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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第八章 第8節(jié) 曲線(xiàn)與方程 理（含解析） 1．（xx廣東，14分）已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線(xiàn)相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程． 解：(1)依題意得，c＝，e＝＝，因此a＝3，b2＝a2－c2＝4， 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1. (2)若兩切線(xiàn)的斜率均存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線(xiàn)方程是y＝k(x－x0)＋y0， 則由得＋＝1， 即(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，整理得(x－9)k2－2x0y0k＋y－4＝0. 又所引的兩條切線(xiàn)相互垂直，設(shè)兩切線(xiàn)的斜率分別為k1，k2，于是有k1k2＝－1，即＝－1，即x＋y＝13(x0≠3)． 若兩切線(xiàn)中有一條斜率不存在，則易得或或或經(jīng)檢驗(yàn)知均滿(mǎn)足x＋y＝13. 因此，動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)的軌跡方程是x2＋y2＝13. 2．（xx湖北，14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F(1，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程； (2)設(shè)斜率為k的直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)P(－2,1)，求直線(xiàn)l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍． 解：(1)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，依題意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1， 化簡(jiǎn)整理得y2＝2(|x|＋x)． 故點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2＝ (2)在點(diǎn)M的軌跡C中，記C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)． 依題意，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y－1＝k(x＋2)． 由方程組 可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.?、? (ⅰ)當(dāng)k＝0時(shí)，此時(shí)y＝1. 把y＝1代入軌跡C的方程，得x＝. 故此時(shí)直線(xiàn)l：y＝1與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn). (ⅱ)當(dāng)k≠0時(shí)，方程①的判別式為Δ＝－16(2k2＋k－1)．?、? 設(shè)直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為(x0,0)，則由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.?、? a．若由②③解得k<－1或k>. 即當(dāng)k∈(－∞，－1)∪時(shí)，直線(xiàn)l與C1沒(méi)有公共點(diǎn)，與C2有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線(xiàn)l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)． b．若或由②③解得k∈，或－≤k<0. 即當(dāng)k∈時(shí)，直線(xiàn)l與C1只有一個(gè)公共點(diǎn)，與C2有一個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)k∈時(shí)，直線(xiàn)l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，與C2沒(méi)有公共點(diǎn)． 故當(dāng)k∈∪時(shí)，直線(xiàn)l與軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)． c．若由②③解得－10. 由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝，① x1x2＝，② 因?yàn)閤軸是∠PBQ的角平分線(xiàn)，所以＝－， 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0， (kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③ 將①②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0， ∴k＝－b，此時(shí)Δ>0， ∴直線(xiàn)l的方程為y＝k(x－1)， ∴直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(1,0)． 4．（xx四川，13分）已知橢圓C：＋＝1，(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P. (1)求橢圓C的離心率； (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0,2)的直線(xiàn)l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線(xiàn)段MN上的點(diǎn)，且＝＋，求點(diǎn)Q的軌跡方程． 解：本題考查橢圓的定義、離心率，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系及軌跡方程等知識(shí)，意在考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，考查考生的運(yùn)算求解能力． (1)由橢圓定義知， 2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2，所以a＝. 又由已知，c＝1， 所以橢圓C的離心率e＝＝＝. (2)由(1)知，橢圓C的方程為＋y2＝1. 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)． ①當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，直線(xiàn)l與橢圓C交于(0,1)，(0，－1)兩點(diǎn)， 此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. ②當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋2. 因?yàn)镸，N在直線(xiàn)l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，則|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x. 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2. 由＝＋，得 ＝＋，即 ＝＋＝.　① 將y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得 (2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.　② 由Δ＝(8k)2－4(2k2＋1)6＞0，得k2＞. 由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝， 代入①中并化簡(jiǎn)，得 x2＝.　