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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第44講 古典概型練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.考查古典概型概率公式的應(yīng)用，尤其是古典概型與互斥、對立事件的綜合問題更是高考的熱點(diǎn).2.在解答題中古典概型常與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合進(jìn)行綜合考查，考查學(xué)生分析和解決問題的能力，難度以中檔題為主． 一、基本事件的特點(diǎn) 1．任何兩個(gè)基本事件是互斥的． 2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 古典概型中基本事件數(shù)的計(jì)算方法 (1)列舉法：此法適合于較簡單的試驗(yàn)． (2)樹狀圖法：樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合較復(fù)雜問題中基本事件數(shù)的探求． (3)列表法：對于表達(dá)形式有明顯二維特征的事件采用此法較為方便． (4)排列、組合數(shù)公式法． 二、古典概型 1．定義 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． ︱ 2．古典概型的概率公式 P(A)＝. 1．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【解析】　甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，有6個(gè)基本事件，其中甲站在中間的基本事件有2個(gè)，故所求概率為P＝＝. 【答案】　C 2．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為(　　) A. B. C. D. 【解析】　甲、乙兩位同學(xué)參加3個(gè)小組的所有可能性有33＝9種，其中，甲、乙參加同一小組的情況有3種． 故甲、乙參加同一個(gè)興趣小組的概率P＝＝. 【答案】　A 3．三張卡片上分別寫上字母E，E，B，將三張卡片隨機(jī)地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為________． 【解析】　三張卡片隨機(jī)排成一行的基本事件有BEE，EBE，EEB，共3個(gè)， 故所求概率為P＝. 【答案】　 4．從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是________． 【解析】　從1,2,3,4中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，不同的結(jié)果為{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共有6個(gè)基本事件．滿足一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)兩倍的取法有{1,2}，{2,4}共兩種，∴所求事件的概率P＝＝. 【答案】　 5．(xx江西高考)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　從A，B中各任取一個(gè)數(shù)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6個(gè)基本事件，滿足兩數(shù)之和等于4的有(2,2)，(3,1)2個(gè)基本事件，所以P＝＝. 【答案】　C 6．(xx課標(biāo)全國卷Ⅱ)從n個(gè)正整數(shù)1,2，…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n＝________. 【解析】　由題意知n＞4，取出的兩數(shù)之和等于5的有兩種情況：1,4和2,3，所以P＝＝，即n2－n－56＝0，解得n＝－7(舍去)或n＝8. 【答案】　8 考向一 [184]　古典概型的概率 　(1)某藝校在一天的5節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他兩門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. (2)甲口袋中裝有大小相同的標(biāo)號分別為1,2,3,4的4個(gè)小球，乙口袋中裝有大小相同的標(biāo)號分別為2,3,4,5的4個(gè)小球．現(xiàn)從甲、乙口袋中各取一個(gè)小球． ①求兩球標(biāo)號之積為偶數(shù)的概率； ②設(shè)ξ為取出的兩球的標(biāo)號之差的絕對值，求對任意x∈R，不等式x2＋3x＋ξ≥0恒成立的概率． 【思路點(diǎn)撥】　(1)把5門課全排列得到5門課一天的所有排法種數(shù)，分類求出相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法種數(shù)，然后利用古典概型概率計(jì)算公式求概率． (2)依題意，所求事件的概率滿足古典概型，分別求基本事件總數(shù)與所求事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)，進(jìn)而利用古典概型概率公式計(jì)算． 【嘗試解答】　(1)一天中5節(jié)課的安排情況共有A＝120種． 相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法分3類． (1)語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課之間沒有藝術(shù)課，可把3節(jié)文化課捆綁在一起與2門藝術(shù)課全排列，排法種數(shù)為AA＝36種； (2)語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課全排列，之間產(chǎn)生3個(gè)空，有兩門之間插1節(jié)藝術(shù)課，另兩門文化課相鄰，排法種數(shù)為ACAA＝48種； (3)語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課每兩門之間插1節(jié)藝術(shù)課，排法種數(shù)為AA＝12種． 故在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為＝. 【答案】　A (2)①設(shè)兩球標(biāo)號之積為偶數(shù)為事件A，則其對立事件為兩球標(biāo)號之積為奇數(shù)， P(A)＝1－P()＝1－＝. ②對任意x∈R，不等式x2＋3x＋ξ≥0恒成立， 則x2＋3x＋ξ＝0的判別式，Δ≤9,9－ξ≤0. 又ξ∈N，ξ＝2,3,4. 當(dāng)ξ＝2時(shí)，甲取1乙取3，甲取2乙取4，甲取3乙取5，甲取4乙取2； 當(dāng)ξ＝3時(shí)，甲取1乙取4，甲取2乙取5； 當(dāng)ξ＝4時(shí)，甲取1乙取5， 概率為P＝＝. 規(guī)律方法1　1.有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).2.(1)用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉.(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用. 對點(diǎn)訓(xùn)練　(1)如圖10－5－1， 圖10－5－1 給定由6個(gè)點(diǎn)(任意相鄰兩點(diǎn)距離為1)組成的正三角形點(diǎn)陣，在其中任意取2個(gè)點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離為2的概率是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. (2)甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． ①若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，求選出的2名教師性別相同的概率； ②若從報(bào)名的6名教師中任選2名，求選出的2名老師來自同一學(xué)校的概率． 【解析】　(1)從6個(gè)點(diǎn)中選出2個(gè)的選法共有C＝15種 若使得取出的兩點(diǎn)中距離為2，則只能是三角形的頂點(diǎn)中任意取出2個(gè)，只有3種情況P＝＝ 故選B. 【答案】　B (2)①從甲、乙兩校報(bào)名的教師中各選1名，共有n＝CC＝9種選法． 記“2名教師性別相同”為事件A，則事件A包含基本事件總數(shù)m＝C1＋C1＝4，∴P(A)＝＝. ②從報(bào)名的6人中任選2名，有n＝C＝15種選法． 記“選出的2名老師來自同一學(xué)?！