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1、職高數(shù)學 《三角函數(shù)》 第二輪復習 角的概念推廣及其度量 一、高考要求： 1. 理解正角、負角及零角等概念,熟練掌握角的加、減運算; 2. 理解弧度的意義,掌握弧度和角度的換算. 二、知識要點： 1. 角的概念:角可以看作是平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一位置而成的圖形,旋轉開始時的射線叫角的始邊,旋轉終止時的射線叫角的終邊,射線的端點叫角的頂點.按逆時針旋轉而成的角叫正角,按順時針旋轉而成的角叫負角,當射線沒作任何旋轉,我們稱它形成一個零角. 2.

2、 象限角:把角置于直角坐標系中,使角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的正半軸重合,角的終邊落在第幾象限,就叫做第幾象限的角,如果角的終邊落在坐標軸上,就認為這個角不屬于任一象限. 若為第一象限的角,則; 若為第二象限的角,則; 若為第三象限的角,則; 若為第一象限的角,則. 3. 終邊相同的角:兩個角的始邊重合,終邊也重合時,稱兩個角為終邊相同的角.所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構成一個集合: . 4. 弧度制:長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角,用“弧度”作單位來度量角的制度叫做弧度制,用“度”作單位來度量角的制度叫做角度制. 已知,其中為以角作為圓心角時

3、所對圓弧的長,r為圓的半徑. 5. 弧度與角度的換算: 三、典型例題： 例1:已知角, (1) 在內(nèi)找出所有與有相同終邊的角; (2) 若集合,那么集合M與N的關系是什么? 例2:若角是第二象限角,(1)問角是哪個象限的角? (2)角的終邊在哪里? 例3:一個扇形的面積是1,它的周長是4,求圓心角的弧度數(shù)和弦長. 四、歸納小結： 1. 角的大小表示旋轉量的大小,各角和的旋轉量等于各角旋轉量的和. 2. 角的概念推廣后,注意辨別: (1)“間的角”、“第一象限的角”、“銳角”及“小于的角”; (2)“第一象限的角或第二象限的角”與“終邊在x軸上方的角”. 3. 正

4、角的弧度數(shù)為正數(shù),負角的弧度數(shù)為負數(shù),零角的弧度數(shù)為零. 4. 公式中,比值與所取的半徑大小無關,而僅與角的大小有關. 5. 弧長公式為,扇形面積公式為. 五、基礎知識訓練： （一）選擇題： 1. 下列四個命題中正確的是( ) A.第一象限角必是銳角 B.銳角必是第一象限角 C.終邊相同的角必相等 D.第二象限角必大于第一象限角 2. 若、的終邊相同,則的終邊在( ) A.x軸的正半軸上 B. y軸的正半軸上 C. x軸的負半軸上 D. y軸的負半軸上 3. 若是第三象限角,則是(

5、) A.第一或第三象限角 B.第二或第三象限角 C.第二或第四象限角 D.第一或第四象限角 4. 終邊是坐標軸的角的集合是( ) A. B. C. D. 5. 若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長,則其圓心角的弧度數(shù)為( ) A. B. C. D.2 6. 把表示成的形式,使最小的的值是( ) A. B. C. D. （二）

6、填空題： 7. 與的角終邊相同的最小正角是 ,與的角終邊相同的絕對值最小的角是 . 8. 若角與角的終邊在一條直線上,則與的關系是 . 9. 若角在間,則整數(shù)k的值是 . 10. 終邊落在直線上的角的集合是 . 11. 經(jīng)過5小時25分鐘,時針和分針分別轉的弧度數(shù)是 . 12. 設、滿足,則的范圍是 . 任意角的三角函數(shù) 一、高考要求： 1. 理解正弦、余弦、正切函數(shù)的定義,了解余切、正

7、割、余割函數(shù)的定義; 2. 熟記三角函數(shù)在各象限的符號,牢記特殊角的三角函數(shù)值. 二、知識要點： 1. 任意角三角函數(shù)的定義:直角坐標系中任意大小的角終邊上一點P(x,y),它到原點的距離是,那么分別是的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函數(shù),這六個函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù). 2. 軸與有向線段: (1) 點P的坐標x、y分別是有向線段在x軸上和y軸上射影和的數(shù)量,如果x軸正向到方向的轉角為,則. (2) 如果是直角坐標系xOy中的任一條有向線段,、分別是在x軸上和y軸上的正射影,x軸正向到方向的轉角為,則 . 3. 單位園與三角函數(shù)線:半徑為1的圓叫做單位圓,設單位圓的圓心與坐標原點

