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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 第九章 單元測試卷 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．每小題中只有一項符合題目要求) 1．若直線l1：kx－y－3＝0和l2：x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，則k等于(　　) A．－3　　　　　　　　　 B．－2 C．－或－1 D.或1 答案　A 解析　依題意，得直線l1和l2垂直的充要條件是k－(2k＋3)＝0，即k＝－3. 2．直線x－y＋5＝0與圓C：x2＋y2－2x－4y－4＝0相交所截得的弦長等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　圓C：x2＋y2－2x－4y－4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝9，其圓心C(1,2)到直線x－y＋5＝0的距離d＝2，所以截得的弦長l＝2＝2. 3．圓C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置關系為(　　) A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切 答案　D 解析　配方得圓C1：x2＋(y－1)2＝1，圓心C1(0,1)，半徑r1＝1.圓C2：(x－)2＋y2＝9，圓心C2(，0)，半徑r2＝3，而|C1C2|＝＝2＝r2－r1，則兩圓的位置關系為內(nèi)切． 4．若雙曲線－＝1的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，則r＝(　　) A. B．2 C．3 D．6 答案　A 解析　雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x，因為雙曲線的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，故圓心(3,0)到直線y＝x的距離等于r，即r＝＝. 5．若曲線ax2＋by2＝1為焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a，b滿足(　　) A．a(chǎn)2>b2 B.> C．0>0，則00)中p的幾何意義為：拋物線的焦點到準線的距離．又p＝，故選D. 7．已知雙曲線－＝1的一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－y2＝1 D.－＝1 答案　B 解析　拋物線y2＝4x的焦點為(，0)，所以雙曲線－＝1中c＝，＝，所以a＝3，b＝＝1，所求方程為－y2＝1，故選B. 8．已知拋物線y2＝2px(p>0)與雙曲線－＝1有相同的焦點F，點A是兩曲線的交點，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為(　　) A. B.＋1 C.＋1 D. 答案　B 解析　由拋物線與雙曲線的焦點相同，得＝c.① 又A是兩曲線的交點，且AF⊥x軸， 則兩曲線的半通徑相等，得p＝.② 由①，②消去p，得b2＝2ac. 又∵c2＝a2＋b2，∴c2－a2－2ac＝0. 又∵雙曲線的離心率e>1， ∴e2－2e－1＝0，∴e＝＋1. 9．直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A，B兩點，若|AB|＝4，則弦AB的中點到直線x＋＝0的距離等于(　　) A. B．2 C. D．4 答案　C 解析　直線4kx－4y－k＝0，即y＝k(x－)，可知直線4kx－4y－k＝0過拋物線y2＝x的焦點(，0)．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋＝4.故x1＋x2＝，則弦AB的中點的橫坐標是，弦AB的中點到直線x＋＝0的距離是＋＝. 10.如圖所示，過拋物線x2＝4py(p>0)焦點的直線依次交拋物線與圓x2＋(y－p)2＝p2于點A，B，C，D，則的值是(　　) A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2 答案　D 解析　||＝|AF|－p＝y(tǒng)A，||＝|DF|－p＝y(tǒng)B，||||＝y(tǒng)AyB＝p2.因為，的方向相同，所以＝||||＝y(tǒng)AyB＝p2. 11．已知點M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動圓C與直線MN切于點B，分別過點M，N且與圓C相切的兩條直線相交于點P，則點P的軌跡方程為(　　) A．x2－＝1(x>1) B．x2－＝1(x>0) C．x2－＝1(x>0) D．x2－＝1(x>1) 答案　A 解析　如圖，設兩切線分別與圓切于點S，T，則|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以所求曲線為雙曲線的右支且不能與x軸相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，故點P的軌跡方程為x2－＝1(x>1)． 12．已知F為拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，＝2(其中O為坐標原點)，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C. D. 答案　B 解析　設出直線AB的方程，用分割法表示出△ABO的面積，將S△ABO＋S△AFO表示為某一變量的函數(shù)，選擇適當方法求其最值． 設直線AB的方程為x＝ny＋m(如圖)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵＝2， ∴x1x2＋y1y2＝2. 