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2019年高考數(shù)學總復習 第11章 第3節(jié) 二項式定理課時跟蹤檢測 理（含解析）新人教版 1．(xx武漢調(diào)研)設復數(shù)x＝(i是虛數(shù)單位)，則Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 013＝(　　) A．i B．－i C．－1＋i　　　 D．1＋i 解析：選C　x＝＝－1＋i，Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 013＝(1＋x)2 013－1＝i2 013－1＝i－1，故選C. 2．(xx太原模擬)已知n的展開式的各項系數(shù)和為32，則展開式中x的系數(shù)為(　　) A．5 B．40 C．20　　　 D．10 解析：選D　n的展開式的各項系數(shù)和為2n＝32，解得n＝5，則5展開式的通項公式Tr＋1＝Cx2(5－r)x－r＝Cx10－3r，令10－3r＝1，解得r＝3，則展開式中x的系數(shù)為C＝10，故選D. 3．(xx陜西五校模擬)n的展開式中，常數(shù)項為15，則n的值可以為(　　) A．3 B．4　 C．5　　　　 D．6 解析：選D　二項展開式的通項Tr＋1＝(－1)rCx2n－3r，當r＝n時為常數(shù)項，即(－1)nCnn＝15，得n＝6.故選D. 4．(xx長春調(diào)研)已知n(n∈N*)的展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中的常數(shù)項是(　　) A．28 B．70 C.　　　　D. 解析：選C　展開式的前三項的系數(shù)分別為C，C，C，由題意得C＋C＝C，整理得n2－9n＋8＝0，解得n＝8(n＝1舍去)．于是Tr＋1＝Cx8－rr＝Crx8－r，若Tr＋1為常數(shù)項，則8－r＝0，r＝6，故常數(shù)項為T7＝C6＝.選C. 5．(xx東北三省聯(lián)考)在30的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有(　　) A．4項 B．5項 C．6項　　　 D．7項 解析：選C　由于Tr＋1＝Cx15－r(0≤r≤30)，若展開式中x的冪指數(shù)為整數(shù)，由通項公式可知r為6的倍數(shù)，易知r＝0,6,12,18,24,30均符合條件，故選C. 6．在二項式n的展開式中，各項系數(shù)之和為A，各項二項式系數(shù)之和為B，且A＋B＝72，則展開式中常數(shù)項的值為(　　) A．6 B．9 C．12　　　 D．18 解析：選B　令x＝1，得各項系數(shù)的和為4n，各項的二項式系數(shù)的和等于2n，由已知得方程4n＋2n＝72，解得n＝3.所以二項式的通項Tr＋1＝C()3－rr＝3rCx－r，顯然當r＝1時是常數(shù)項，這個常數(shù)是9. 7．若C＝C(n∈N*)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝(　　) A．81 B．27 C．243　　　 D．729 解析：選A　由C＝C得2n＋6＝n＋2或2n＋6＝20－(n＋2)解得n＝－4(舍去)或n＝4，而求表達式a0－a1＋…＋(－1)nan的值，只需將x＝－1代入(2－x)4，得34＝81.故選A. 8．(xx福州調(diào)研)關于二項式(x－1)2 013有下列命題： ①該二項展開式中非常數(shù)項的系數(shù)和是1； ②該二項展開式中第六項為Cx2 007； ③該二項展開式中系數(shù)最大的項是第1 007項； ④當x＝2 014時，(x－1)2 013除以2 014的余數(shù)是2 013.其中正確的命題有(　　) A．1個 B．2個 C．3個　　　 D．4個 解析：選C　(x－1)2 013的展開式的通項為Tr＋1＝Cx2 013－r(－1)r，所以該二項展開式中項的系數(shù)的絕對值就是二項式系數(shù)，且偶數(shù)項系數(shù)為負． 設f(x)＝(x－1)2 013＝x2 013－Cx2 012＋Cx2011－…＋Cx1－1，所以常數(shù)項f(0)＝－1，所有項系數(shù)為f(1)＝0，即非常數(shù)項的系數(shù)和為f(1)－f(0)＝1，故①正確；②為第7項，故②錯誤；③中因為n＝2 013，所以系數(shù)絕對值最大項為第1 007項和第1 008項，但第1 008項系數(shù)為負數(shù)，故第1 007項的系數(shù)最大，故③正確．④由展開式可知，除了常數(shù)項，其余每一項都含有2 014的因數(shù)，常數(shù)項為－1，所以余數(shù)為2 013，故④正確．故選C. 9．(xx浙江高考)設二項式5的展開式中常數(shù)項為A，則A＝________. 解析：－10　Tr＋1＝C()5－rr＝Cx(－1)rx－＝(－1)rCx－＝(－1)rCx.令15－5r＝0，得r＝3，所以A＝(－1)3C＝－C＝－10. 10．(xx保定調(diào)研)若(sin φ＋x)5的展開式中x3的系數(shù)為2，則cos 2φ＝________. 