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2019年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 F單元 平面向量（含解析） 目錄 F單元　平面向量 1 F1　平面向量的概念及其線性運算 1 F2　平面向量基本定理及向量坐標(biāo)運算 1 F3　平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 1 F4 單元綜合 1 F1　平面向量的概念及其線性運算 【文浙江效實中學(xué)高二期末xx】18．已知，，與的夾角為， 求（1）在方向上的投影；（2）與的夾角為銳角，求的取值范圍。 【知識點】向量的投影，向量的夾角 【答案解析】解析：解：（1）在方向上的投影為=；（2）若與的夾角為銳角，則且兩向量不共線，得且，得. 【思路點撥】在求一個向量在另一個向量上的投影時，可直接利用定義進行計算，判斷兩個向量的夾角為銳角或鈍角時，可直接利用數(shù)量積的符號進行解答，注意要排除兩向量共線的情況. 【文浙江效實中學(xué)高二期末xx】5．在中，為的重心，在邊上，且，則 （A） （B） （C） （D） 【知識點】向量的加減幾何運算 【答案解析】B解析：解：因為，則，所以選B 【思路點撥】求向量通常觀察該向量所在的三角形，在三角形中利用向量加法或減法的運算求向量即可；本題還需要注意應(yīng)用三角形重心的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解. 【文廣東惠州一中高三一調(diào)xx】5．若向量則 A. B. C. D. 【知識點】相反向量；向量的四則運算. 【答案解析】B解析 ：解：因為,所以 ，故選B. 【思路點撥】由相反向量的定義得，再結(jié)合向量的加法運算即可. 【理浙江紹興一中高二期末xx】16．如圖，在扇形OAB中，，C為弧AB上的一個動點．若，則的取值范圍是 ▲ ． 【知識點】向量在幾何中的應(yīng)用． (第16題) O A B C 【答案解析】解析 ：解：如圖： 過點C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F，可得 ∵四邊形OECF是平行四邊形 ∴, ∵，與是共線向量且與是共線向量， ∴=x，=y 根據(jù)與同向、與同向，可得x=且y= ∵x、y均為正數(shù)且x+3y中y的系數(shù)較大，當(dāng)點C沿AB弧由A向B運動的過程中，變短而變長, ∴當(dāng)C與A重合時，x=1達到最大而y=0達到最小，此時有最小值為1； 當(dāng)C與A重合時，x=0達到最小而y=1達到最大，此時有最大值為4 即的取值范圍是 故答案為： 【思路點撥】過點C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F．平行四邊形OECF中，可得，結(jié)合平面向量基本定理得到=x，=y ．考慮到x、y均為正數(shù)且中y的系數(shù)較大，所以當(dāng)y越大時的值越大，因此將點C沿AB弧由A向B運動，加以觀察即可得到的取值范圍． 【理浙江紹興一中高二期末xx】16．如圖，在扇形OAB中，，C為弧AB上的一個動點．若，則的取值范圍是 ▲ ． 【知識點】向量在幾何中的應(yīng)用． (第16題) O A B C 【答案解析】解析 ：解：如圖： 過點C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F，可得 ∵四邊形OECF是平行四邊形 ∴, ∵，與是共線向量且與是共線向量， ∴=x，=y 根據(jù)與同向、與同向，可得x=且y= ∵x、y均為正數(shù)且x+3y中y的系數(shù)較大，當(dāng)點C沿AB弧由A向B運動的過程中，變短而變長, ∴當(dāng)C與A重合時，x=1達到最大而y=0達到最小，此時有最小值為1； 當(dāng)C與A重合時，x=0達到最小而y=1達到最大，此時有最大值為4 即的取值范圍是 故答案為： 【思路點撥】過點C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F．平行四邊形OECF中，可得，結(jié)合平面向量基本定理得到=x，=y ．考慮到x、y均為正數(shù)且中y的系數(shù)較大，所以當(dāng)y越大時的值越大，因此將點C沿AB弧由A向B運動，加以觀察即可得到的取值范圍． 