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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第六章 第34課 平面向量的基本定理及坐標表示要點導學 平面向量基本定理的應用 　在梯形ABCD中,AB∥CD,M,N分別是AD,BC的中點,=k(k≠1),設=e1,=e2,選擇基底{e1,e2},試寫出向量,,在此基底下的分解式. (例1) [思維引導]由=k(k≠1),易求出,再由+++=0,求得;最后利用+++=0,求得. [解答]因為=e2,且=k,所以=k=ke2. 又+++=0, 所以=---=-++=-e2+ke2+e1=e1+(k-1)e2. 又+++=0,所以=---=+-=+e2-=[e1+(k-1)e2]+e2-e1=e2. [精要點評]應用平行向量的基本定理及向量的多邊形加法法則是解決本題的關鍵. 　(xx鎮(zhèn)江期末)已知△ABC中,點D,E分別為邊AC,AB上的點,且DA=2CD,EB=2AE,若=a,=b,則以a,b為基底表示=　　　　. [答案]-a+b [解析]因為=-=-=(-)+=-a+b. 平面向量的坐標運算 　已知點A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設=a,=b,=c,且=3c,=-2b. (1) 求3a+b-3c; (2) 求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n; (3) 求點M,N的坐標及向量的坐標. [解答]由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1) 3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(6,-42). (2) 因為mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), 所以解得 (3) 設O為坐標原點,因為=-=3c, 所以=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20), 所以M(0,20). 又=-=-2b, 所以=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), 所以N(9,2). 所以=(9,-18). [精要點評]向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行.若已知有向線段兩端點的坐標,則應先求出向量的坐標,解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則. 　(xx灌云高級中學)已知向量a=(1,-3),b=(4,-2),若(λa+b)∥b,則λ=　　　　. [答案]0 [解析]由題意得λa+b=λ(1,-3)+(4,-2)=(λ+4,-3λ-2),由(λa+b)∥b,得(λ+4)(-2)-(-3λ-2)4=0,解得λ=0. 利用平面向量的坐標表示解決綜合問題 　如圖所示,已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交點P的坐標. (例3) [思維引導]兩線段相交可反映為兩組向量分別共線來處理. [解答]設P(x,y),則=(x,y),=(4,4). 因為,共線,所以4x-4y=0,即x=y.① 又=(x-2,y-6),=(2,-6),且,共線, 所以-6(x-2)-2(y-6)=0,解得x=3,y=3,② 所以P(3,3). [精要點評]坐標運算往往含有待定的未知參數(shù),轉化為方程求解即可.本題還可用求直線方程的方法求坐標. 　(xx陜西卷)在平面直角坐標系xOy中,已知點A(1,1),B(2,3),C(3,2),點P(x,y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上. (1) 若++=0,求||; (2) 設=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值. [解答](1) 方法一:因為++=0, 又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y), 所以解得 即=(2,2),故||=2. 方法二:因為++=0, 則(-)+(-)+(-)=0, 所以=(++)=(2,2), 所以||=2. (變式) (2) 因為=m+n, 所以(x,y)=(m+2n,2m+n), 所以 兩式相減得m-n=y-x. 令y-x=t,由圖知,當直線y=x+t過點B(2,3)時,t取得最大值1,故m-n的最大值為1. 在△ABC中,角A所對的邊長為2,向量m=,向量n=. (1) 求mn取得最大值時角A的大小; (2) 在(1)的條件下,求△ABC面積的最大值. [規(guī)范答題] (1) mn=2sin-=2sin-cos(B+C).(2分) 因為 A+B+C=π, 所以B+C=π-A. 于是mn=2sin+cos A =-2sin 2+2sin+1 =-2+.(4分) 因為∈,所以當且僅當sin=,即A=時,mn取得最大值. 故mn取得最大值時角A=.(6分) (2) 設角A,B,C所對的邊分別為a,b,c, 由余弦定理,得 b2+c2-a2=2bccos A, 即bc+4=b2+c2≥2bc, 所以bc≤4,當且僅當b=c=2時取等號.(10分) 又S△ABC=bcsin A=bc≤,當且僅當a=b=c=2時,△ABC的面積取得最大值.(14分) 1. 已知a=(1,y),b=(x,-2),且2a-3b=(5,8),那么x+y=　　　　. [答案]0 2. 若向量=(1,2),=(3,4),則=　　　　. [答案](4,6) 3. 已知點M(3,-2),N(-5,-1).若=,則點P的坐標為　　　　　　　. [答案] [解答]設P(x,y),則=(x-3,y+2),=(-8,1),由=,得(x-3,y+2)=(-8,1),解得x=-1,y=-. 4. (xx陜西卷)設0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1).若a∥b,則tanθ=　　　　. [答案] [解析]因為向量a∥b,所以sin2θ-cosθcosθ=0,又cosθ≠0,所以2sinθ=cosθ,故tanθ=. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習(第67-68頁).