8、重合,則單位圓與x軸的交點分別為A(1,0),(-1,0),與y軸的交點分別為B(0,1),(0,-1).設角的頂點在圓心O,始邊與x軸的正半軸重合,終邊與單位圓相交于點P,過點P作PM垂直x軸于M,設單位圓在點A的切線與的終邊或其延長線相交于點T(),則 cos=OM,sin=MP,tan=AT() 把有向線段分別稱做的余弦線、正弦線和正切線. 4. 三角函數(shù)在各象限的符號:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 5. 特殊角三角函數(shù)值: 0 2 sin cos tan

9、 三、典型例題： 例1:已知角的終邊與函數(shù)的圖象重合,求的六個三角函數(shù)值. 例2:判斷下列三角函數(shù)式的符號: (1); (2)若sin=-2cos,確定cot與sec的符號. 例3:當時,比較,sin,tan的大小. 四、歸納小結： 1. 三角函數(shù)定義中比值與角終邊上點P(x,y)的位置無關,只與的大小有關. 2. 若角的終邊和單位圓相交于點P,則點P的坐標是P(cos,sin),用有向線段表示正弦值、余弦值、正切值時,要注意方向,分清始點和終點. 3. 特殊角三角函數(shù)值及三角函數(shù)在各象限的符號是根據(jù)三角函數(shù)的定義導出的. 五、基礎知識訓練：

10、 （一）選擇題： 1. 已知,且,則是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2. 角終邊上的單位向量在x軸上的正投影分量是( ) A. B. C. D. 3. ,且,則a、b、c的大小關系為( ) A.a

11、 C. D. 5. 將函數(shù)的圖象右移個單位,平移后對應的函數(shù)為( ) A. B. C. D. 6. 若,則在( ) A.一或二象限 B.一或三象限 C.二或三象限 D.二或四象限 7. 已知,則點P(,)所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8. 若sin=2-,則實數(shù)m的取值范圍是( ) A.1≤m≤9 B.0≤m≤9 C.0≤m≤1 D.m=

12、1或m=9 9. 函數(shù)的值域是( ) A.{-2,4} B.{-2,0,4} C.{-2,0,2,4} D.{-4,-2,0,4} 10. 設是第一象限角,那么( ) A.sin>0 B.cos>0 C.tan>0 D.cot<0 11. 若,則等于( ) A.sin B.csc C.-sin D.-sec 12. 若是第一象限,那么能確定為正值的是( ) A.

13、 B. C. D. （二）填空題： 13. 已知,則= . 14. 方程有實數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍是 . 15. 已知,為第二、三象限的角,則a的取值范圍是 . 16. 若,則等于 . 同角三角函數(shù)的基本關系式 一、高考要求： 熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關系式. 二、知識要點： 同角三角函數(shù)的兩個基本關系式:,. 三、典型例題： 例1:已知,是第三象限的角,求的其他三角函數(shù)值. 例2:求證:. 四、歸納小結： 同角三

14、角函數(shù)的基本關系式還有,要求會證明. 五、基礎知識訓練： （一）選擇題： 1. 如果0≤x≤,且成立,則x的取值范圍是( ) A.0≤x≤ B.0≤x≤ C.≤x≤或≤x≤ D.0≤x≤或≤x≤ 2. 若是第三象限角,則等于( ) A.1 B. C.-1 D.0 3. 設角的終邊過點P(-6a,-8a)(a≠0),則sin-cos的值是( ) A. B.或 C.或 D. 4. 已知,且,則

15、cos- sin的值是( ) A. B. C. D. 5. 函數(shù)的值域是( ) A.{-1,1,3} B.{-3,-1,1} C.{1,3} D.{-3,1} 6. 已知,并且是第二象限的角,則tan的值等于( ) A. B. C. D. 7. 設,則的值是( ) A.1

16、 B.2 C.-2 D. （二）填空題： 8. 適合等式的x的集合是 . 9. 已知,則的值是 . （三）解答題： 10. 已知A是三角形的一個內(nèi)角,且tanA=,求sinA,cosA的值. 11. 已知:,求的值. 12. 已知,求:的值. 誘導公式 一、高考要求： 掌握誘導公式. 二、知識要點： 誘導公式: (一),,; (二),,; (三),,; (四),,. 三、典型例題： 例1:已知,計算: (1

17、); (2). 例2:化簡: (1); (2). 四、歸納小結： 1. 將誘導公式中的用代替,即得到另外幾組公式. 2. 誘導公式可概括為:的各三角函數(shù)值,當k為偶數(shù)時,得角的同名三角函數(shù)值;當k為奇數(shù)時,得角相應的余函數(shù)值;然后放上把角看作銳角時的原函數(shù)所在象限的符號.即“奇變偶不變,符號看象限”. 3. 解題思路是:負角化正角,大角化小角,最后化銳角. 五、基礎知識訓練： （一）選擇題： 1. 化簡等于( ) A. B. C. D. 2. 的值是( ) A.

