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2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 第八章 第7節(jié) 曲線與方程練習 一、選擇題 1．方程(x2＋y2－4)＝0的曲線形狀是(　　 ) [解析]　由題意可得x＋y＋1＝0或 它表示直線x＋y＋1＝0和圓x2＋y2－4＝0在直線x＋y＋1＝0右上方的部分． [答案]　C 2．△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是(　　 ) A.－＝1　　　　　 B.－＝1 C.－＝1 (x＞3) D.－＝1 (x＞4) [解析]　如圖，|AD|＝|AE|＝8， |BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為－＝1 (x＞3)． [答案]　C 3．(xx余姚模擬)已知點F，直線l：x＝－，點B是l上的動點．若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是(　　 ) A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 [解析]　由已知得|MF|＝|MB|.由拋物線定義知，點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，故選D. [答案]　D 4．(xx長春模擬) 設圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內一定點，Q為圓周上任一點．線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為(　　 ) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 [解析]　∵M為AQ垂直平分線上一點，則|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的軌跡為橢圓．∴a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝， ∴橢圓的標準方程為＋＝1. [答案]　D 5．已知點M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動圓C與直線MN切于點B，過M、N與圓C相切的兩直線相交于點P，則P點的軌跡方程為(　　 ) A．x2－＝1 (x＞1) B．x2－＝1 (x＜－1) C．x2＋＝1 (x＞0) D．x2－＝1 (x＞1) [解析]　設另兩個切點為E、F，如圖所示，則|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|. 從而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2＜|MN|，所以P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支．a＝1，c＝3，∴b2＝8.故方程為x2－＝1 (x＞1)． [答案]　A 6．點P是以F1、F2為焦點的橢圓上一點，過焦點作∠F1PF2外角平分線的垂線，垂足為M，則點M的軌跡是(　　 ) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 [解析]　如圖，延長F2M交F1P延長線于N. ∵|PF2|＝|PN|， ∴|F1N|＝2a. 連接OM，則在△NF1F2中，OM為中位線，則|OM|＝|F1N|＝a.∴M的軌跡是圓． [答案]　A 二、填空題 7．P是橢圓＋＝1上的任意一點，F(xiàn)1、F2是它的兩個焦點，O為坐標原點，＝＋，則動點Q的軌跡方程是______________． [解析]　由＝＋， 又＋＝＝2＝－2， 設Q(x，y)，則＝－＝－(x，y)＝，即P點坐標為，又P在橢圓上， 則有＋＝1，即＋＝1. [答案]?。? 8．設拋物線C1的方程為y＝x2，它的焦點F關于原點的對稱點為E.若曲線C2上的點到E、F的距離之差的絕對值等于6，則曲線C2的標準方程為________． [解析]　方程y＝x2可化為x2＝20y，它的焦點為F(0,5)，所以點E的坐標為(0，－5)，根據(jù)題意，知曲線C2是焦點在y軸上的雙曲線，設方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則2a＝6，a＝3，又c＝5，b2＝c2－a2＝16， 所以曲線C2的標準方程為－＝1. [答案]　－＝1 9．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是 x2＋y2－8x＋10＝0，若由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是________． [解析]　設P(x，y)，由圓O′的方程為(x－4)2＋y2＝6及已知|AP|＝|BP|，故|OP|2－|AO|2＝|O′P|2－|O′B|2， 則|OP|2－2＝|O′P|2－6，∴x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6.∴x＝，故動點P的軌跡方程是x＝. [答案]　x＝ 三、解答題 10. (xx珠海模擬)在平面直角坐標系xOy中，設點F，直線l：x＝－，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQ⊥FP，PQ⊥l. (1)求動點Q的軌跡方程C； (2)設圓M過A(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當M運動時，弦長|TS|是否為定值？請說明理由． 解：(1)依題意知，點R是線段FP的中點，且RQ⊥FP， ∴RQ是線段FP的垂直平分線． ∵|PQ|是點Q到直線l的距離． 點Q在線段FP的垂直平分線上， ∴|PQ|＝|QF|. 故動點Q的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為y2＝2x(x＞0)． (2)弦長|TS|為定值．理由如下：取曲線C上一點M(x0，y0)，M到y(tǒng)軸的距離為d＝|x0|＝x0， 圓的半徑r＝|MA|＝， 則|TS|＝2＝2， 因為點M在曲線C上，所以x0＝， 所以|TS|＝2＝2，是定值． 11．設A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的動點，且|AB|＝，設O為坐標原點，動點P滿足＝＋. (1)求點P的軌跡方程； (2)過點(，0)作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1，l2與點P的軌跡的相交弦分別為CD，EF，設CD，EF的弦中點分別為M，N，求證：直線MN恒過一個定點． (1)解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， ∵＝＋， ∴x＝x1＋x2，y＝y(tǒng)1＋y2，∵y1＝x1，y2＝－x2， ∴x＝x1＋x2＝(y1－y2)，y＝y(tǒng)1＋y2＝(x1－x2)． ∵|AB|＝＝， ∴x2＋2y2＝2，∴點P的軌跡方程為＋y2＝1. (2)[證明]　設C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線l1的方程為x－＝ky.由得(k2＋4)y2＋2ky－1＝0，∴y1＋y2＝－，x1＋x2＝. ∴M點坐標為，同理可得N點坐標為. ∴直線MN的斜率kMN＝＝. ∴直線MN的方程為y＋＝. 整理化簡得4k4y＋(4－5x)k3＋12k2y－16y＋(－20x＋16)k＝0，∴x＝，y＝0， ∴直線MN恒過定點. 12．(xx蚌埠模擬)已知點C(1,0)，點A，B是☉O：x2＋y2＝9上任意兩個不同的點，且滿足＝0，設P為弦AB的中點． (1)求點P的軌跡T的方程． (2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點：它到直線x＝－1的距離恰好等于到點C的距離？若存在，求出這樣的點的坐標；若不存在，說明理由． [解]　(1)連接CP，OP，OA， 由＝0，知AC⊥BC， 所以|CP|＝|AP|＝|BP| ＝|AB|. 由垂徑定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9. 設點P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9， 化簡，得到x2－x＋y2＝4. (2)根據(jù)拋物線的定義，到直線x＝－1的距離等于到點C(1,0)的距離的點都在拋物線y2＝2px上，其中＝1， 所以p＝2，故拋物線方程為y2＝4x. 由方程組得x2＋3x－4＝0， 解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0， 故取x＝1，此時y＝2. 故滿足條件的點存在，其坐標為(1，－2)和(1,2)．