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2019年高考數(shù)學大一輪復習 第八章 第5講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)訓練 理 一、選擇題 1．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是(　　)． A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α C．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m 答案　B 2．已知α、β表示兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　由面面垂直的判定定理，知m⊥β?α⊥β. 答案　B 3．已知P為△ABC所在平面外的一點，則點P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要條件是 (　　)． A．PA＝PB＝PC B．PA⊥BC，PB⊥AC C．點P到△ABC三邊所在直線的距離相等 D．平面PAB、平面PBC、平面PAC與△ABC所在的平面所成的角相等 解析　條件A為外心的充分必要條件，條件C、D為內(nèi)心的必要條件，故選B. 答案　B 4. 如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在 (　　)． A．直線AB上 　　 B．直線BC上 C．直線AC上 　　 D．△ABC內(nèi)部 解析　由BC1⊥AC，又BA⊥AC，則AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直線AB上． 答案　A 5．設(shè)α，β為不重合的平面，m，n為不重合的直線，則下列命題正確的是 (　　)． A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥α B．若m?α，n?β，m⊥n，則n⊥α C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，則m⊥α D．若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β 解析　與α、β兩垂直相交平面的交線垂直的直線m，可與α平行或相交，故A錯；對B，存在n∥α情況，故B錯；對D，存在α∥β情況，故D錯．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正確，選C. 答案　C 6．如圖(a)，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個四面體，使B、C、D三點重合，重合后的點記為H，如圖(b)所示，那么，在四面體A－EFH中必有 (　　)． A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面 C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面 解析　折成的四面體有AH⊥EH，AH⊥FH， ∴AH⊥面HEF. 答案　A 二、填空題 7. 如圖，拿一張矩形的紙對折后略微展開，豎立在桌面上，折痕與桌面的位置關(guān)系是________． 解析　折痕與矩形在桌面內(nèi)的兩條相交直線垂直，因此折痕與桌面垂直． 答案　垂直 8．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β.給出下列命題： ①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β. 其中正確命題的序號是________． 解析　由面面平行的性質(zhì)和線面垂直的定義可知①正確；因為l⊥α，α⊥β?l∥β或l?β，所以l，m平行、相交、異面都有可能，故②錯誤；由線面垂直的定義和面面垂直的判定定理可知③正確；因為l⊥α，l⊥m?m?α或m∥α，又m?β，所以α，β可能平行或相交，故④錯誤． 答案?、佗? 9．已知P為△ABC所在平面外一點，且PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題： ①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC. 其中正確的個數(shù)是________． 解析　如圖所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB， PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC. 又∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC. 同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC. 答案　3個 10. 如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E、F分別是點A在PB、PC上的正投影，給出下列結(jié)論： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中正確結(jié)論的序號是________． 解析　由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C， ∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC. 又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正確． 答案　①②③ 三、解答題 11．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠C＝90，點B1在底面上射影D落在BC上． (1)求證：AC⊥平面BB1C1C； (2)若AB1⊥BC1，且∠B1BC＝60，求證：A1C∥平面AB1D. 解析 (1)∵B1D⊥平面ABC，AC?平面ABC， ∴B1D⊥AC. 又∵BC⊥AC，B1D∩BC＝D， ∴AC⊥平面BB1C1C. (2)　≠? ?BC1⊥B1C， ∴四邊形BB1C1C為菱形， ∵∠B1BC＝60，B1D⊥BC于D，∴D為BC的中點． 連接A1B，與AB1交于點E，在三角形A1BC中，DE∥A1C， ∴A1C∥平面AB1D. 12． 如圖所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，點M是棱BB1上一點． (1)求證：B1D1∥平面A1BD； (2)求證：MD⊥AC； (3)試確定點M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D. (1)證明　由直四棱柱，得BB1∥DD1， 又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四邊形， ∴B1D1∥BD. 而BD?平面A1BD，B1D1?平面A1BD， ∴B1D1∥平面A1BD. (2)證明　∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴BB1⊥AC. 又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D. 而MD?平面BB1D，∴MD⊥AC. (3)解　當點M為棱BB1的中點時， 平面DMC1⊥平面CC1D1D. 取DC的中點N，D1C1的中點N1，連接NN1交DC1于O，連接OM，如圖所示． ∵N是DC的中點，BD＝BC， ∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD與平面DCC1D1的交線， 而平面ABCD⊥平面DCC1D1， ∴BN⊥平面DCC1D1.又可證得O是NN1的中點， ∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四邊形． ∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D. ∵OM?平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D. 13．如圖是某直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示． (1)若N是BC的中點，證明：AN∥平面CME； (2)證明：平面BDE⊥平面BCD. (3)求三棱錐D－BCE的體積． (1)證明　連接MN，則MN∥CD，AE∥CD， 又MN＝AE＝CD， ∴四邊形ANME為平行四邊形， ∴AN∥EM.∵AN?平面CME，EM?平面CME， ∴AN∥平面CME. (2)證明　∵AC＝AB，N是BC的中點，AN⊥BC， 又平面ABC⊥平面BCD， ∴AN⊥平面BCD. 由(1)，知AN∥EM， ∴EM⊥平面BCD. 又EM?平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD. (3)解　VD－BCE＝VE－BCD＝S△BCD|EM| ＝＝. 14． 如圖，在多面體ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1綉B(tài)B1，AB＝AC＝AA1＝BC，B1C1綉B(tài)C. (1)求證：A1B1⊥平面AA1C； (2)若D是BC的中點，求證：B1D∥平面A1C1C. (3)若BC＝2，求幾何體ABC－A1B1C1的體積． (1)證明　∵AB＝AC＝BC，AB2＋AC2＝BC2， ∴AB⊥AC， 又AA1⊥平面ABC，AB?平面ABC， ∴AA1⊥AB，AA1∩AC＝A， ∴AB⊥平面AA1C， 又∵AA1綉B(tài)B1，∴四邊形ABB1A1為平行四邊形． ∴A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面AA1C. (2)證明　∵B1C1綉B(tài)C，且D是BC的中點， ∴CD綉C1B1，∴四邊形C1CDB1為平行四邊形， ∴B1D∥C1C，B1D?平面A1C1C且C1C?平面A1C1C， ∴B1D∥平面A1C1C. (3)解　連接AD，DC1， V＝V三棱柱A1B1C1－ABD＋V四棱錐C－AA1C1D ＝11＋(1)1＝.