【理吉林長春十一中高二期末xx】6．設(shè)點是線段的中點，點在直線外，，，則（ ） A．8 B．4 C．2 D．1 【知識點】向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義． 【答案解析】C解析 ：解：由，∵=， 而 ∴2,故選C． 【思路點撥】先由，又==4，可得答案． 【理廣東惠州一中高三一調(diào)xx】8．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個向量，它的長度，若，，則（ ） 【知識點】向量加減運算;模的運算;夾角的運算. 【答案解析】D 解析 ：解：由題意，則，，得， 由定義知，故選.. 【思路點撥】先求，再求，數(shù)形結(jié)合求，最后套“向量積”的長度公式即可. 【黑龍江哈六中高一期末xx】3．設(shè)向量滿足，，則（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）5 【知識點】向量的模的運算. 【答案解析】A解析 ：解：兩邊平方得，同理，兩邊平方得，兩式相減.故選A. 【思路點撥】把，平方相減即可得到結(jié)果. 【吉林一中高一期末xx】16. 已知點 【知識點】單位向量，向量共線. 【答案解析】解析 ：解： 由已知得，故與向量同方向的單位向量為，故答案為 【思路點撥】先得到，然后再求同方向的單位向量即可. F2　平面向量基本定理及向量坐標(biāo)運算 【文浙江效實中學(xué)高二期末xx】11．已知向量=(,), =(,)，若∥，則=　 　▲ 　　. 【知識點】向量共線的坐標(biāo)表示 【答案解析】解析：解：因為∥，則. 【思路點撥】由向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，直接得到關(guān)于x的方程，解方程即可. 【文四川成都高三摸底xx】1．已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），則a+b= （A）（1，1） （B）（-1，-1） （C）（1，-1） （D）（-1，1） 【知識點】向量的坐標(biāo)運算 【答案解析】D解析：解：由向量的坐標(biāo)運算得a+b=（5，-3）+（-6，4）=（-1，1），所以選D. 【思路點撥】本題主要考查的是向量加法的坐標(biāo)運算，可直接結(jié)合向量加法的運算法則計算. 【理四川成都高三摸底xx】1．已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），則a+b= （A）（1，1） （B）（-1，-1） （C）（1，-1） （D）（-1，1） 【知識點】向量的坐標(biāo)運算 【答案解析】D解析：解：由向量的坐標(biāo)運算得a+b=（5，-3）+（-6，4）=（-1，1），所以選D. 【思路點撥】本題主要考查的是向量加法的坐標(biāo)運算，可直接結(jié)合向量加法的運算法則計算. 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】19．(本小題8分) 如圖所示，在△ABO中，, AD與BC相交于點M， 設(shè)=，=.試用和表示向量. 【知識點】共線向量的基本定理。 【答案解析】=+. 解析 ：解：設(shè)=m+n，則=-=m+n-=(m-1) +n. =-=-=-+.又∵A、M、D三點共線，∴與共線. ∴存在實數(shù)t,使得=t， ...............................2分 (m-1) +n=t(-+). ∴(m-1) +n=-t+t. ∴ ，消去t得：m-1=-2n.即m+2n=1. ①......................4分 又∵=-=m+n-=(m-)+n.=-=-=-+. 又∵C、M、B三點共線，∴與共線. ∴存在實數(shù)t1,使得=t1, ∴(m-)+n=t1（-+）∴， 消去t1得,4m+n=1 ②...............................6分 由①②得m=,n=,=+........................8分 注：本題解法較多，只要正確合理均可酌情給分. 【思路點撥】由D，M，A三點共線，可得存在實數(shù)m使得(m-1) +n=t(-+)，同理可得(m-)+n=t1（-+），根據(jù)向量相等的條件可求m，n，的值，從而可用向量和表示向量. 