又y＝x1，y＝x2，∴y1y2＝－2. 聯(lián)立得y2－ny－m＝0. ∴y1y2＝－m＝－2，∴m＝2，即點M(2,0)． 又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝|OM||y1|＋|OM||y2|＝y(tǒng)1－y2， S△AFO＝|OF||y1|＝y(tǒng)1， ∴S△ABO＋S△AFO＝y(tǒng)1－y2＋y1 ＝y(tǒng)1＋≥2＝3. 當且僅當y1＝時，等號成立． 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上) 13．過點A(－1,0)且與直線2x－y＋1＝0平行的直線方程為________． 答案　2x－y＋2＝0 14．已知正方形ABCD，則以A，B為焦點，且過C，D兩點的橢圓的離心率為________． 答案?。? 解析　令|AB|＝2，則|AC|＝2. ∴在橢圓中，c＝1,2a＝2＋2?a＝1＋. 可得e＝＝＝－1. 15．已知以y＝x為漸近線的雙曲線D：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若P為雙曲線D右支上任意一點，則的取值范圍是________． 答案　 解析　依題意，|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＋|PF2|≥2c， 所以0<≤＝.又雙曲線的漸近線方程y＝x，則＝. 因此e＝＝2，故0<≤. 16．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)和圓O：x2＋y2＝b2，若C上存在點P，使得過點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B，滿足∠APB＝60，則橢圓C的離心率的取值范圍是________． 答案　[，1) 解析　∵OA⊥AP，由∠APB＝60，知∠OPA＝30. ∴|OP|＝2|OA|＝2b.設P(x，y)，則 消去x，得y2＝.由y2≥0，得a2－4b2≥0. 即a2－4(a2－c2)≥0，≥，∴e≥.又e<1， 故橢圓C的離心率的取值范圍是[，1)． 三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分) 過點P(3,0)作一條直線，使它夾在兩直線l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0間的線段AB恰好被P平分，求此直線的方程． 答案　8x－y－24＝0 解析　若直線AB無斜率，則其方程為x＝3， 它與兩直線的交點分別為(3,4)，(3，－6)，這兩點的中點為(3，－1)不是點P，不合題意． 所以直線AB必有斜率，設為k(k≠2且k≠－1)， 則直線AB的方程為y＝k(x－3)． 由解得y1＝. 由解得y2＝. 據(jù)題意＝0，即＋＝0，解得k＝0或8. 當k＝0時，它與兩直線的交點分別為(1,0)，(－3,0)，這兩點的中點并不是點P，不符合題意，舍去． 當k＝8時，它與兩直線的交點分別為(，)，(，－)，這兩點的中點是點P，符合題意． ∴直線AB的方程為y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 18．(本小題滿分12分) 在平面直角坐標系xOy中，以O為圓心的圓與直線x－y＝4相切． (1)求圓O的方程； (2)圓O與x軸相交于A，B兩點，圓O內(nèi)的動點P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍． 答案　(1)x2＋y2＝4　(2)[－2,0) 解析　(1)依題設，圓O的半徑r等于原點O到直線x－y－4＝0的距離，即r＝＝2，得圓O的方程為x2＋y2＝4. (2)不妨設A(x1,0)，B(x2,0)，x12)， 其離心率為，故＝，解得a＝4. 故橢圓C2的方程為＋＝1. (2)方法一：A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)， 由＝2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設直線AB的方程為y＝kx. 將y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4. 所以x＝.將y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝.又由＝2，得x＝4x，即＝，解得k＝1. 故直線AB的方程為y＝x或y＝－x. 方法二：A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)， 由＝2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設直線AB的方程為y＝kx. 將y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4. 所以x＝. 由＝2，得x＝，y＝. 將x，y代入＋＝1中，得＝1， 即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝1. 故直線AB的方程為y＝x或y＝－x. 20．(本小題滿分12分) 已知中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線C經(jīng)過A(－7,5)，B(－1，－1)兩點． (1)求雙曲線C的方程； (2)設直線l：y＝x＋m交雙曲線C于M，N兩點，且線段MN被圓E：x2＋y2－12x＋n＝0(n∈R)三等分，求實數(shù)m，n的值． 答案　(1)2y2－x2＝1　(2)m＝－2，n＝26 解析　(1)設雙曲線C的方程是λx2＋μy2＝1，依題意有解得所以所求雙曲線的方程是2y2－x2＝1. (2)將l：y＝x＋m代入2y2－x2＝1，得 x2＋4mx＋(2m2－1)＝0.