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2019-2020年高考數(shù)學大一輪總復習 第2篇 第11節(jié) 導數(shù)的簡單應用課時訓練 理 新人教A版
一、選擇題
1．函數(shù)y＝(3－x2)ex的單調遞增區(qū)間是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)
解析：y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝ex(－x2－2x＋3)，
由y′>0?x2＋2x－3<0?－3
t，x∈(x1，x2)時恒成立，故e＋1>t.
答案：(－∞，e＋1)
8．(xx福建廈門外國語學校高三模擬)若函數(shù)f(x)＝x4－ax3＋x2－2有且僅有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍________．
解析：f′(x)＝4x3－3ax2＋2x＝x(4x2－3ax＋2)，函數(shù)f(x)＝x4－ax3＋x2－2有且只有一個極值點的充要條件是9a2－32≤0，
解得－≤a≤.
答案：－，
9．(xx鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是________．
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，
根據(jù)已知＝2，
得a＝3，
即f(x)＝－x3＋3x2－4.
根據(jù)函數(shù)f(x)的極值點，可得函數(shù)f(m)在[－1,1]上的最小值為f(0)＝－4，f′(x)＝－3n2＋6n在[－1,1]上單調遞增，
所以f′(n)的最小值為f′(－1)＝－9.
[f(m)＋f′(n)]min＝f(m)min＋f′(n)min＝－4－9＝－13.
答案：－13
10．函數(shù)f(x)＝的單調遞增區(qū)間是________．
解析：f′(x)＝
＝>0，
即cos x>－，
結合三角函數(shù)圖象或是單位圓中的三角函數(shù)線知道，2kπ－0)，
當a>0時，f(x)的增區(qū)間為(0,1)，減區(qū)間為(1，＋∞)；
當a<0時，f(x)的增區(qū)間為(1，＋∞)，減區(qū)間為(0,1)；
當a＝0時，f(x)不是單調函數(shù)．
(2)由(1)得f′(2)＝－＝1，
即a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，
∴g(x)＝x3＋＋2x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在區(qū)間(t,3)內(nèi)總不是單調函數(shù)，
即g′(x)＝0在區(qū)間(t,3)內(nèi)有變號零點．
由于g′(0)＝－2，
∴
當g′(t)<0，即3t2＋(m＋4)t－2<0對任意t∈[1,2]恒成立，
由于g′(0)<0，
故只要g′(1)<0且g′(2)<0，
即m<－5且m<－9，
即m<－9；
由g′(3)>0，
即m>－.
所以－0.
①當2a＋1≤0，即a≤－時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，＋∞)單調遞增；
②當0<2a＋1<1，即－1，即a>0時，函數(shù)f(x)在(1,2a＋1)上單調遞減，在(0,1)，(2a＋1，＋∞)上單調遞增．
(2)根據(jù)(1)，當a∈，時，函數(shù)f(x)在[1,2]上單調遞減．
若x1＝x2，則不等式|f(x1)－f(x2)|≤λ－對任意正數(shù)λ恒成立，此時λ∈(0，＋∞)．
若x1≠x2，不妨設1≤x1f(x2)，>，
原不等式即f(x1)－f(x2)≤λ－，
即f(x1)－≤f(x2)－對任意的a∈，，x1，x2∈[1,2]恒成立．
設g(x)＝f(x)－，問題即對任意的a∈，，x1，x2∈[1,2]不等式g(x1)≤g(x2)恒成立，問題等價于函數(shù)g(x)在[1,2]上為增函數(shù)，
故g′(x)≥0對任意a∈，，x∈[1,2]恒成立．
g′(x)＝x－(2a＋2)＋＋≥0，
即x3－(2a＋2)x2＋(2a＋1)x＋λ≥0，
即(2x－2x2)a＋x3－2x2＋x＋λ≥0，
對任意a∈，恒成立．
由于x∈[1,2]，2x－2x2<0，
故只要(2x－2x2)＋x3－2x2＋x＋λ≥0，
即x3－7x2＋6x＋λ≥0對任意x∈[1,2]恒成立．
令h(x)＝x3－7x2＋6x＋λ，h′(x)＝3x2－14x＋6<0恒成立，
故函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，
所以h(x)min＝h(2)＝λ－8，
只要λ－8≥0即可，
即得λ≥8，
故實數(shù)λ的取值范圍是[8，＋∞)．
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