【吉林一中高一期末xx】15. 在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點,若,其中,則m + n =__________ 【知識點】向量的運算法; 平面向量的基本定理及其意義． 【答案解析】 解析 ：解：如圖所示： ∵平行四邊形ABCD，點E、F分別為邊BC、CD上的中點， ∴而 兩式相加可得,即 ，所以. 【思路點撥】利用向量的運算法則即可得出結(jié)果． 【吉林一中高一期末xx】14. 設(shè)，，若，則實數(shù)________． 【知識點】向量的運算；向量垂直的充要條件. 【答案解析】 解析 ：解：， 又，即解得. 【思路點撥】先由向量的基本運算得到的坐標(biāo)表示，再利用向量垂直的充要條件即可. F3　平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 【文浙江效實中學(xué)高二期末xx】17．如圖，扇形的弧的中點為，動點分別在線段上， 且若，，則的取值范圍 是__ ▲ _． 【知識點】向量的減法運算，向量的數(shù)量積 【答案解析】解析：解：設(shè)OC=x，則BD=2x，顯然0≤x≤1，=. 【思路點撥】在向量的運算中通常把所求的向量利用向量的加法與減法轉(zhuǎn)化為用已知向量表示，再進行解答. 【文浙江效實中學(xué)高二期末xx】10．如圖,在平面四邊形中,,.若,, 則 （A） （B） （C） （D） 【知識點】向量的加法與減法的幾何運算，向量垂直的應(yīng)用、向量的數(shù)量積 【答案解析】B 解析：解：因為,，所以 .，則選B. 【思路點撥】在計算向量的數(shù)量積時，可把所求的向量利用向量的加法和減法向已知條件中的向量轉(zhuǎn)化，再進行計算. 【文浙江效實中學(xué)高二期末xx】3．設(shè)，，且，夾角，則 （A） （B） （C） （D） 【知識點】向量的模、向量的數(shù)量積 【答案解析】A 解析：解： ，所以選A. 【思路點撥】一般求向量的模經(jīng)常利用性質(zhì)：向量的平方等于其模的平方，進行轉(zhuǎn)化求值. 【文浙江紹興一中高二期末`xx】3．已知向量滿足，則（ ） A．0 B．1 C．2 D. 【知識點】向量的數(shù)量積的運算；模的運算. 【答案解析】D解析 ：解：因為向量滿足，所以 ，故選:D. 【思路點撥】把已知條件代入轉(zhuǎn)化之后的表達式即可. 【文浙江寧波高二期末xx】18．（本小題滿分14分） 已知向量，設(shè)函數(shù)． （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）在中，，，分別是角，，的對邊，為銳角，若，，的面積為，求邊的長． 【知識點】解三角形；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示;模、夾角；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用． 【答案解析】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）. 解析 ：解：（1）由題意得 f(x)＝………3分 令………5分 解得： 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為………7分 （2）由得：, 化簡得：, ………9分 又因為，解得： ………10分 由題意知：，解得， ………12分 又,所以 , 故所求邊的長為． ……14分 【思路點撥】（1）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可得到結(jié)論； （2）由，可得，利用△ABC的面積為2，結(jié)合余弦定理，即可求邊a的長． 【典型總結(jié)】本題考查向量知識的運用，考查三角函數(shù)的化簡與三角函數(shù)的性質(zhì)，考查余弦定理的運用，正確化簡函數(shù)是關(guān)鍵． 【文浙江寧波高二期末xx】16.已知正方形的邊長為2，是正方形的外接圓上的動點，則的最大值為______________ 【知識點】向量的坐標(biāo)運算；數(shù)量積運算；一次函數(shù)的單調(diào)性. 【答案解析】解析 ：解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系． O（0，0），A（-1，-1），B（1，-1）．