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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練八 第1講 幾何證明選講 理 考情解讀　本講主要考查相似三角形與射影定理，圓的切線及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理，圓周角定理及弦切角定理，相交弦、切割線、割線定理等，本部分內(nèi)容多數(shù)涉及圓，并且多是以圓為背景設(shè)計(jì)的綜合性考題，考查邏輯推理能力． 1．(1)相似三角形的判定定理 判定定理1：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似． 判定定理2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似． 判定定理3：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似． (2)相似三角形的性質(zhì) ①相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比； ②相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比； ③相似三角形面積的比等于相似比的平方． (3)直角三角形的射影定理 直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)． 2．(1)圓周角定理 圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半． (2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)． 3．(1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理 ①圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)； ②圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角． (2)圓內(nèi)接四邊形判定定理 如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓． 4．(1)圓的切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑． (2)圓的切線的判定定理 經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． (3)弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角． (4)相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等． (5)切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)． 5．證明等積式成立，應(yīng)先把它寫(xiě)成比例式，找出比例式中給出的線段所在三角形是否相似，若不相似，則進(jìn)行線段替換或等比替換． 6．圓冪定理與圓周角、弦切角聯(lián)合應(yīng)用時(shí)，要注意找相等的角，找相似三角形，從而得出線段的比．由于圓冪定理涉及圓中線段的數(shù)量計(jì)算，所以應(yīng)注意代數(shù)法在解題中的應(yīng)用． 熱點(diǎn)一　相似三角形及射影定理 例1　如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，則AC∶BC的值為_(kāi)_______． 答案　3∶2 解析　方法一　因?yàn)椤螦CB＝90，CD⊥AB于D， 所以由射影定理，得AC2＝ADAB，BC2＝BDAB. 所以()2＝＝. 又AD∶BD＝9∶4， 所以AC∶BC＝3∶2. 方法二　因?yàn)锳D∶BD＝9∶4， 所以可設(shè)AD＝9k，BD＝4k，k∈R＋. 又∠ACB＝90，CD⊥AB于D， 由射影定理，得CD2＝ADBD， 所以CD＝6k. 由勾股定理，得AC＝3和BC＝2， 所以AC∶BC＝3∶2. 思維升華　含斜邊上的高的直角三角形是相似三角形中的基本圖形，本題中出現(xiàn)多對(duì)相似三角形，這為解決問(wèn)題提供了許多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性質(zhì)在直角三角形中的一個(gè)經(jīng)典應(yīng)用，在類似問(wèn)題中應(yīng)用射影定理十分簡(jiǎn)捷． 如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，BE的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案　4 解析　∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90， ∴CD2＝AD2－AC2＝128， ∴CD＝8. 又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC， ∴＝，∴BE＝＝＝4. 熱點(diǎn)二　相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用 例2　如圖所示，AB為⊙O的直徑，P為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，CD⊥AB，垂足為D，且PA＝4，PC＝8，則tan∠ACD和sin P的值為_(kāi)_______． 答案　， 解析　連接OC，BC.因?yàn)镻C為⊙O的切線，所以PC2＝PAPB. 故82＝4PB，所以PB＝16.所以AB＝16－4＝12. 由條件，得∠PCA＝∠PBC， 又∠P＝∠P， 所以△PCA∽△PBC. 所以＝. 因?yàn)锳B為⊙O的直徑，所以∠ACB＝90. 又CD⊥AB，所以∠ACD＝∠B. 所以tan∠ACD＝tan B＝＝＝＝. 因?yàn)镻C為⊙O的切線，所以∠PCO＝90. 又⊙O直徑為AB＝12，所以O(shè)C＝9，PO＝10. 所以sin P＝＝＝. 思維升華　(1)求非特殊角的函數(shù)值的關(guān)鍵是將這些角歸結(jié)到直角三角形中，利用直角三角形的邊之比表示出角的三角函數(shù)值，然后根據(jù)已知條件將這些比值轉(zhuǎn)化為已知線段的比值． (2)線段成比例的證明，一般利用三角形相似進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在圓中的相關(guān)問(wèn)題，應(yīng)注意靈活利用圓中的切割線定理、相交弦定理等求解相關(guān)線段的長(zhǎng)度或構(gòu)造比例關(guān)系． (xx廣東)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長(zhǎng)BC到D使BC＝CD，過(guò)C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝____________. 答案　2 解析　C為BD中點(diǎn)，且AC⊥BC，故△ABD為等腰三角形．AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，又＝?AC2＝AEAD＝46＝24，AC＝2，在△ABC中，BC＝＝＝2. 熱點(diǎn)三　圓的有關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 例3　如圖，△ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E. 若△ABC的面積S＝ADAE，則∠BAC的大小為_(kāi)_______． 答案　90 解析　由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD. 因?yàn)椤螦EB與∠ACD是同弧所對(duì)的圓周角， 所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.所以＝， 即ABAC＝ADAE. 又S＝ABACsin∠BAC，且S＝ADAE， 故ABACsin∠BAC＝ADAE， 則sin∠BAC＝1.又∠BAC為△ABC的內(nèi)角， 所以∠BAC＝90. 思維升華　高考中對(duì)幾何證明的命題集中在圓和三角形、四邊形相結(jié)合的綜合性題目上，這類試題往往要綜合運(yùn)用多個(gè)定理和添加一定的輔助線才能解決．已知圓的切線時(shí)，第一要考慮過(guò)切點(diǎn)和圓心的連線得直角；第二應(yīng)考慮弦切角定理；第三涉及線段成比例或線段的積時(shí)要考慮切割線定理．同時(shí)注意四點(diǎn)共圓的判定及性質(zhì)的應(yīng)用． (xx湖北)如圖，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，點(diǎn)D在半徑OC上的射影為E，若AB＝3AD，則的值為_(kāi)_______． 答案　8 解析　易知△CDO∽△CED， ∴＝， 設(shè)圓O半徑為R，則AD＝R，OD＝R， ∴CD2＝R2－(R)2＝R2， ∴CE＝＝R，EO＝R，故＝8. 1．證明兩角相等，關(guān)鍵是確定兩角之間的關(guān)系，多利用中間量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以通過(guò)證明三角形相似或全等，利用平行線的有關(guān)定理，如同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等等，也可利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用等腰三角形的兩個(gè)底角相等、圓中同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等尋找中間量進(jìn)行過(guò)渡． 2．證明或?qū)ふ覉A內(nèi)接圖形中的角之間的關(guān)系，除了注意平面圖形中的垂直、平行關(guān)系之外，還應(yīng)注意弦切角、同弧所對(duì)角等性質(zhì)的靈活運(yùn)用． 真題感悟 1．(xx湖南)如圖，已知AB，BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，則⊙O的半徑等于________． 答案　 解析　如圖，延長(zhǎng)AO交圓O于點(diǎn)D，連接BD，則AB⊥BD. 在Rt△ABD中，AB2＝AEAD. ∵BC＝2，AO⊥BC，∴BE＝. ∵AB＝，∴AE＝1， ∴AD＝3，∴r＝. 2．(xx廣東)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上且EB＝2AE，AC與DE交于點(diǎn)F，則＝_________________________. 答案　9 解析　在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镋B＝2AE，所以＝＝，故＝3.因?yàn)锳E∥CD，所以△AEF∽△CDF，所以＝()2＝9. 押題精練 1.如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點(diǎn)，則EF＝________. 答案　 解析　連接DE，由于E是AB的中點(diǎn)， 故BE＝. 又CD＝，AB∥DC，CB⊥AB， ∴四邊形EBCD是矩形． 在Rt△ADE中，AD＝a， F是AD的中點(diǎn)，故EF＝. 2．(xx陜西)如圖，△ABC中，BC＝6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AC＝2AE，則EF＝____________. 答案　3 解析　∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB， ∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴2＝，∴EF＝3. 3．(xx天津改編)如圖，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線交圓于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B的圓的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.在上述條件下，給出下列四個(gè)結(jié)論：①BD平分∠CBF；②FB2＝FDFA；③AECE＝BEDE；④AFBD＝ABBF. 則所有正確結(jié)論的序號(hào)是________． 答案　①②④ 解析　對(duì)于①，∵BF是圓的切線， ∴∠CBF＝∠BAC，∠4＝∠1. 又∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2. 又∠2＝∠3，∴∠3＝∠4， 即BD平分∠CBF，故①正確； 對(duì)于②，根據(jù)切割線定理有FB2＝FDFA， 故②正確； 對(duì)于③，∵∠3＝∠2，∠BED＝∠AEC， ∴△BDE∽△ACE. ∴＝，即AEDE＝BECE，故③錯(cuò)誤； 對(duì)于④，∵∠4＝∠1，∠BFD＝∠AFB， ∴△BFD∽△AFB，∴＝， 即AFBD＝ABBF，故④正確． (推薦時(shí)間：40分鐘) 1．(xx湖北)如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.過(guò)PA的中點(diǎn)Q作割線交⊙O于C，D兩點(diǎn)．若QC＝1，CD＝3，則PB＝________. 答案　4 解析　由切割線定理得QA2＝QCQD＝4，解得QA＝2.則PB＝PA＝2QA＝4. 2．(xx重慶)過(guò)圓外一點(diǎn)P作圓的切線PA(A為切點(diǎn))，再作割線PBC依次交圓于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，則AB＝________. 答案　4 解析　由切割線定理得PA2＝PBPC＝PB(PB＋BC)，即62＝PB(PB＋9)，解得PB＝3(負(fù)值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，則＝，即＝，解得AB＝4. 3．如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P.若＝，＝，則的值為_(kāi)_______． 答案　 解析　∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD.∴＝＝.