(B)=(1-)+(1-)=……8分 （Ⅲ）甲、乙兩人中至多有一人能通過本次測(cè)試的概率為： 1- P(AB)=1-=……12分 19.解：（Ⅰ） 5名大學(xué)生到三所學(xué)校支教的所有可能為種，……2分 設(shè)“恰有2人去校支教”為事件，則有種，∴． 答：5名大學(xué)生中恰有2人去校支教的概率．………4分 （Ⅱ）依題意得：，………5分 人去同一所學(xué)校，有種，∴ ，……7分 人去兩所學(xué)校，即分為4,1或3,2有種， ∴ ，……9分 人去三所學(xué)校，即分為3,1,1或2，2, 1有 種，∴ ．……11分 ∴ 的分布列為……12分 20.（Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz， 則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)， C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)． 因?yàn)閏os〈，〉＝＝，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.……6分 （Ⅱ）設(shè)平面ADC1的法向量為n1＝(x，y，z)，因?yàn)椋?1，1，0)， ＝(0，2，4)，所以n1＝0，n1＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0， 取z＝1，得x＝2，y＝－2， 所以n1＝(2，－2，1)是平面ADC1的一個(gè)法向量．取平面AA1B的一個(gè)法向量為 n2＝(0，1，0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ.由|cosθ|＝＝，得sinθ＝. 因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.……12分 E F 第21題 P O(A) B C D x y 21.解（Ⅰ）∵AB=2，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．又，∴過的切線的方程為．令，得；令，得， ∴…5分，定義域?yàn)椋?分 （Ⅱ）由，得 ∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， ∴在上有最大值．……11分 又，∴隔離出的△面積不能達(dá)到3．…12分 22. 解：（Ⅰ），……1分 當(dāng)時(shí)，，又，∴，， ∴，∴函數(shù)在上為增函數(shù)．……3分 當(dāng)時(shí)，，，， ∴，∴函數(shù)在上為減函數(shù).……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，的最小值為. 由知，或. ∵有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且在上單調(diào)遞減，值域?yàn)?；在上單調(diào)遞增，值域?yàn)? ∴，且，即.∴的取值范圍為.……9分 （Ⅲ）∵時(shí)，， 設(shè)，則. ∴在上為增函數(shù)，∴時(shí)，. ∴?！?2分