∴=（1，-1）-（-1，-1）=（2，0）． 設(shè)P（x，y），則 ∴=（x，y）-（-1，-1）=（x+1，y+1）． ∴=（2，0）?（x+1，y+1）=2（x+1）， ∵， ∴當(dāng)x=時，的最大值為． 故答案為：． 【思路點撥】建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算和一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出． 【文浙江寧波高二期末xx】3．平面向量與的夾角為，且，，則( ) A. B. C. 2 D. 【知識點】向量的數(shù)量積運算；向量的模的運算. 【答案解析】C解析 ：解：因為，故，所以， 而. 故選：C. 【思路點撥】下通過已知條件得到以及，然后代入即可. 【文四川成都高三摸底xx】17．（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，已知向量m=（a－b，c－a），n=（a+b，c）且mn=0。 （I）求角B的大?。? （Ⅱ）求函數(shù)f（A）=sin的值域。 【知識點】向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，余弦定理、三角函數(shù)的值域 【答案解析】（I）；（Ⅱ）解析：解：由mn=0得，由余弦定理得，又因為B為三角形內(nèi)角，所以； （Ⅱ）由（I）得，所以，則所求函數(shù)的值域為. 【思路點撥】在求角中注意余弦定理的變式應(yīng)用，在三角函數(shù)給定區(qū)間求值域問題，通常先由所給角的范圍得輔角范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性確定值域. 【理浙江紹興一中高二期末xx】3． 已知向量滿足，則 A．0 B．1 C．2 D． 【知識點】向量的數(shù)量積的運算；模的運算. 【答案解析】D解析 ：解：因為向量滿足，所以 ，故選:D. 【思路點撥】把已知條件代入轉(zhuǎn)化之后的表達式即可. 【理浙江寧波高二期末`xx】8.如圖所示,為的外接圓圓心,,為鈍角,M是邊BC的中點,則= （ ） A．21 B．29 C．25 D．40 【知識點】向量數(shù)量積的運算;數(shù)形結(jié)合;數(shù)量積的定義. 【答案解析】B解析 ：解：（如圖） 取AB、AC的中點D、E，可知OD⊥AB，OE⊥AC ∵M是邊BC的中點， ∴ 由數(shù)量積的定義可得 而，故； 同理可得, 故. 故選:B. 【思路點撥】取AB、AC的中點D、E，可知OD⊥AB，OE⊥AC，所求，由數(shù)量積的定義結(jié)合圖象可得, ，代值即可． 【理四川成都高三摸底xx】17．（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，已知向量m=（a－b，c－a），n=（a+b，c）且mn=0。 （I）求角B的大??； （Ⅱ）求函數(shù)f（A）=sin的值域。 【知識點】向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，余弦定理、三角函數(shù)的值域 【答案解析】（I）；（Ⅱ）解析：解：由mn=0得，由余弦定理得，又因為B為三角形內(nèi)角，所以； （Ⅱ）由（I）得，所以，則所求函數(shù)的值域為. 【思路點撥】在求角中注意余弦定理的變式應(yīng)用，在三角函數(shù)給定區(qū)間求值域問題，通常先由所給角的范圍得輔角范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性確定值域. 【江蘇鹽城中學(xué)高二期末xx】16（文科學(xué)生做）在中，，，設(shè). （1）當(dāng)時，求 的值； （2）若，求的值. 【知識點】向量的數(shù)量積；向量的數(shù)量積運算. 【答案解析】（1）-36（2） 解析 ：解：（1）當(dāng)時，， 所以， …………3分 . …………7分 （2）因為 ， …………12分 ，解得. …………14分 【思路點撥】（1）當(dāng)時，，利用向量的數(shù)量積公式計算即可； （2）先計算出，然后解方程即可. 【江蘇鹽城中學(xué)高二期末xx】（文科學(xué)生做）已知平面向量滿足，，，則向量夾角的余弦值為 ▲ ． 