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2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.5 圓錐曲線的綜合問題 文 考點(diǎn)一　定點(diǎn)與定值問題 1.(xx江西,20,13分)如圖,已知拋物線C:x2=4y,過點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)). (1)證明:動(dòng)點(diǎn)D在定直線上; (2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點(diǎn)N1,與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2.證明:|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值. 解析　(1)證明:依題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x2=-8, 直線AO的方程為y=x,直線BD的方程為x=x2. 解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為, 注意到x1x2=-8及=4y1,則有y===-2. 因此D點(diǎn)在定直線y=-2上(x≠0). (2)依題設(shè)知,切線l的斜率存在且不等于0,設(shè)切線l的方程為y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由Δ=0得(4a)2+16b=0,化簡整理得b=-a2. 故切線l的方程可寫為y=ax-a2. 分別令y=2、y=-2得N1、N2的坐標(biāo)為 N1、N2, 則|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,即|MN2|2-|MN1|2為定值8. 考點(diǎn)二　參變量的取值范圍與最值問題 2.(xx北京,19,14分)已知橢圓C:x2+2y2=4. (1)求橢圓C的離心率; (2)設(shè)O為原點(diǎn).若點(diǎn)A在直線y=2上,點(diǎn)B在橢圓C上,且OA⊥OB,求線段AB長度的最小值. 解析　(1)由題意,知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2. 因此a=2,c=. 故橢圓C的離心率e==. (2)設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(t,2),(x0,y0),其中x0≠0. 因?yàn)镺A⊥OB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-. 又+2=4, 所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2 =+(y0-2)2 =+++4 =+++4 =++4(0<≤4). 因?yàn)?≥4(0<≤4),且當(dāng)=4時(shí)等號(hào)成立, 所以|AB|2≥8. 故線段AB長度的最小值為2. 考點(diǎn)三　存在性問題 3.(xx重慶,21,12分)如圖,設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)D在橢圓上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面積為. (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)是否存在圓心在y軸上的圓,使圓在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)?若存在,求出圓的方程.若不存在,請說明理由. 解析　(1)設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2. 由=2得|DF1|==c. 從而=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1. 從而|DF1|=, 由DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=, 因此|DF2|=. 所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1. 因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. (2)如圖,設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個(gè)交點(diǎn),y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圓C的切線,且F1P1⊥F2P2. 由圓和橢圓的對稱性,易知,x2=-x1,y1=y2. 由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1). 再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+=0. 由橢圓方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0, 解得x1=-或x1=0. 當(dāng)x1=0時(shí),P1,P2重合,不存在滿足題設(shè)要求的圓. 當(dāng)x1=-時(shí),過P1,P2分別與F1P1,F2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C. 設(shè)C(0,y0),由CP1⊥F1P1,得=-1. 而y1=|x1+1|=,故y0=. 圓C的半徑|CP1|==. 綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓,其方程為x2+=. 4.(xx湖南,20,13分)如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線C1:-=1(a1>0,b1>0)和橢圓C2:+=1(a2>b2>0)均過點(diǎn)P,且以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)和C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形. (1)求C1,C2的方程; (2)是否存在直線l,使得l與C1交于A,B兩點(diǎn),與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),且|+|=||?證明你的結(jié)論. 解析　(1)設(shè)C2的焦距為2c2,由題意知,2c2=2,2a1=2, 從而a1=1,c2=1. 因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x2-=1上,所以-=1,故=3. 由橢圓的定義知2a2=+=2. 于是a2=,=-=2,故C1,C2的方程分別為x2-=1,+=1. (2)不存在符合題設(shè)條件的直線. (i)若直線l垂直于x軸,因?yàn)閘與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),所以直線l的方程為x=或x=-. 當(dāng)x=時(shí),易知A(,),B(,-), 所以|+|=2,||=2, 此時(shí),|+|≠|(zhì)|. 當(dāng)x=-時(shí),同理可知,|+|≠|(zhì)|. (ii)若直線l不垂直于x軸,設(shè)l的方程為y=kx+m, 由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0. 當(dāng)l與C1相交于A,B兩點(diǎn)時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,從而x1+x2=,x1x2=. 于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=. 由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0. 因?yàn)橹本€l與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),所以上述方程的判別式 Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0. 化簡,得2k2=m2-3,因此=x1x2+y1y2=+=≠0, 于是++2≠+-2, 即|+|2≠|(zhì)-|2,故|+|≠|(zhì)|. 綜合(i),(ii)可知,不存在符合題設(shè)條件的直線.