∵＝，＝， ∴＝. 4．如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF＝3，F(xiàn)B＝1，EF＝，則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案　 解析　因?yàn)锳FBF＝EFCF，解得CF＝2， 所以＝，即BD＝.設(shè)CD＝x，AD＝4x， 所以4x2＝，所以x＝. 5.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，AE交BC于點(diǎn)F，則的值為_(kāi)_____． 答案　 解析　過(guò)點(diǎn)D作DM∥AF交BC于點(diǎn)M. ∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)， ∴在△BDM中，BF＝FM， 又點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)， ∴在△CAF中，CM＝MF， ∴＝＝. 6．(xx廣東)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長(zhǎng)BC到D使BC＝CD，過(guò)C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝________. 答案　2 解析　C為BD中點(diǎn)，且AC⊥BC，故△ABD為等腰三角形．AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，又＝?AC2＝AEAD＝46＝24，AC＝2，在△ABC中，BC＝＝＝2. 7.如圖，PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA＝2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B，PB＝1，則圓O的半徑R＝________. 答案　 解析　由切割線定理可得PA2＝PBPC， 即PC＝＝＝4， 所以BC＝PC－PB＝3， 因?yàn)锳C是圓O的直徑， 所以∠ABC＝90， 所以AB2＝BCBP＝3， 所以AC2＝BC2＋AB2＝9＋3＝12， 即AC＝＝2， 所以2R＝2，即R＝. 8．如圖，AB，CD是圓O內(nèi)的兩條平行弦，BF∥AC，BF交CD于點(diǎn)E，交圓O于點(diǎn)F，過(guò)A點(diǎn)的切線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，若PC＝ED＝1，PA＝2，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案　 解析　∵PA是⊙O的切線， ∴由切割線定理得PA2＝PCPD. ∵PA＝2，PC＝1， ∴PD＝4. 又∵PC＝ED＝1， ∴CE＝2，由題意知四邊形ABEC為平行四邊形， ∴AB＝CE＝2，連接BC，如圖， ∵PA是⊙O的切線， ∴∠PAC＝∠CBA. ∵AB，CD是圓的兩條平行弦， ∴∠PCA＝∠CAB， ∴△PAC∽△CBA，∴＝， ∴AC2＝PCAB＝2，∴AC＝. 9．如圖，已知AD＝5，DB＝8，AO＝3，則圓O的半徑OC的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案　5 解析　由圓的割線定理得，AEAC＝ADAB，即(AO－OE)(AO＋OC)＝AD(AD＋DB)，即(3－OC)(3＋OC)＝5(5＋8)，解得OC＝5. 10．如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，割線PBC經(jīng)過(guò)圓心O，OB＝PB＝1，OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到OD，則PD的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案　 解析　∵PA切⊙O于點(diǎn)A，B為PO的中點(diǎn)，∴∠AOB＝60，∴∠POD＝120.在△POD中，由余弦定理，得PD2＝PO2＋DO2－2PODOcos∠POD＝4＋1－4(－)＝7，故PD＝. 11．如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，它們相交于點(diǎn)P，連接AD，BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，則PAPB＝________. 答案　12 解析　由AD＝BD＝4，得∠PAD＝∠B，又∠B＝∠C，所以∠PAD＝∠C，又∠ADP＝∠CDA，所以△ADP∽△CDA.又PC＝6，設(shè)PD＝x，由＝，得＝，解得x＝2或x＝－8(舍去)， 即PD＝2，由相交弦定理，得PAPB＝PCPD＝62＝12. 12.如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD是斜邊BC上的高，若AB∶AC＝2∶1，則AD∶BC＝________. 答案　2∶5 解析　設(shè)AC＝k，則AB＝2k，BC＝k， ∵∠BAC＝90，AD⊥BC，∴AC2＝CDBC， ∴k2＝CDk，∴CD＝k， 又BD＝BC－CD＝k， ∴AD2＝CDBD＝kk＝k2， ∴AD＝k，∴AD∶BC＝2∶5. 13.如圖，四邊形ABCD中，DF⊥AB，垂足為F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延長(zhǎng)FB到E，使BE＝FB，連接BD，EC.若BD∥EC，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_______． 答案　6 解析　過(guò)點(diǎn)E作EN⊥DB交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，在Rt△DFB中，DF＝3，F(xiàn)B＝1，則BD＝，由Rt△DFB∽R(shí)t△ENB， 知＝， 所以EN＝，又BD∥EC，所以EN為△BCD底邊BD上的高，故S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝ABDF＋BDEN＝33＋＝6. 14.如圖，AB是圓O的直徑，CD⊥AB于D，且AD＝2BD，E為AD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交圓O于F.若CD＝，則AB＝________， EF＝________. 答案　3　 解析　∵AB為圓O的直徑，∴AC⊥BC. ∵CD⊥AB于D， ∴由射影定理得CD2＝ADBD. ∵AD＝2BD，CD＝， ∴()2＝2BDBD，解得BD＝1， ∴AD＝2BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝2＋1＝3. 在Rt△CDE中，∵E為AD的中點(diǎn)， ∴DE＝AD＝1，又CD＝， ∴CE＝＝， 又AE＝DE＝1，EB＝2， 由相交弦定理得EF＝＝. 15.如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點(diǎn)C，AD⊥CE于點(diǎn)D，若AD＝1，∠ABC＝30，則圓O的面積是________． 答案　4π 解析　∠ACD＝∠ABC＝30， AC＝＝2， AB＝＝4， 故圓O的面積為π22＝4π.