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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題講練九 橢圓 近幾年的高考，橢圓部分考了些什么？ 真題展示： （xx/12）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2c，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，若過作圓的兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為 ▲ x y A1 B2 A2 O T M F B1 第13題圖 （xx/13）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A1,A2,B1,B2為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線A1B2與直線B1F相交于點(diǎn)T，線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段 OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 ▲ ． （xx/18）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,。 （1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡； （2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)； （3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）。 （2011/18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)．設(shè)直線的斜率為． （1）當(dāng)直線平分線段，求的值； （2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離； （3）對(duì)任意，求證：． （xx/19）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，．已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)P．（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值． （xx/12）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，到的距離為.若，則橢圓的離心率為 ▲ . F1 F2 O x y B C A (第17題) （xx/17）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié). （1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程； （2）若求橢圓離心率e的值. 命題規(guī)律總結(jié)：1、每年的高考必考，而且難度中偏上； 2、主要考查（1）橢圓中的基本問題（求橢圓方程或利用橢圓方程解決求基本量的大小或范圍）； （2）橢圓的幾何性質(zhì)（以離心率為主，兼顧考查其他一些性質(zhì)，有些性質(zhì)的考查比較隱蔽）； （3）以橢圓為背景的一些專題（主要有最值和范圍問題、定點(diǎn)與定值問題） 命題趨勢(shì)：從近幾對(duì)高考試卷的評(píng)價(jià)來(lái)看，明年的高考對(duì)解幾的考查的難度將維持在這兩年的水平，不會(huì)再出現(xiàn)xx年那樣的試題了，但考查的知識(shí)點(diǎn)和題型會(huì)有變化，但至少有一半分是送分的（即考查最基本的知識(shí)），從這兩年的考試情況來(lái)看，兩個(gè)方面要引起重視：一是等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合能力的抽高（若考直線與圓，要注意運(yùn)用平幾知識(shí)），二是是重視運(yùn)算能力的提高，要過運(yùn)算關(guān)，不要因?yàn)檫\(yùn)算失誤而失分。 復(fù)習(xí)重點(diǎn)： 考點(diǎn)之一、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與基本量（以離心率為主） 運(yùn)用到的知識(shí)點(diǎn)：橢圓的定義（兩個(gè)定義）、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 求標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是：在題設(shè)條件中尋找與有關(guān)的等量關(guān)系（有些關(guān)系比較隱蔽，要用心去挖掘），從而列出關(guān)于的方程組，再解之。 例題選講： 1．橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為,焦距為2c,若直線與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)M滿足，則該橢圓的離心率等于__________. （巧用定義） 2．已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為 . 3．已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D, 且＝2，則C的離心率為________． 4．如圖，在中，，如果一個(gè)橢圓通過兩點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為，另一個(gè)焦點(diǎn)在上，則這個(gè)橢圓的離心率等于 . 5．已知橢圓的左焦點(diǎn)是，中心是，是橢圓上一點(diǎn)，，且，則該 橢圓的離心率是 . 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，P是橢圓上一點(diǎn)，l為左準(zhǔn)線，PQ⊥l，垂足為Q.若四邊形PQFA為平行四邊形，則橢圓的離心率e的取值范圍是________． 7. 橢圓的右焦點(diǎn)為F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，則橢圓離心率的取值范圍是____________. 同步練1：已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為e.若橢圓上存在點(diǎn)P，使得＝e，則該橢圓離心率e的取值范圍是________． 同步練2：已知橢圓和圓，若上存在點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，滿足，則橢圓的離心率的取值范圍是 8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)是、，若以為圓心，為半徑作圓，過橢圓上一點(diǎn)作此圓的切線，切點(diǎn)為，且的最小值不小于，則此橢圓的離心率的取值范圍是 9．設(shè),分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為. （Ⅰ）若直線的斜率為，求的離心率； （Ⅱ）若直線在軸上的截距為，且，求橢圓的方程. 10．如圖，已知橢圓的右頂點(diǎn)為A（2，0），點(diǎn)P（2e，）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．（I）求橢圓的方程；（II）若點(diǎn)B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足，且，求實(shí)數(shù)λ的值． （第10題） 同步練：如圖，已知橢圓E的中心為O，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A，B，右焦點(diǎn)為F，且，橢圓E的右準(zhǔn)線l的方程為。 （I）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； （II）若N為準(zhǔn)線l上一點(diǎn)（在軸上方），AN與橢圓交于點(diǎn)M，且，記，求。 考點(diǎn)之二、橢圓中的最值與范圍問題 橢圓中的最值與范圍問題的解策略： 思路一是函數(shù)思想，即通過條件的運(yùn)用與轉(zhuǎn)化，將所求最值與或范圍的那個(gè)量表示為另一個(gè)變量的函數(shù)（注意定義域），然后將問題轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)的最值或值域； 思路二是不等式思想：即通過分析題目中的條件，尋找出不等關(guān)系，從而將問題轉(zhuǎn)化為解不等式，從而求出所求量的范圍。 說(shuō)明：有時(shí)會(huì)將兩種思想綜合起來(lái)使用 1．如圖，曲線C1、C2都是以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心、離心率均為e的橢圓．線段MN是C1的短軸，是C2的長(zhǎng)軸，其中M點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，直線l：y＝m(0＜m＜1)與C1交于A、D兩點(diǎn)，與C2交于B、C兩點(diǎn)．(1) 若m＝，AC＝，求橢圓C1、C2的方程；(2) 若OB∥AN，求離心率e的取值范圍． 2． 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，，，分別為橢圓的右、下、上頂點(diǎn)，滿足，橢圓的離心率為． （1）求橢圓的方程； （2）若為線段（包括端點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，當(dāng) 取得最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)； O C M N A B （3）設(shè)點(diǎn)為線段（包括端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍． F 3．已知橢圓 的右焦點(diǎn)為，離心率為e. （1）若，求橢圓的方程； （2）設(shè)A，B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為M，BF的中點(diǎn)為N，若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上． ①證明點(diǎn)A在定圓上；②設(shè)直線AB的斜率為k，若，求e的取值范圍． 4．如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且，點(diǎn)到直線的距離. （1）求橢圓的方程; （2）設(shè)點(diǎn)位橢圓上的任意一點(diǎn)，求的取值范圍。 y x H A O D F1 F2 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為2，一條準(zhǔn)線方程為x＝2.P為橢圓C上一點(diǎn)，直線PF1交橢圓C于另一點(diǎn)Q. (1) 求橢圓C的方程； (2) 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，b)，求過P、Q、F2三點(diǎn)的圓的方程； (3) 若＝λ，且λ∈，求的最大值．