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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理（普通班）蘇教版 一、填空題： 1．已知是虛數(shù)單位，則 ▲ . 2．空間兩點(diǎn)，之間的距離是 ▲ ． 3．用反證法證明命題“如果a>b，那么>”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為__▲___． 4. 已知，，，，，由此可猜想__▲__． 5．二項(xiàng)式展開式中， 的系數(shù)為 ▲ ． 6．已知矩陣A－1 =，B－1 =，則 (AB)－1 = ▲． 7．隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，則P＝_▲_. 8．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為__▲____． 9．復(fù)平面內(nèi)有三點(diǎn)，點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是____▲_____. 10．已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，則直線AE與平面ABC1D1所成角的正弦值等于 ▲ ． 11．有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從這20個(gè)零件中任意取3個(gè)，那么至少有1個(gè)一等品的概率是___▲___． 12．設(shè)f(n)＝1＋(n∈N*)，則f(k＋1)－f(k)＝__▲___. 13．在某班進(jìn)行的演講比賽中，共有位選手參加，其中位女生，位男生.如果位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個(gè)，那么出場順序的排法種數(shù)為 ▲ . (請用數(shù)字作答！) 14．若 且，則實(shí)數(shù)m的值是___▲__． 二、解答題： 15．已知是復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)（為虛數(shù)單位），且為純虛數(shù)． （1）求復(fù)數(shù)； （2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 16．二階矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，－1）與（－2，1）分別變換成點(diǎn)（－1，－1）與（0，－2）． （Ⅰ）求矩陣M； （Ⅱ）設(shè)直線在變換M作用下得到了直線m：2x－y=4，求的方程． （第17題圖） A B C A1 B1 C1 17.如圖，在直三棱柱中，已知，，． 請建立合適的空間直角坐標(biāo)系，解決以下問題： （1）求異面直線與夾角的余弦值； （2）求二面角平面角的余弦值． 18．已知在的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng). （1）求n； （2）問展開式中的有理項(xiàng)分別為第幾項(xiàng)？說明理由． 19.某四星高中推薦甲、乙、丙三名學(xué)生參加某大學(xué)自主招生考核測試，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等級．若考核為合格，授予10分降分資格；考核為優(yōu)秀， 授予20分降分資格．假設(shè)甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核所得的等級相互獨(dú)立． (1)求在這次考核中，甲、乙、丙三名學(xué)生至少有一名考核為優(yōu)秀的概率； (2)記在這次考核中甲、乙、丙三名學(xué)生所得降分之和為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列． 20. 已知. （1）求的值； （2）判斷與的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 高二數(shù)學(xué)期中試卷（理科普通班） 參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 1． 2． 3． ＝或< 4． 5． 45 6． 7． 8． 1∶8 9． 10． 11． （或未化簡，） 12． 13． 60 14． -3或1 15．已知是復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)（為虛數(shù)單位），且為純虛數(shù)． （1）求復(fù)數(shù)； （2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍 解：（1）設(shè)． 1分 由為實(shí)數(shù)，得，即． 3分 由為純虛數(shù)，得． 5分 ∴． 6分 （2）∵， 8分 根據(jù)條件，可知 12分 解得， ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是． 14分 16．二階矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，－1）與（－2，1）分別變換成點(diǎn)（－1，－1）與（0，－2）． （Ⅰ）求矩陣M； （Ⅱ）設(shè)直線在變換M作用下得到了直線m：2x－y=4，求的方程 解：（Ⅰ）設(shè)，則有=，=， 所以， 4分 解得 所以M= 6分 （Ⅱ）因?yàn)榍襪：2， 10分 所以2（x+2y）－（3x+4y）=4，即x+4 =0，這就是直線l的方程 14分 （第17題圖） A B C A1 B1 C1 17.如圖，在直三棱柱中，已知，，． 請建立合適的空間直角坐標(biāo)系，解決以下問題： （1）求異面直線與夾角的余弦值； （2）求二面角平面角的余弦值． 17．如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系． 則，，，，所以，， （第17題圖） A B C A1 B1 C1 ，． （1）因?yàn)椋? 所以異面直線與夾角的余弦值為． …………………………7分 （2）設(shè)平面的法向量為， 則 即 取平面的一個(gè)法向量為； 設(shè)平面的法向量為，則 即 取平面的一個(gè)法向量為； 則， 所以二面角平面角的余弦值為． …………………………15分 18．已知在的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng). （1）求n； （2）問展開式中的有理項(xiàng)分別為第幾項(xiàng)？說明理由。 （1） 故. 7分 （2）設(shè)展開式中的有理項(xiàng)為 則，故r =2，5，8 展開式中的有理項(xiàng)分別為第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，第9項(xiàng). 8分 19.某四星高中的校長推薦甲、乙、丙三名學(xué)生參加某大學(xué)自主招生考核測試，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等級．若考核為合格，授予10分降分資格；考核為優(yōu)秀， 授予20分降分資格．假設(shè)甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核所得的等級相互獨(dú)立． (1)求在這次考核中，甲、乙、丙三名學(xué)生至少有一名考核為優(yōu)秀的概率； (2)記在這次考核中甲、乙、丙三名學(xué)生所得降分之和為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列． 【解析】(1)記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A，“乙考核為優(yōu)秀”為事件B，“丙考核為優(yōu)秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件E. 則事件A、B、C是相互獨(dú)立事件，事件與事件E是對立事件，于是 P(E)＝1－P()＝1－(1－)(1－)(1－)＝. 6分 (2)ξ的所有可能取值為30,40,50,60. P(ξ＝30)＝P()＝(1－)(1－)(1－)＝， P(ξ＝40)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝， P(ξ＝50)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝， P(ξ＝60)＝P(ABC)＝. 14分 所以ξ的分布列為 16分 ξ 30 40 50 60 P 20. 已知. （1）求的值； （2）判斷與的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。 解：（1）， ,1189 3分 （2） ①n=1時(shí)，3=1+2成立 5分 ②假設(shè)時(shí)， 6分 時(shí)， 10分 時(shí)結(jié)論成立。 14分 綜上：由①②知： 16分