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2019年高考數(shù)學總復習 第9章 第6節(jié) 雙曲線課時跟蹤檢測 理（含解析）新人教版 1．(xx北京高考)雙曲線x2－＝1的離心率大于的充分必要條件是(　　) A．m>　 B．m≥1　　　 C．m>1　　 D．m>2 解析：選C　該雙曲線離心率e＝，由已知＞，故m＞1，故選C. 2．(xx廣東六校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的頂點A(－5,0)和C(5,0)，頂點B在雙曲線－＝1上，則為(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：選C　設(shè)△ABC中角A，B，C所對的邊分別是a，b，c， 由正弦定理得＝，由雙曲線的標準方程和定義可知，A，C是雙曲線的焦點，且b＝10，|c－a|＝8.所以＝＝.故選C. 3．(xx杭州質(zhì)檢)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與雙曲線C在第二象限的交點為P，若雙曲線C的離心率為5，則cos∠PF2F1等于(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：選C　據(jù)題意可知PF1⊥PF2，設(shè)|PF1|＝n，|PF2|＝m，又由雙曲線定義知m－n＝2a　①；由勾股定理可得m2＋n2＝4c2?、冢挥钟呻x心率e＝＝5?、?，由①②③解得m＝8a，故cos∠PF2F1＝＝＝＝.故選C. 4．(2011山東高考)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為(　　) A.－＝1　　　　 B.－＝1 C.－＝1　　　　 D.－＝1 解析：選A　由題意得－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線方程為y＝x，即bxay＝0，又圓C的標準方程為(x－3)2＋y2＝4，半徑為2，圓心坐標為(3,0)，所以a2＋b2＝32＝9，且＝2，解得a2＝5，b2＝4.所以該雙曲線的方程為－＝1.故選A. 5．(xx皖南八校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，若雙曲線的右支上存在一點P，使＝0，且△F1PF2的三邊長構(gòu)成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率為(　　) A.　　　　 B. C．2　　　 D．5 解析：選D　設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，且m>n，|F1F2|＝2c，由題可知△F1PF2為直角三角形且F1F2為斜邊．由雙曲線的性質(zhì)和勾股定理得由①③得代入②得(2c－2a)2＋(2c－4a)2＝4c2，整理得c2－6ac＋5a2＝0，兩邊同時除以a2，得e2－6e＋5＝0，解得e＝5或e＝1.又e＞1，所以e＝5.故選D. 6．(xx太原模擬)設(shè)F1、F2分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為(　　) A．3x4y＝0 B．3x5y＝0 C．4x3y＝0　　　 D．5x4y＝0 解析：選C　設(shè)線段PF1的中點為M，由于|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b，根據(jù)雙曲線的定義得4b－2c＝2a.所以2b－a＝c，所以(2b－a)2＝a2＋b2，化簡得3b2－4ab＝0，所以3b＝4a，故雙曲線的漸近線方程是y＝x，即4x3y＝0.選C. 7．(xx蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)若雙曲線x2－＝1(a＞0)的一個焦點到一條漸近線的距離等于，則此雙曲線方程為______． 解析：x2－＝1　雙曲線x2－＝1(a＞0)的一個焦點(，0)到一條漸近線－y＝0的距離為＝，解得a＝3，故此雙曲線方程為x2－＝1. 8．(xx陜西五校模擬)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)與直線y＝2x有交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是______． 解析：(，＋∞)　雙曲線的漸近線方程為y＝x.若雙曲線－＝1與直線y＝2x有交點，則＞2，從而＞4.所以＞4，解得e2＝＞5，故e＞. 9．(xx茂名質(zhì)檢)設(shè)雙曲線－＝1的右頂點為A，右焦點為F.過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為________． 解析：　由條件知c＝5，設(shè)過點F平行于一條漸近線的直線方程為y＝(x－5)，即4x－3y－20＝0，聯(lián)立直線與雙曲線方程，求得yB＝－，所以S＝(5－3)＝. 10．(xx湖南高考)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30，則C的離心率為________． 解析：　不妨設(shè)|PF1|＞|PF2|，由 得 由2a＜2c，得∠PF1F2＝30， 由余弦定理得cos 30＝， 整理得c2＋3a2－2ac＝0，所以e2－2e＋3＝0，解得e＝. 11．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為，且過點P(4，－)． (1)求雙曲線方程； (2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：＝0； (3)求△F1MF2的面積． (1)解：由e＝知a＝b. 