18、 B. C. D. 3. 的值是( ) A. B. C. D. 4. 若,且,則的值是( ) A. B. C. D. 5. 若,且,則的值是( ) A. B. C. D. 6. 若,那么的值是( ) A. B. C.

19、 D. （二）填空題： 7. 硬盤在電腦啟動后,每3分鐘轉2000轉,則每分鐘轉弧度數(shù)為,其正弦值= . 8. = . 9. = . 10. 計算= . （三）解答題： 11. 若,求的值. 12. 設,求的值. 和角公式 一、高考要求： 掌握和角公式. 二、知識要點： 三、典型例題： 例1:化簡:. 例2:已知,求. 例3:求下列各式的值: (1); (2); (3) . 四、歸納小結： 要根據(jù)公式的形式特點會熟練地進行角的變形,如

20、,, ,,等. 五、基礎知識訓練： （一）選擇題： 1. 的值是( ) A. B. C.- D. 2. ,則有( ) A. B. C. D. 3. 化簡的結果應為( ) A.1 B. C. D. 4. 已知,則的值是( ) A.0 B. C.0或 D.0

21、或 5. 在中,的值是( ) A.或 B. C. D. 6. 化簡后是( ) A. B. C. D. 7. 的值為( ) A. B. C. D. 8. 等于( ) A. B.1 C. D. 9. 設,且,則等于( ) A. B

22、. C. D. 10. 若,則等于( ) A. B. C. D. 11. 已知,則的值是( ) A. B. C. D. （二）填空題： 12. 計算= . 13. 計算= . 14. 計算= . 15. ,且,則= . 16. 已知,則的值是

23、 . 17. 如果,那么的值等于 . （三）解答題： 18. 已知向量,將向量的長度保持不變繞原點O沿逆時針方向旋轉到的位置,求點的坐標. 19. 已知,,求的值. 20. 已知,且,求. 倍角公式 一、高考要求： 掌握倍角公式. 二、知識要點： 三、典型例題： 例1:求值:. 例2:已知,求值:(1); (2). 四、歸納小結： 掌握二倍角公式的變形:, . 五、基礎知識訓練： （一）選擇題： 1. (96高職)如果,則的最簡結果是( ) A. B.

24、 C. D. 2. 已知:,那么的值等于( ) A. B. C. D. 3. 化簡的結果是( ) A. B. C. D. 4. 一個等腰三角形的頂角的正弦值為,則它的底角的余弦值為( ) A. B. C. D.或 5. 已知,則的值等于( ) A. B. C.2

25、 D.-2 6. 設,則有( ) A.a>b>c B.a

26、 (1); (2); 13. 已知:為銳角,且,求證: 三角函數(shù)中的化簡與求值問題 一、高考要求： 會求任意角的三角函數(shù)值,會證明簡單的三角恒等式. 二、知識要點： 1. 利用同角三角函數(shù)的基本關系式、誘導公式、和角公式、倍角公式等進行變形,化簡三角函數(shù)式、求某些角的三角函數(shù)值. 2. 利用同角三角函數(shù)的基本關系式、誘導公式、和角公式、倍角公式等證明較簡單的三角恒等式. 三、典型例題： 例1:求的值. 例2:證明三角恒等式:. 四、歸納小結： 1. 三角函數(shù)求值的常用方法:一般是利用同角三角函數(shù)的基本關系式、誘導公式、和角公式、倍角公式等進行變換,使其出現(xiàn)

27、特殊角,若非特殊角,則可出現(xiàn)正負抵消或約分等情況,從而求出其值. 2. 已知某些函數(shù)值,求其它三角函數(shù)值,一般應先化簡所求式子(或變化已知式),弄清所求的量,再求之.主要方法有:(1)消去法;(2)解方程(組)法;(3)應用比例的性質等. 3. 三角函數(shù)化簡常用方法有:(1)切割化弦、高次化低次. 4. 證明三角恒等式的基本思路是:根據(jù)等式特征,通過恒等變形、化繁為簡、左右歸一、變更改正等方法,化“異”為同,常用方法有:(1)定義法;(2)切割化弦法;(3)拆項拆角法;(4)“1”的代換法;(5)