解析：　由二項式定理得，x3的系數(shù)為Csin2φ＝2， ∴sin2 φ＝，cos 2 φ＝1－2 sin2φ＝. 11．(xx合肥調(diào)研)若n的展開式中所有二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為________． 解析：－160　由題意知，2n＝64，解得n＝6，所以展開式的通項為Tr＋1＝C(2)6－rr＝C(－1)r26－rx3－r，令3－r＝0，得r＝3，所以展開式的常數(shù)項為C(－1)326－3＝－160. 12．(xx江南十校聯(lián)考)二項式6的展開式中所有有理項的系數(shù)和等于________．(用數(shù)字作答) 解析：365　Tr＋1＝C(2)6－r(－1)rx－r＝(－1)rC26－rx，r＝0,1,2,3,4,5,6，當r＝0,2,4,6時，Tr＋1＝(－1)rC26－rx為有理項，則所有有理項的系數(shù)和為C26＋C24＋C22＋C20＝365. 13．(xx溫州十校聯(lián)合體聯(lián)考)在(1－2x)(1－3x)4的展開式中，x2的系數(shù)等于________． 解析：78　(1－3x)4的通項公式為Tr＋1＝C(－3x)r＝(－3)rCxr，則(1－2x)(1－3x)4展開式中x2項為(－3)2Cx2＋(－2x)(－3)Cx1＝54x2＋24x2＝78x2，所以x2的系數(shù)為78. 14．(xx煙臺診斷性測試)若n的展開式中含x的項為第6項，設(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則a1＋a2＋…＋an的值為________． 解析：255　二項式n展開式的第6項是T5＋1＝C(－1)5x2n－15，令2n－15＝1得n＝8.在二項式(1－3x)8的展開式中，令x＝0得a0＝1，令x＝1得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256，所以a1＋a2＋…＋a8＝255. 1．在二項式n的展開式中，若前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中有理項的項數(shù)為(　　) A．5 B．4 C．3　　　 D．2 解析：選C　二項展開式的前三項的系數(shù)分別為1，C，C2，由其成等差數(shù)列，可得2C＝1＋C2整理得n＝1＋，所以n＝8，所以展開式的通項Tr＋1＝Crx4－.若為有理項，則有4－∈Z，所以r可取0，4,8，故展開式中有理項的項數(shù)為3.選C. 2．(xx江南十校聯(lián)考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實數(shù)m的值為(　　) A．1或－3 B．－1或3 C．1　　　 D．－3 解析：選A　令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.故選A. 3．已知b為如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果，則二項式6的展開式中的常數(shù)項是________． 解析：－540　第1次循環(huán)，b＝3，a＝2；第2次循環(huán)，b＝5，a＝3；第3次循環(huán)，b＝7，a＝4；第4次循環(huán)，b＝9，a＝5＞4，不滿足條件“a≤4”，故跳出循環(huán)，輸出b＝9.故6＝6，其通項為Tr＋1＝C(3 )6－r(－)－r＝(－1)rC36－rx3－r(r＝0,1,2,3,4,5,6)，令3－r＝0，得r＝3，故常數(shù)項為T4＝－C33＝－540. 4．對任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a＝________. 解析：5　34n＋2＋a2n＋1＝92n＋1＋a2n＋1＝(14－5)2n＋1＋a2n＋1，由二項式的通項公式可知(14－5)2n＋1展開后前2n＋1項都能被14整除，最后一項為－52n＋1，要滿足－52n＋1＋a2n＋1能被14整除，則需最小的自然數(shù)a＝5. 5．已知(＋x2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比(3x－1)n的展開式的二項式系數(shù)和大992.求在2n的展開式中， (1)二項式系數(shù)最大的項； (2)系數(shù)的絕對值最大的項． 解：由題意知22n－2n＝992， 即(2n－32)(2n＋31)＝0，所以2n＝32，解得n＝5. (1)由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，10的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，即C＝252. ∴二項式系數(shù)最大的項為T6＝C(2x)55＝－8 064. (2)展開式通項為Tr＋1＝C(2x)10－rr ＝(－1)rC210－rx10－2r， 設第r＋1項的系數(shù)的絕對值最大， 則 得，即，解得≤r ≤， ∵r∈Z，∴r＝3.故系數(shù)的絕對值最大的項是第4項， T4＝－C27x4＝－15 360x4.