睘槭录﨎，則事件B包含基本事件總數(shù)m＝2C＝6. ∴選出2名教師來自同一學(xué)校的概率P(B)＝＝. 考向二 [185]　古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 　某高校在xx年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如圖所示． 組號 分組 頻數(shù) 頻率 第1組 [160,165) 5 0.050 第2組 [165,170) 35 0.350 第3組 [170,175) 30 0.300 第4組 [175,180) 20 0.200 第5組 [180,185] 10 0.100 合計(jì) 100 1.00 (1)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試？ (2)在(1)的前提下，學(xué)校決定在這6名學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官進(jìn)行面試，求第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率？ 【思路點(diǎn)撥】　(1)根據(jù)分層抽樣方法求解． (2)利用古典概型公式計(jì)算． 【嘗試解答】　(1)∵第3、4、5組共有60名學(xué)生， ∴利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為： 第3組：6＝3人， 第4組：6＝2人， 第5組：6＝1人， ∴第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人． (2)由題意知本題是一個(gè)古典概型， 試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有C＝15種 滿足條件的事件是第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試有CC＋1＝9種結(jié)果， ∴至少有一位同學(xué)被A面試的概率為＝ 規(guī)律方法2　有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無論是直接描述還是利用概率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決. 對點(diǎn)訓(xùn)練　某校高三學(xué)生體檢后，為了解高三學(xué)生的視力情況，該校從高三六個(gè)班的300名學(xué)生中以班為單位(每班學(xué)生50人)，每班按隨機(jī)抽樣抽取了8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)，其中高三(1)班抽取的8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)與人數(shù)見下表： 視力數(shù)據(jù) 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人數(shù) 2 2 2 1 1 (1)用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)高三(1)班學(xué)生視力的平均值； (2)已知其余五個(gè)班學(xué)生視力的平均值分別為4.3、4.4,4.5、4.6、4.8.若從這六個(gè)班中任意抽取兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值作比較，求抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對值不大于0.2的概率． 【解】　(1)高三(1)班學(xué)生視力的平均值為＝4.7， 故用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)高三(1)班學(xué)生視力的平均值為4.7， (2)從這六個(gè)班中任意抽取兩個(gè)學(xué)生視力的平均值作比較，所有的取法共有C＝15種，而滿足抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值的絕對值不大于0.2的取法有 (4.3,4.5)、(4.3,4.6)、(4.3,4.7)、(4.3,4.8)、(4.4,4.6)、(4.4,4.7)、(4.4,4.8)、(4.5,4.7)、(4.5,4.8)、(4.6,4.8)，共有9個(gè)，故抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對值不大于0.2的概率為＝. 規(guī)范解答之二十一　古典概型問題求解策略 第一步：理清題意，列出所有基本事件，計(jì)算基本事件總數(shù)；第二步：分析所求事件，找出所求事件的個(gè)數(shù)；第三步：根據(jù)古典概型概率公式求解得出結(jié)論． ————[1個(gè)示范例]————[1個(gè)規(guī)范練]———— 　(12分)袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號分別為1,2. (1)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一張標(biāo)號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率． 【規(guī)范解答】　(1)標(biāo)號為1,2,3的三張紅色卡片分別記為A，B，C，標(biāo)號為1,2的兩張藍(lán)色卡片分別記為D，E，從五張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)(C，E)，(D，E)共10種.3分 由于每一張卡片被取到的機(jī)會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 從五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的結(jié)果為(A，D)，(A，E)，(B，D)共3種.5分 所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的概率為.6分 (2)記F是標(biāo)號為0的綠色卡片，從六張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共15種.9分 由于每一張卡片被取到的機(jī)會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 從六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的結(jié)果為(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F(xiàn))，(B，F(xiàn))，(C，F(xiàn))，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共8種.11分 所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的概率為.12分 【名師寄語】　(1)在列舉基本事件空間時(shí)，易漏掉或重復(fù)計(jì)數(shù)，故要特別關(guān)注細(xì)節(jié)，使解題結(jié)果準(zhǔn)確過程完善.(2)在解決該類問題時(shí)，必要時(shí)要先將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和，或者先去求對立事件的概率，進(jìn)而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蟪鏊笫录母怕? (xx泰安二模)學(xué)校游園活動有一個(gè)游戲項(xiàng)目：箱子里裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從箱子里摸出3個(gè)球，若摸出的是3個(gè)紅球?yàn)閮?yōu)秀；若摸出的2個(gè)紅球1個(gè)白球?yàn)榱己茫环駝t為合格． (1)求在1次游戲中獲得優(yōu)秀的概率； (2)求在1次游戲中獲得良好及以上的概率． 【解】　將3個(gè)紅球編號1,2,3；2個(gè)白球編號為4,5. 則從5個(gè)球中摸出3個(gè)球的所有可能情況為： (123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)共10種． 令D表示在1次游戲中獲得優(yōu)秀的事件，則獲得優(yōu)秀的情況為(123)共一種， E表示在1次游戲中獲得良好的事件，則獲得良好的情況為(124)，(125)，(134)，(135)，(234)，(235)共6種． F表示在1次游戲中獲得良好及以上的事件． (1)P(D)＝； (2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝＋＝.