【知識點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角． 【答案解析】解析 ：解：設(shè)向量的夾角為；因為，平方變形得：，解得：，所以. 故答案為：. 【思路點撥】先設(shè)出其夾角，根據(jù)已知條件整理出關(guān)于夾角的等式，解方程即可. 【黑龍江哈六中高一期末xx】11．已知向量，向量，向量，則向量與向量的夾角的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D） 【知識點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角 【答案解析】D解析 ：解：，∴A點在以C為圓心，為半徑的圓上， 當(dāng)OA與圓相切時對應(yīng)的位置是OA 與OB所成的角最大和最小的位置 OC與x軸所成的角為；與切線所成的為 所以兩個向量所成的最小值為；最大值為. 故選D 【思路點撥】利用CA是常數(shù)，判斷出A的軌跡為圓，作出A的軌跡；數(shù)形結(jié)合求出兩個向量的夾角范圍． 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】18. (本小題8分) 已知： 、、是同一平面內(nèi)的三個向量，其中 ＝（1，2） ⑴若||，且，求的坐標(biāo)； ⑵若||=且與垂直，求與的夾角θ. 【知識點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；平面向量共線的坐標(biāo)表示；數(shù)量積表示兩個向量的夾角． 【答案解析】⑴ ⑵ 解析 ：解：⑴設(shè) 由 ∴　或 ∴ ...............................4分 ⑵ ……（※） 代入（※）中, ...............................8分 【思路點撥】（1）設(shè)出的坐標(biāo)，利用它與平行以及它的模等于，待定系數(shù)法求出的坐標(biāo)．（2）由與垂直，數(shù)量積等于0，求出夾角的余弦值，再利用夾角的范圍，求出此角的大?。? 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】15.在邊長為1的正中，設(shè),則= ___________； 【知識點】向量的加法；向量數(shù)量積的運算. 【答案解析】解析 ：解：∵∴D為BC的中點， ∴，∵， ∴， , 故答案為． 【思路點撥】根據(jù)，確定點D，E在正三角形ABC中的位置，根據(jù)向量加法滿足三角形法則，把表示出來，利用向量的數(shù)量積的運算法則和定義式即可求得結(jié)果． 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】13．已知向量的夾角為， ； 【知識點】向量加減法的應(yīng)用；數(shù)量積表示兩個向量的夾角． 【答案解析】解析 ：解：因為向量的夾角為，所以 ，則，同理，故 . 故答案為. 【思路點撥】由條件求得利用兩個向量的數(shù)量積的定義求得 的值，再求得以及的值，即可得到的值 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】11. 設(shè)向量、滿足：，，，的夾角是，若與的夾角為鈍角，則的范圍是 （ ） 【知識點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角 【答案解析】B解析 ：解：， ∴． ∴． ∴．設(shè)得：，則 ∴，． ∴當(dāng)時，與的夾角為． ∴的取值范圍是． 故選B. 【思路點撥】欲求實數(shù)的取值范圍，先根據(jù)條件，利用向量積的運算求出的值，由于夾角為鈍角，所以計算得到的值是負值，最后解出此不等式即可得到實數(shù)的取值范圍． 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】5．在△ABC中，已知的值為 （ ） A．－2 B．2 C．4 D．2 【知識點】向量的數(shù)量積公式；向量的模的運算；三角形面積公式. 【答案解析】D解析 ：解：因為設(shè)與的夾角為，所以 即，故， 則. 【思路點撥】先利用三角形面積公式計算出，再用平方關(guān)系得到，最后利用向量的數(shù)量積公式可得結(jié)果. 