③ 因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線(xiàn)y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化簡(jiǎn)，得10(y－2)2－3x2＝18. 由③及k2＞，可知0＜x2＜，即x∈∪. 又滿(mǎn)足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈. 由題意，Q(x，y)在橢圓C內(nèi)，所以－1≤y≤1， 又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈[，)，且－1≤y≤1，則y∈. 所以點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈. 5．（2011北京，5分）曲線(xiàn)C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a＞1)的點(diǎn)的軌跡．給出下列三個(gè)結(jié)論： ①曲線(xiàn)C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)； ②曲線(xiàn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； ③若點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上，則△F1PF2的面積不大于a2. 其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是____． 解析：因?yàn)樵c(diǎn)O到兩個(gè)定點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離的積是1，而a＞1，所以曲線(xiàn)C不過(guò)原點(diǎn)，即①錯(cuò)誤；因?yàn)镕1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以|PF1||PF2|＝a2對(duì)應(yīng)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即②正確；因?yàn)镾△F1PF2＝|PF1||PF2|sinF1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即面積不大于a2，所以③正確． 答案：②③ 6．（xx湖南，13分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1上的點(diǎn)均在圓C2：(x－5)2＋y2＝9外，且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M，M到直線(xiàn)x＝－2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值． (1)求曲線(xiàn)C1的方程； (2)設(shè)P(x0，y0)(y0≠3)為圓C2外一點(diǎn)，過(guò)P作圓C2的兩條切線(xiàn)，分別與曲線(xiàn)C1相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)P在直線(xiàn)x＝－4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值． 解：(1)法一：設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3. 易知圓C2上的點(diǎn)位于直線(xiàn)x＝－2的右側(cè)，于是x＋2＞0，所以＝x＋5. 化簡(jiǎn)得曲線(xiàn)C1的方程為y2＝20x. 法二：由題設(shè)知，曲線(xiàn)C1上任意一點(diǎn)M到圓心C2(5,0)的距離等于它到直線(xiàn)x＝－5的距離．因此，曲線(xiàn)C1是以(5,0)為焦點(diǎn)，直線(xiàn)x＝－5為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)．故其方程為y2＝20x. (2)當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)x＝－4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為(－4，y0)，又y0≠3，則過(guò)P且與圓C2相切的直線(xiàn)的斜率k存在且不為0，每條切線(xiàn)都與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，切線(xiàn)方程為y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是＝3. 整理得72k2＋18y0k＋y－9＝0.① 設(shè)過(guò)P所作的兩條切線(xiàn)PA，PC的斜率分別為k1，k2，則k1，k2是方程①的兩個(gè)實(shí)根，故 k1＋k2＝－＝－. ② 由得 k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0. ③ 設(shè)四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，y3，y4，則y1，y2是方程③的兩個(gè)實(shí)根，所以 y1y2＝. ④ 同理可得y3y4＝. ⑤ 于是由②，④，⑤三式得 y1y2y3y4＝ ＝ ＝＝6 400. 所以，當(dāng)P在直線(xiàn)x＝－4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值6 400. 7.（xx遼寧，12分）如圖，橢圓C0：＋＝1(a>b>0，a，b為常數(shù))，動(dòng)圓C1：x2＋y2＝t12，b1)的兩條直線(xiàn)l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1⊥l2，求h的值． 解：(1)由題設(shè)知|x1|>，A1(－，0)，A2(，0)，則有直線(xiàn)A1P的方程為y＝(x＋)，① 直線(xiàn)A2Q的方程為y＝(x－)．② 法一：聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為x＝，y＝，即x1＝，y1＝，③ 則x≠0，|x|<. 而點(diǎn)P(x1，y1)在雙曲線(xiàn)－y2＝1上， ∴－y＝1. 將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為 ＋y2＝1，x≠0且x≠. 法二：設(shè)點(diǎn)M(x，y)是A1P與A2Q的交點(diǎn)，①②得 y2＝(x2－2)．③ 又點(diǎn)P(x1，y1)在雙曲線(xiàn)上，因此 －y＝1， 即y＝－1.代入③式整理得 ＋y2＝1. 因?yàn)辄c(diǎn)P，Q是雙曲線(xiàn)上的不同兩點(diǎn)，所以它們與點(diǎn)A1，A2均不重合． 故點(diǎn)A1和A2均不在軌跡E上． 過(guò)點(diǎn)(0,1)及A2(，0)的直線(xiàn)l的方程為x＋y－＝0. 解方程組得x＝，y＝0. 所以直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)只有唯一交點(diǎn)A2. 故軌跡E不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)． 同理軌跡E也不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，－1)． 綜上分析，軌跡E的方程為 ＋y2＝1，x≠0且x≠. (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)H(0，h)的直線(xiàn)為y＝kx＋h(h>1)， 聯(lián)立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0. 令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0得h2－1－2k2＝0， 解得k1＝ ，k2＝－. 由于l1⊥l2，則k1k2＝－＝－1，故h＝. 過(guò)點(diǎn)A1，A2分別引直線(xiàn)l1，l2通過(guò)y軸上的點(diǎn)H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H， 由(－)＝－1，得h＝.此時(shí)， l1，l2的方程分別為y＝x＋與y＝－x＋， 它們與軌跡E分別僅有一個(gè)交點(diǎn)(－，)與(，)． 所以，符合條件的h的值為或.