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2019年高考數(shù)學大一輪總復習 直線與圓的位置關(guān)系高效作業(yè) 理 新人教A版選修4-1 一、填空題 1．(xx天津)如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC.過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，則線段CF的長為________． 解析：∵EA2＝EBED，∴EB＝4，ED＝9，∠EAB＝∠ACB＝∠ABC，∴EA∥BC，∴∠E＝∠ACB＝∠EAB，∴AB＝AC＝4，AD＝6，∴∠D＝∠CAD，又∠D＝∠C，∴∠C＝∠CAD，∴AF＝FC，同理BF＝FD，∴BC＝AD＝6，由＝得＝，∴CF＝. 答案： 2．(xx廣東)(幾何證明選講選做題)如右圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上．延長BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝________. 解析：由CE與圓相切于C得∠ECA＝∠ABC，又ED＝2，AB＝6?AE＝4，所以三角形ABC相似于三角形ACE，于是＝?AC2＝24，在Rt△ABC中BC2＝AB2－AC2＝36－24＝12?BC＝2. 答案：2 3．(xx陜西)(幾何證明選做題)如圖，弦AB與CD相交于⊙O內(nèi)一點E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P，已知PD＝2DA＝2，則PE＝________. 解析：∵PE∥BC，∴∠PED＝∠BCE(同位角相等)， 又∵∠EAD＝∠BCE(同弧所對的圓周角相等)， ∴∠PED＝∠EAD， 又∵∠EPD＝∠EPA， ∴△APE∽△EPD，則＝，PE2＝APPD＝6， 即PE＝. 答案： 4．(xx湖北重點中學聯(lián)考)如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點，如果∠E＝46，∠DCF＝32，則∠BAD＝________. 解析：由已知，顯然△EBC為等腰三角形，因此有∠ECB＝＝67， 因此∠BCD＝180－∠ECB－∠DCF＝81. 而由A、B、C、D四點共圓，有∠BAD＝180－∠BCD＝99. 答案：99 5．(xx北京西城)如圖，從圓O外一點A引圓的切線AD和割線AC，已知AD＝2，AC＝6，圓O的半徑為3，則圓心O到AC的距離為________． 解析：過O作直線OE⊥BC，垂足為E，則OE即為圓心O到AC的距離，連接OB，根據(jù)切割線定理可得AD2＝ABAC，即12＝6AB，得AB＝2，所以BC＝AC－AB＝6－2＝4，在Rt△OEB中，OE＝＝. 答案： 6．(xx福州二模)如圖，已知OA＝OB＝OC，∠ACB＝45，則∠OBA＝________. 解析：∵A、B、C在以O為圓心，OA為半徑的圓上．∴∠AOB＝2∠ACB＝90. 又∵OA＝OB， ∴∠OBA＝45. 答案：45 7．(xx豫南九校聯(lián)考)如圖，點B在⊙O上，M為直徑AC上一點，BM的延長線交⊙O于N，∠BNA＝45，若⊙O的半徑為2，OA＝OM，則MN的長為________． 解析：∵∠BNA＝45，∴∠BOA＝90， ∵OA＝OM＝2， ∴OM＝2，又BO＝2，∴BM＝4， ∵BMMN＝CMMA ＝(2＋2)(2－2)＝8，∴MN＝2. 答案：2 8．(xx天津河西質(zhì)量調(diào)查)如圖，已知圖中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE與圓相切，則線段CE的長為________． 解析：由相交弦定理得AFFB＝DFFC，由于AF＝2FB，可解得BF＝1，所以BE＝.由切割線定理得CE2＝EBEA＝，即CE＝. 答案： 9．(xx陜西質(zhì)檢)(幾何證明選講選做題)如圖，過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝________. 解析：由弦切角定理得∠PAB＝∠ACB，又因為∠BAC＝∠APB，所以△PAB∽△ACB，可得＝，將PB＝7，BC＝5代入得AB＝. 答案： 10．(xx浙江金華十校期末)如圖，A，E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC＝4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則AF的長為________． 解析：如圖，連AE，易知AE∥BD， ∴＝， 易知△ABO是等邊三角形， 可得BD＝1，AD＝AF＋FD＝. ∴AF＝. 答案： 二、解答題 11．(xx遼寧)選修4－1：幾何證明選講 如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明： (Ⅰ)∠FEB＝∠CEB； (Ⅱ)EF2＝ADBC. 證明：(Ⅰ)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB. 由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝； 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，從而∠FEB＝∠EAB. 故∠FEB＝∠CEB. (Ⅱ)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊， 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 類似可證，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB， 故EF2＝AFBF， 所以EF2＝ADBC. 12．(xx課標全國Ⅱ)選修4－1：幾何證明選講 如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點，且BCAE＝DCAF，B、E、F、C四點共圓． (Ⅰ)證明：CA是△ABC外接圓的直徑； (Ⅱ)若DB＝BE＝EA，求過B、E、F、C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值． 解： (Ⅰ)因為CD為△ABC外接圓的切線， 所以∠DCB＝∠A， 由題設知＝， 故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA. 因為B，E，F(xiàn)，C四點共圓，所以∠CFE＝∠DBC， 故∠EFA＝∠CFE＝90. 所以∠CBA＝90，因此CA是△ABC外接圓的直徑． (Ⅱ)連接CE，因為∠CBE＝90，所以過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的直徑為CE. 由DB＝BE，有CE＝DC， 又BC2＝DBBA＝2DB2， 所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2. 而DC2＝DBDA＝3DB2，故過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為. 13．(xx課標全國Ⅰ)選修4－1：幾何證明選講 如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D. (Ⅰ)證明：DB＝DC； (Ⅱ)設圓的半徑為1，BC＝，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑． 解：(Ⅰ)連結(jié)DE，交BC于點G. 由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE. 而∠ABE＝∠CBE， 故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE. 又因為DB⊥BE，所以DE為直徑，∠DCE＝90， 由勾股定理可得DB＝DC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC， 故DG是BC的中垂線，所以BG＝. 設DE的中點為O，連結(jié)BO，則∠BOG＝60. 從而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30， 所以CF⊥BF， 故Rt△BCF外接圓的半徑等于.