【甘肅蘭州一中高一期末考試xx】3. 已知 則向量在方向上的投影為 （ ） A. B. C. D. 【知識點】向量的投影; 平面向量數(shù)量積的含義． 【答案解析】A解析 ：解：根據(jù)投影的定義， 可得向量在方向上的投影是：,故選A． 【思路點撥】根據(jù)投影的定義應(yīng)用變形公式求解． 【福建南安一中高一期末xx】15. △ABC滿足，∠BAC=30， 設(shè)M是△ABC內(nèi)的一點(不在邊界上)，定義f(M)=(x,y,z)， 其中分別表示△MBC，△MCA,△MAB的面積， 若，則的最小值為__________________ 【知識點】向量的數(shù)量積計算公式，三角形面積公式，基本不等式求最值 【答案解析】18解析：解：由向量的數(shù)量積公式得，得，所以，則x+y=1－=，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以最小值為18. 【思路點撥】利用向量的數(shù)量積和三角形面積計算公式得出x+y為定值，即出現(xiàn)了利用“1”的代換湊出基本不等式的題型特征，再求最值. 【文吉林一中高二期末xx】13. 已知兩個非零向量a與b，定義a ?b＝|a||b|sinθ，其中θ為a與b的夾角．若a＋b＝(－3，6)，a－b＝(－3，2)，則a ?b＝________． 【知識點】新定義；數(shù)量積表示兩個向量的夾角． 【答案解析】6 解析 ：解：a＝(－3，4)，b＝(0，2)，ab＝|a||b|cosθ＝52cosθ＝8，cosθ＝，所以sinθ＝，a ?b＝52＝6. 【思路點撥】由條件求得a＝(－3，4)，b＝(0，2)，可得| a|和| b|的值，從而求得cosθ的值，可得 sinθ的值，再由a ?b＝|a||b|sinθ，運算求得結(jié)果． 【理浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】8．若的外接圓的圓心為，半徑為，若，且，則 等于（ ▲ ） A． B． C． D． 【知識點】向量在幾何中的應(yīng)用；向量的數(shù)量積；向量垂直的充要條件. 【答案解析】C解析 ：解：∵， ∴O，B，C共線，BC為圓的直徑，如圖 ∴AB⊥AC． 故∠ACB=． 則 故選C． 【思路點撥】利用向量的運算法則將已知等式化簡得到，得到BC為直徑，故△ABC為直角三角形，求出三邊長可得∠ACB 的值，利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出的值． 【吉林一中高一期末xx】19. 設(shè)向量滿足及， （Ⅰ）求夾角的大??；（Ⅱ）求的值． 【知識點】向量的數(shù)量積公式；向量的模的運算. 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析 ：解： (Ⅰ)設(shè)與夾角為，， 而，∴，即 又，∴所成與夾角為. (Ⅱ)∵所以. 【思路點撥】（1）借助于已知條件，把平方可得，再利用向量的數(shù)量積公式即可；（2）利用已知條件求的算術(shù)平均數(shù)即可. 【吉林一中高一期末xx】17. 已知． （1）若，求的值； （2）若，且，求的值． 【知識點】平面向量數(shù)量積的運算．兩角和的正切公式. 【答案解析】（1）（2）7 解析 ：解：（1）∵ ∴ （2）∵∴，， ==7 【思路點撥】（1）直接利用向量數(shù)量積的公式即可；（2）由已知條件把 轉(zhuǎn)化，再利用兩角和的正切公式得到結(jié)果. 【吉林一中高一期末xx】13. 在長江南岸渡口處，江水以12.5 km/h的速度向東流，渡船的速度為25 km/h.渡船要垂直地渡過長江，則航向為________． 【知識點】向量在幾何中的應(yīng)用． 【答案解析】北偏西30 解析 ：解：如圖，設(shè)渡船速度為，水流速度為，則船實際垂直過江的速度為，由題意知，||=12.5，||=25， ∵四邊形OADB為平行四邊形，∴||=||，又∵OD⊥BD，∴在Rt△OBD中，∠BOD=30，則航向為北偏西30． 故答案為：北偏西30 【思路點撥】根據(jù)題意分別用向量表示船速、水流速度，由向量加法的四邊形法則畫出圖形，根據(jù)條件在直角三角形中求出船航行的角度． 【典型總結(jié)】 本題考查了向量的加法幾何意義的實際應(yīng)用，即用向量來表示題中的矢量，根據(jù)向量的知識進行求解． 