故設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ. ∵雙曲線過點P(4，－)，∴16－10＝λ，解得λ＝6. ∴雙曲線方程為x2－y2＝6. (2)證明：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝，∴c＝2， ∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)， ∴kMF1＝，kMF2＝， ∴kMF1kMF2＝＝－. ∵點(3，m)在雙曲線上， ∴9－m2＝6，m2＝3， 故kMF1kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2， ∴＝0. (3)解：在△F1MF2中|F1F2|＝4， 由(2)知m＝. 所以△F1MF2的高h＝|m|＝， 從而S△F1MF2＝4＝6. 12．(xx泰州質(zhì)檢)已知點N(1,2)，過點N的直線交雙曲線x2－＝1于A，B兩點，且＝(＋)． (1)求直線AB的方程； (2)若過N的另一條直線交雙曲線于C，D兩點，且＝0，那么A，B，C，D四點是否共圓？為什么？ 解：(1)由題意知直線AB的斜率存在． 設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)＋2， 由消去y整理得 (2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*) 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程(*)的兩根， 所以2－k2≠0且x1＋x2＝. ∵＝(＋)， ∴N是AB的中點，∴＝1， ∴k(2－k)＝－k2＋2，解得k＝1， 所以AB的方程為y＝x＋1. (2)將k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3， 設(shè)A(－1,0)，B(3,4)． ∵＝0，∴CD垂直平分AB. ∴CD所在直線方程為y＝－(x－1)＋2， 即y＝3－x，代入雙曲線方程整理得x2＋6x－11＝0， 令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中點為M(x0，y0)， 則x3＋x4＝－6，x3x4＝－11， ∴x0＝＝－3，∴y0＝6，故點M(－3,6)． ∵|CD|＝|x3－x4| ＝ ＝4， ∴|MC|＝|MD|＝|CD|＝2， 又|MA|＝|MB|＝2， ∴A，B，C，D到M的距離相等， ∴A，B，C，D四點共圓. 1．(xx遼寧五校聯(lián)考)已知點M(－3,0)、N(3,0)、B(1,0)，動圓C與直線MN切于點B，過M、N與圓C相切的兩直線相交于點P，P點的軌跡方程為(　　) A．x2－＝1(x＞1) B．x2－＝1(x＞0) C．x2－＝1(x＞0)　　　 D．x2－＝1(x＞1) 解析：選A　如圖設(shè)過點P的兩切線分別與圓切于S、T，則|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以所求曲線為雙曲線的右支且不能與x軸相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，故P點的軌跡方程為x2－＝1(x＞1)．故選A. 2．(xx邯鄲摸底考試)已知F1、F2分別是雙曲線－＝1的左、右焦點，若F2關(guān)于漸近線的對稱點為M，且有|MF1|＝c，則此雙曲線的離心率為(　　) A.　　　　B. C．2　　　 D．2 解析：選D　因為F2關(guān)于漸近線的對稱點為M，又由雙曲線的幾何性質(zhì)知焦點到漸近線的距離為b，所以|MF2|＝2b，又|F1M|＝c，|F1F2|＝2c，由勾股定理得4c2＝c2＋4b2，所以3c2＝4(c2－a2)，所以c2＝4a2，c＝2a，e＝2.故選D. 3．(xx重慶質(zhì)檢)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，且2a2＝3c.若雙曲線C上的點P滿足＝1，則||||的值為(　　) A．5 B．4 C．3　　　 D．2 解析：選C　由題意得，解得，所以b2＝c2－a2＝1，故雙曲線C的方程為－y2＝1.設(shè)||＝r1，||＝r2，不妨令r1＞r2＞0，∠F1PF2＝θ，∵＝1，∴r1r2cos θ＝1，又r1－r2＝2，∴r＋r－2r1r2＝12，∴r＋r＝2r1r2＋12，又由余弦定理得4c2＝r＋r－2r1r2cos θ，即16＝2r1r2＋12－2，∴r1r2＝3，即||||＝3.故選C. 4．(xx大綱全國高考)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為3，直線y＝2與C的兩個交點間的距離為. (1)求a、b； (2)設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A、B兩點，且|AF1|＝|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列． (1)解：由題設(shè)知＝3，所以＝9，故b2＝8a2. 所以C的方程為8x2－y2＝8a2. 將y＝2代入上式，求得x＝ . 由題設(shè)知2 ＝，解得a2＝1. 所以a＝1，b＝2. (2)證明：由(1)知，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，C的方程為8x2－y2＝8. 設(shè)l的方程為y＝k(x－3)，|k|＜2， 由消去y整理得 (k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≤－1，x2≥1，且x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|AF1|＝＝ ＝－(3x1＋1)， |BF1|＝＝＝3x2＋1. 由|AF1|＝|BF1|，得－(3x1＋1)＝3x2＋1， 所以x1＋x2＝－，故＝－， 解得k2＝，從而x1x2＝－. 由于|AF2|＝＝ ＝1－3x1， |BF2|＝＝＝3x2－1， 故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4， |AF2||BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2||BF2|＝|AB|2， 所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列．