28、公式變通法等. 五、基礎知識訓練： （一）選擇題： 1. 等于( ) A. B. C. D. 2. 的值等于( ) A. B. C. D. 3. 已知,則等于( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 4. 已知,則等于( ) A. B. C.7

29、 D.-7 5. 已知,則等于( ) A. B. C. D. （二）填空題： 6. 化簡:= . 7. = . 8. 已知,則的值等于 . （三）解答題： 9. 證明: 10. 已知,且, ①求的值; ②求的值. 11. 設為銳角,且,求. 三角函數(shù)的圖象和性質 一、高考要求： 1. 熟練掌握正弦函數(shù)的的圖象和性質,了解余弦、正切函數(shù)函數(shù)的圖象和性質; 2. 理解周期函數(shù)與最小正周期的意義

30、; 3. 掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質; 4. 會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正弦型函數(shù)的簡圖. 二、知識要點： 1. 周期函數(shù)的概念:如果存在一個不為零的常數(shù)T,使函數(shù),當x取定義域內(nèi)的每一個值時, 都成立,就把叫做周期函數(shù),其中常數(shù)T叫做周期.如果一個周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小正數(shù),就把這個最小正數(shù)叫做最小正周期.一般所說三角函數(shù)的周期就是它的最小正周期. 2. 三角函數(shù)的圖象和性質: R R [-1,1] [-1,1] R R 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 上是增函數(shù);

31、 上是減函數(shù). 上是增函數(shù); 上是減函數(shù). 上是增函數(shù). 上是減函數(shù) . 3. 正弦型函數(shù)的圖象和主要性質: 定義域:R; 值域:[-A,A];最大值是A,最小值是-A; 周期:. 圖象：可通過把函數(shù)的圖象,沿x軸或y軸進行壓縮或伸長,或沿x軸平移而得到. 4. 用“五點法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正弦型函數(shù)的圖象:關鍵在于選出五個點: 5. 可化為正弦型函數(shù)的函數(shù)(a、b是不同時為零的實數(shù))的解法: 設,則 三、典型例題： 例1:求函數(shù)的定義域. 例2:

32、已知函數(shù), (1) 用五點法作出該函數(shù)的簡圖(坐標系的長度單位用1cm表示,并寫出作圖簡要說明); (2) 求該函數(shù)的周期、最值、單調(diào)區(qū)間; (3) 說明該函數(shù)是通過的圖象作怎樣的變換得到的? 四、歸納小結： 1.解決非正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正弦型函數(shù)這三種形式的函數(shù)問題,要先通過誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系式、和角公式、倍角公式等變形為這三種形式. 2.函數(shù)圖象的變化規(guī)律: (1)的圖象向左或向右平移個單位得到的圖象; (2)的圖象上所有點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍(縱坐標不變)得到的圖象; (3)的圖象上所有點的縱坐標伸長或縮短到原來的A倍(橫坐標不變)得到的圖象.

33、 五、基礎知識訓練： （一）選擇題： 1. 函數(shù)y=sinx+cosx的周期是( ) A. B. C. D. 2. (已知,且,則a、b、c的大小關系為( ) A.a>b>c B.ba>b D.c>b>a 3. (函數(shù)y=3sin2x-4cos2x的周期與最小值是( ) A.;-5 B.;-7 C.;-5 D.2;-7

34、 4. 下列命題: 其中正確的是( ) ①函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù); ②函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù);③函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù); ④函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù). A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 5. 若為銳角,且,則下列關系式成立的是( ) A. B. C. D. 6. 函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間是( ) A. B. C. D. 7. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A.

35、 B. C. D. 8. 設是銳角,則的值可能是( ) A. B. C. D.1 9. 函數(shù)的周期不大于2,則正整數(shù)k的最小值應是( ) A.10 B.11 C.12 D.13 10. 是( ) A.最小正周期為的偶函數(shù) B.最小正周期為的奇函數(shù) C.最小正周期為的偶函數(shù) D.最小正周期為的奇函數(shù)

36、11. 函數(shù)的一個對稱中心是( ) A. B. C. D. 12. 由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象的原因是原函數(shù)圖象( ) A.向左平移個單位 B.向左平移個單位 C.向右平移個單位 D.向右平移個單位 13. 在下列函數(shù)中,以為周期的函數(shù)是( ) A. B. C. D. 14. 下列不等式中正確的是( ) A. B. C. D. 15. 函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是( ) A. B. C. D. （二）填空題： 16. 已知