【吉林一中高一期末xx】7. 在正三角形中,,是上一點,且,則 （　　） A． B． C． D． 【知識點】平面向量數(shù)量積的運算． 【答案解析】A解析 ：解：如圖所示，∵，，==． ∴====． 故選A． 【思路點撥】利用向量的運算法則和數(shù)量積運算即可得出． 【吉林一中高一期末xx】4. 設(shè)向量,m是向量a 在向量b向上的投影,則m的最大值是 （　?。? A． B．4 (c)2 D．3 【知識點】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角. 【答案解析】C解析 ：解：∵向量=（sinθ+cosθ+1，1）=（2sin（θ+）+1，1），=（1，1），∴=2sin（θ+）+2． 由題意可得m=||?cos＜，＞=||?=． 再由θ∈[，]，可得θ+∈[，]，sin（θ+）∈[，1]，故m的最大值為 =2， 故選C. 【思路點撥】由條件求得 =2sin（θ+）+2．由題意可得m=||?cos＜，＞=．再由θ∈[，]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得sin（θ+）的最大值，即可求得m的最大值． 【吉林一中高一期末xx】3. 若兩個非零向量，滿足，則向量與的夾角為（ ） A． B． C． D． 【知識點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角． 【答案解析】B 解析 ：解：由已知得 化簡①得，再化簡②可得，令，則由 以及，可得四邊形OACB為矩形，∠AOC即為向量與的夾角．令OA=1，則OC=2，直角三角形OBC中，cos∠BOC==， ∴∠AOC=，故選B． 【思路點撥】將平方，轉(zhuǎn)化可得，，令，，數(shù)形結(jié)合求得cos∠BOC 的值，可得∠BOC 的值，即為所求． 【吉林一中高一期末xx】2. 的三個內(nèi)角A．B．C成等差數(shù)列，，則一定是（　?。? A．直角三角形 B．等邊三角形 C．非等邊銳角三角形 D．鈍角三角形 【知識點】等差中項的定義；向量的數(shù)量積的運算；兩個向量垂直的充要條件. 【答案解析】B 解析 ：解：的三個內(nèi)角A．B．C成等差數(shù)列，所以，，又，所以，. 設(shè)為邊上的中點,則, 又,所以，，即， 故△ABC為等邊三角形，故選B． 【思路點撥】先由三個內(nèi)角A．B．C成等差數(shù)列得到 ， 然后利用，得到， 進而得到結(jié)論. F4 單元綜合 【理吉林長春十一中高二期末xx】11．在橢圓上有兩個動點.為定點，,則的最小值為(　　) A．6 B． C．9 D． 【知識點】向量在幾何中的應(yīng)用. 【答案解析】A解析 ：解：設(shè)P（x，y），則，即 ∵，∴， 而(x?4)2+6，∵ ∴當(dāng)時，(x?4)2+6有最小值6，故選A． 【思路點撥】根據(jù)，和向量的數(shù)量積的幾何意義，得∴ ，設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用兩點間距離公式求出EP2，根據(jù)點P在橢圓上，代入消去y，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題，即可解得結(jié)果． 【典型總結(jié)】此題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及向量數(shù)量積的幾何意義，和橢圓的有界性，二次函數(shù)求最值等基礎(chǔ)知識，注意橢圓的有界性，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力． 【文浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】9．若的外接圓的圓心為，半徑為，若，且，則 等于（ ▲ ） A． B． C． D． 【知識點】向量在幾何中的應(yīng)用；向量的數(shù)量積；向量垂直的充要條件. 【答案解析】C解析 ：解：∵， ∴O，B，C共線，BC為圓的直徑，如圖 ∴AB⊥AC． 故∠ACB=． 則 故選C． 【思路點撥】利用向量的運算法則將已知等式化簡得到，得到BC為直徑，故△ABC為直角三角形，求出三邊長可得∠ACB 的值，利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出的值．