① Δ＝(4m)2－4(2m2－1)＝8m2＋4>0. 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點P(x0，y0)，則 x1＋x2＝－4m，x1x2＝2m2－1. 所以x0＝＝－2m，y0＝x0＋m＝－m，所以P(－2m，－m)． 又圓心E(6,0)，依題意kPE＝－1，故＝－1，即m＝－2. 將m＝－2代入①式，得x2－8x＋7＝0，解得x1＝1，x2＝7. 所以|MN|＝|x1－x2|＝6. 故直線l截圓E所得弦長為|MN|＝2. 又E(6,0)到直線l的距離d＝2， 所以圓E的半徑r＝＝. 所以圓E的方程是(x－6)2＋y2＝10.所以m＝－2，n＝26. 21．(本小題滿分12分) (xx陜西理)如圖，曲線C由上半橢圓C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分拋物線C2：y＝－x2＋1(y≤0)連接而成，C1與C2的公共點為A，B，其中C1的離心率為. (1)求a，b的值； (2)過點B的直線l與C1，C2分別交于點P，Q(均異于點A，B)，若AP⊥AQ，求直線l的方程． 答案　(1)a＝2，b＝1　(2)8x＋3y－8＝0 解析　(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1,0)，B(1,0)是上半橢圓C1的左、右頂點． 設C1的半焦距為c，由＝及a2－c2＝b2＝1，得a＝2. ∴a＝2，b＝1. (2)由(1)知，上半橢圓C1的方程為＋x2＝1(y≥0)．易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設其方程為y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*) 設點P的坐標為(xP，yP)， ∵直線l過點B，∴x＝1是方程(*)的一個根． 由求根公式，得xP＝，從而yP＝. ∴點P的坐標為. 同理，由得點Q的坐標為(－k－1，－k2－2k)． ∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)． ∵AP⊥AQ，∴＝0，即[k－4(k＋2)]＝0. ∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－. 經(jīng)檢驗，k＝－符合題意． 故直線l的方程為8x＋3y－8＝0. 22．(本小題滿分12分) 已知拋物線C：y2＝4x，點M(m,0)在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A，B兩點，O為坐標原點． (1)若m＝1，且直線l的斜率為1，求以線段AB為直徑的圓的方程； (2)問是否存在定點M，不論直線l繞點M如何轉動，使得＋恒為定值． 答案　(1)(x－3)2＋(y－2)2＝16 (2)存在M(2,0)使其恒為定值 解析　(1)設A，B兩點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點P的坐標為P(x0，y0)． 由題意，得M(1,0)，直線l的方程為y＝x－1. 由得x2－6x＋1＝0. 則x1＋x2＝6，x1x2＝1， 且x0＝＝3，y0＝x0－1＝2. 故圓心為P(3,2)， 直徑|AB|＝|x1－x2|＝＝8. ∴以AB為直徑的圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16. (2)若存在這樣的點M，使得＋恒為定值，設直線l的方程為x＝ky＋m. 由得y2－4ky－4m＝0. 于是y1＋y2＝4k，y1y2＝－4m. 又∵|AM|2＝y(tǒng)(1＋k2)，|BM|2＝y(tǒng)(1＋k2)， ∴＋＝(＋) ＝＝. ∵要與k無關，只需＝1，即m＝2， 進而＋＝. ∴存在定點M(2,0)，不論直線l繞點M如何轉動，＋恒為定值. 1．已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為(　　) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0 答案　D 解析　設圓心C(a,0)(a>0)，由＝2，得a＝2.故圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0. 2．已知在△ABC中，點A，B的坐標分別為(－，0)，B(，0)，點C在x軸上方． (1)若點C坐標為(，1)，求以A，B為焦點且經(jīng)過點C的橢圓的方程； (2)過點P(m,0)作傾斜角為π的直線l交(1)中曲線于M，N兩點，若點Q(1,0)恰在以線段MN為直徑的圓上，求實數(shù)m的值． 答案　(1)＋＝1　(2)m＝ 解析　(1)設橢圓方程為＋＝1，c＝，2a＝|AC|＋|BC|＝4，b＝，所以橢圓方程為＋＝1. (2)直線l的方程為y＝－(x－m)，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立方程解得3x2－4mx＋2m2－4＝0. ∴若Q恰在以MN為直徑的圓上， 則＝－1，即m2＋1－(m＋1)(x1＋x2)＋2x1x2＝0,3m2－4m－5＝0，解得m＝. 3．(xx山東濰坊一模)已知橢圓C：＋＝1，過原點O的動直線與橢圓C交于A，B兩點．若點P滿足|PA|＝|PB|，求證：＋＋為定值． 答案　定值為2 解析　由|PA|＝|PB|，知P在線段AB的垂直平分線上． 由橢圓的對稱性可知A，B關于原點對稱． (1)若A，B在橢圓的短軸頂點上，則點P在橢圓的長軸頂點上，此時＋＋＝＋＋＝2(＋)＝2.同理若點A，B在橢圓的長軸頂點上，則點P在短軸頂點上，此時＋＋＝＋＋＝2(＋)＝2. (2)當點A，B，P不是橢圓頂點時，設直線l的方程為y＝kx(k≠0)，則直線OP的方程為y＝－x，設A(x1，y1)， 由解得x＝，y＝. 所以|OA|2＝|OB|2＝x＋y＝. 用－代換k，得|OP|2＝.所以＋＋＝＋＋＝2. 綜上，＋＋為定值2.