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2019年高考數(shù)學大一輪復習 第九章 第5講 雙曲線訓練 理 一、選擇題 1．設雙曲線－＝1(a＞0)的漸近線方程為3x2y＝0，則a的值為(　　)． A．4 B．3 C．2 D．1 解析　雙曲線－＝1的漸近線方程為3xay＝0與已知方程比較系數(shù)得a＝2. 答案　C 2．已知雙曲線C：－＝1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為 (　　)． A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　不妨設a>0，b>0，c＝. 據(jù)題意，2c＝10，∴c＝5. ① 雙曲線的漸近線方程為y＝x，且P(2,1)在C的漸近線上，∴1＝. ② 由①②解得b2＝5，a2＝20，故正確選項為A. 答案　A 3．已知雙曲線x2－＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則的最小值為 (　　)． A．－2 B．－ C．1 D．0 解析　設點P(x，y)，其中x≥1.依題意得A1(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)，則有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，＝(－1－x，－y)(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，當x＝1時，取得最小值－2，選A. 答案　A 4．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F(－c,0)(c>0)作圓x2＋y2＝的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若＋＝2，則雙曲線的離心率為 (　　)． A. B. C. D. 解析　設雙曲線的右焦點為A，則＝－，故＋＝－＝＝2，即OE＝AP.所以E是PF的中點，所以AP＝2OE＝2＝a.所以PF＝3a.在Rt△APF中，a2＋(3a)2＝(2c)2，即10a2＝4c2，所以e2＝，即離心率為e＝ ＝，選C. 答案　C 5．已知雙曲線－＝1的右焦點與拋物線y2＝12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于 (　　)． A. B．4 C．3 D．5 解析　易求得拋物線y2＝12x的焦點為(3,0)，故雙曲線－＝1的右焦點為(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，∴雙曲線的漸近線方程為y＝x，∴雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為＝. 答案　A 6．如圖，已知點P為雙曲線－＝1右支上一點，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點，I為△PF1F2的內(nèi)心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，則λ的值為(　　) A. B. C. D. 解析 根據(jù)S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，即|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|， 即2a＝λ2c，即λ＝＝. 答案 B 二、填空題 7．雙曲線－＝1的右焦點到漸近線的距離是________． 解析 由題意得：雙曲線－＝1的漸近線為y＝x. ∴焦點(3,0)到直線y＝x的距離為＝. 答案 8．在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線－＝1的離心率為，則m的值為________． 解析　由題意得m＞0，∴a＝，b＝. ∴c＝，由e＝＝，得＝5， 解得m＝2. 答案　2 9．如圖，已知雙曲線以長方形ABCD的頂點A、B為左、右焦點，且雙曲線過C、D兩頂點．若AB＝4，BC＝3，則此雙曲線的標準方程為________． 解析　設雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)．由題意得B(2,0)，C(2,3)， ∴解得 ∴雙曲線的標準方程為x2－＝1. 答案　x2－＝1 10．如圖，雙曲線－＝1(a，b＞0)的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D.則 (1)雙曲線的離心率e＝________； (2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值＝________. 解析　(1)由題意可得a ＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝. (2)設sin θ＝，cos θ＝，＝＝＝＝e2－＝. 答案　(1)　(2) 三、解答題 11．中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，橢圓的長半軸與雙曲線半實軸之差為4，離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線方程； (2)若P為這兩曲線的一個交點，求cos∠F1PF2的值． 解　(1)由已知：c＝，設橢圓長、短半軸長分別為a，b，雙曲線半實、虛軸長分別為m，n， 則 解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2. ∴橢圓方程為＋＝1，雙曲線方程為－＝1. (2)不妨設F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，則|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6， 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2， ∴cos∠F1PF2＝ ＝＝. 12．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)． (1)求雙曲線方程； (2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：＝0； (3)求△F1MF2的面積． (1)解　∵e＝，∴設雙曲線方程為x2－y2＝λ. 又∵雙曲線過(4，－)點，∴λ＝16－10＝6， ∴雙曲線方程為x2－y2＝6. (2)證明　法一　由(1)知a＝b＝，c＝2， ∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)， ∴kMF1＝，kMF2＝， ∴kMF1kMF2＝＝， 又點(3，m)在雙曲線上，∴m2＝3， ∴kMF1kMF2＝－1，MF1⊥MF2，＝0. 法二　∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)， ∴＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2. ∵M在雙曲線上，∴9－m2＝6， ∴m2＝3，∴＝0. (3)解　∵在△F1MF2中，|F1F2|＝4，且|m|＝， ∴S△F1MF2＝|F1F2||m|＝4＝6. 13．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，且PF1⊥PF2，|PF1|＝8，|PF2|＝6. (1)求雙曲線的方程； (2)設過雙曲線左焦點F1的直線與雙曲線的兩漸近線交于A，B兩點，且＝2，求此直線方程． 解　(1)由題意知，在Rt△PF1F2中， |F1F2|＝， 即2c＝＝10，所以c＝5. 由橢圓的定義，知2a＝|PF1|－|PF2|＝8－6＝2，即a＝1. 所以b2＝c2－a2＝24，故雙曲線的方程為x2－＝1. (2)左焦點為F1(－5,0)，兩漸近線方程為y＝2x. 由題意得過左焦點的該直線的斜率存在． 設過左焦點的直線方程為y＝k(x＋5)，則與兩漸近線的交點為和. 由＝2，得 ＝2或者 ＝2， 解得k＝. 故直線方程為y＝(x＋5)． 14． P(x0，y0)(x0≠a)是雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左，右頂點，直線PM，PN的斜率之積為. (1)求雙曲線的離心率； (2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足＝λ＋，求λ的值． 解　(1)由點P(x0，y0)(x0≠a)在雙曲線－＝1上，有－＝1. 由題意有＝， 可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝. (2)聯(lián)立得4x2－10cx＋35b2＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 ① 設＝(x3，y3)，＝λ＋，即 又C為雙曲線上一點，即x－5y＝5b2，有 (λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2. 化簡得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2. ② 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上， 所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2. 由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2， ②式可化為λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.