37、函數(shù),當x= 時,有最大值 . 17. 函數(shù)的周期是 . 18. 函數(shù)的值域是 . （三）解答題： 19. 若的最大值為,最小值為,求函數(shù)的最大值、最小值及周期. 20. 已知函數(shù), (1) 求該函數(shù)的周期; （2）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; （3）說明該函數(shù)是通過的圖象作怎樣的變換得到的? 三角函數(shù)中的求角問題 一、高考要求： 已知三角函數(shù)值,會求指定區(qū)間內(nèi)的角度. 二、知識要點： 已知三角函數(shù)值,會求指定區(qū)間(或定義域)內(nèi)x的取值集合. 思路是:先求出一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)的特解,再利

38、用誘導公式及三角函數(shù)的周期性寫出指定區(qū)間(或定義域)內(nèi)x的取值集合 三、典型例題： 例1: (1)已知,且,求x的取值集合; (2)已知,且,求x的取值集合; (3)已知,且,求x的取值集合. 例2:已知,求角的集合. 四、歸納小結： 已知三角函數(shù)值求角,所得的角不一定只有一個,角的個數(shù)要根據(jù)角的取值范圍來確定,這個范圍在題目中給定.解法可分為以下幾步: (1) 根據(jù)函數(shù)值的符號,判斷所求角可能的象限; (2) 求出函數(shù)值的絕對值對應的銳角; (3) 根據(jù)誘導公式求出內(nèi)滿足條件的角x,一般地,有 (4) 根據(jù)三角函數(shù)的周期性寫出指定區(qū)間(或定義域)內(nèi)x的取值集合.

39、五、基礎知識訓練： （一）選擇題： 1. 已知,A是三角形的內(nèi)角,則A的值為( ) A. B. C.或 D. 2. 已知A是三角形的內(nèi)角,且,則A的值為( ) A. B. C.或 D. 3. 當,則角x等于( ) A. B. C. D. 4. 方程在內(nèi)解的個數(shù)為( ) A.2 B.4 C.8 D.16 （二）填

40、空題： 5. 已知,且,則x的取值是 . 6. 已知,且,則x的取值是 . 7. 已知,且,則x的取值是 . （三）解答題： 8. 已知,且,求x的取值集合. 9. 已知,求角的集合. 解斜三角形 一、高考要求： 理解正弦定理、余弦定理及三角形面積公式,并會用這三組公式解簡單的有關斜三角形的問題. 二、知識要點： 1. 余弦定理: 可變形為 2. 正弦定理: . 3. 任意三角形面積公式:. 三、典型例題： 例1:在中,已知,解此三角形.

41、例2:在中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,若a+c=2b. (1) 求證:; (2) 若,判斷此三角形的形狀. 四、歸納小結： 1.解斜三角形有四種類型: (1) 已知兩角A,B與一邊a,由A+B+C=求出角C,再由求出b,c(唯一解); (2) 已知兩邊b,c與其夾角A,由求出a,再由及分別求出角B,C(唯一解); (3) 已知三邊a,b,c,由余弦定理求出角A,B,C(唯一解); (4) 已知兩邊a,b及其中一邊的對角A,由求出另一邊的對角B,由A+B+C=求出C,再由求出c.而通過求角B時,可能出現(xiàn)一解,兩解或無解的情況. 2.根據(jù)說給條件確定三角形的形狀,主要

42、有兩條途徑:(1)化邊為角;(2)化角為邊.具體有如下四種方法:①通過正弦定理實施邊角轉換;②通過余弦定理實施邊角轉換;③通過三角變換找出角之間的關系;④通過三角函數(shù)值符號的判斷以及正、余弦函數(shù)的有界性的討論. 五、基礎知識訓練： （一）選擇題： 1. 在中,已知,則b等于( ) A. B. C. D. 2. 在中,是的( ) A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分也非必要條件 3. 根據(jù)下列條件,確定有兩解的是( ) A.,有兩解

43、 B.,有一解 C.,有兩解 D.,無解 4. 不解三角形,下列判斷中正確的是( ) A. B. C. D. 5. 在中,已知,則等于( ) A. B. C.或 D. 6. 在中,已知,則為( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰三角形 7. 在中,已知,則此三角形的最大內(nèi)角=( ) A. B. C.

44、 D. 8. 在中,若,且三角形有解,則A的取值范圍是( ) A. B. C. D. 9. 在中,若,此三角形的面積,則a的值是( ) A. B.25 C.55 D.49 （二）填空題： 10. 在中,若,則= . 11. 已知三角形的三邊長分別為,則這個三角形的最大角是 . 12. 在中,已知,則= . 13. 在中,,則的形狀是 . （三）解答題： 14. 在中,,判斷的形狀. 15. 在中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且,試確定的形狀. - 17 -