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2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第7講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習 新人教A版 [考情展望]　1.利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決冪的大小比較和圖象識別等問題.2.考查二次函數(shù)的解析式求法、圖象特征及最值.3.運用二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系去分析和解決問題． 一、二次函數(shù) 1．二次函數(shù)的三種形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 頂點式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，頂點坐標為(h，k)； 零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點． 2．二次函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 圖象 定義域 R 值域 單調(diào)性 在減 在增 在減 在增 對稱性 函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－對稱 函數(shù)y＝f(x)對稱軸的判斷方法 (1)對于函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝對稱． (2)對于函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要條件是函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱(a為常數(shù))． 二、冪函數(shù) 1．定義：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)叫冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． 2．冪函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)特征性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定義域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 奇 偶 奇 / 奇 單調(diào)性 增 在(0，＋∞)上增 在(－∞，0)上減 增 增 在(0，＋∞)上減 在(－∞，0)上減 定點 (1,1) 1．當α≠0,1時，冪函數(shù)y＝xα在第一象限的圖象特征(如圖所示)： (1)α＞1，圖象過點(0,0)，(1,1)，下凸遞增，如y＝x2； (2)0＜α＜1，圖象過點(0,0)，(1,1)，上凸遞增，如y＝x； (3)α＜0，圖象過點(1,1)，單調(diào)遞減，且以兩坐標軸為漸近線，如y＝x－1，y＝x－. 2．冪函數(shù)的圖象一定不會經(jīng)過第四象限． 1．已知點M在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達式為(　　) A．f(x)＝x2　　　　　　　 B．f(x)＝x－2 C．f(x)＝x D．f(x)＝x－ 【解析】　設(shè)f(x)＝xα，則有3＝α，即3＝3－α， ∴－α＝1，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2，故選B. 【答案】　B 2．圖2－4－1中C1，C2，C3為三個冪函數(shù)y＝xk在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)k的值依次可以是(　　) 圖2－4－1 A．－1，，3 B．－1,3， C.，－1,3 D.，3，－1 【解析】　根據(jù)冪函數(shù)的圖象知，選A. 【答案】　A 3．函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3為偶函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(－5，－3)上(　　) A．先減后增 B．先增后減 C．單調(diào)遞減 D．單調(diào)遞增 【解析】　∵f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3為偶函數(shù)， ∴2m＝0，∴m＝0. 則f(x)＝－x2＋3在(－5，－3)上是增函數(shù)． 【答案】　D 4．函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，3]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】　二次函數(shù)f(x)的對稱軸是x＝1－a，由題意知 1－a≥3，∴a≤－2. 【答案】　(－∞，－2] 5．(2011陜西高考)函數(shù)y＝x的圖象是(　　) 【解析】　已知函數(shù)解析式和圖象，可以用取點驗證的方法判斷． 【答案】　B 6．(xx浙江高考)已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，則(　　) A．a(chǎn)>0,4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0,4a＋b＝0 C．a(chǎn)>0,2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0,2a＋b＝0 【解析】　因為f(0)＝f(4)>f(1)，所以函數(shù)圖象應(yīng)開口向上，即a>0，且其對稱軸為x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0，故選A. 【答案】　A 　 考向一 [019]　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 　已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)當a＝－2時，求f(x)的最值； (2)求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)； (3)當a＝－1時，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間． 【思路點撥】　解答(1)和(2)可根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合圖象或單調(diào)性直接求解，對于(3)，應(yīng)先將函數(shù)化為分段函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間． 【嘗試解答】　(1)當a＝－2時，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 則函數(shù)在[－4,2)上為減函數(shù)，在(2,6]上為增函數(shù)， ∴f(x)min＝f(2)＝－1， f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4(－4)＋3＝35. (2)函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3的對稱軸為x＝－＝－a， ∴要使f(x)在[－4,6]上為單調(diào)函數(shù)，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6. (3)當a＝－1時，f(|x|)＝x2－2|x|＋3 ＝ 其圖象如圖所示： 又∵x∈[－4,6]，∴f(|x|)在區(qū)間[－4，－1)和[0,1)上為減函數(shù)，在區(qū)間[－1,0)和[1,6]上為增函數(shù)． 規(guī)律方法1　1.研究二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍. 2. 求二次函數(shù)最值的類型及解法,(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論；(2)常畫出圖象結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性求解，最值一般在區(qū)間的端點或頂點處取得. 對點訓練　(1)已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，則它的圖象是(　　) (2)設(shè)f(x)＝x2－2ax(0≤x≤1)的最大值為M(a)，最小值為m(a)．試求M(a)及m(a)的表達式． 【解析】　(1)a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，∴y＝ax2＋bx＋c的開口向上，且與y軸的交點(0，c)在負半軸上．D項正確． 【答案】　D (2)f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，x∈[0,1]． 當a≤0時，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝f(0)＝0； 當0＜a≤時，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝－a2； 當＜a≤1時，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝－a2； 當a＞1時，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝f(1)＝1－2a. 綜上，M(a)＝ m(a)＝ 考向二 [020]　二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 　設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對于滿足1＜x＜4的一切x值．都有f(x)＞0，求實數(shù)a的取值范圍． 【思路點撥】　法一　分a＞0，a＝0，a＜0三種情況求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min，再令f(x)min＞0求解． 法二　分離參數(shù)a得a＞－＋，然后求g(x)＝－＋的最大值即可． 【嘗試解答】　法一　當a＞0時，f(x)＝a2＋2－，由f(x)＞0，x∈(1,4)得：或或 ∴或或， ∴a≥1或＜a＜1或?，即a＞， 當a＜0時，，解得a∈?； 當a＝0時，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合題意． 綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是a＞. 法二　由f(x)＞0，即ax2－2x＋2＞0，x∈(1,4)， 得a＞－＋在(1,4)上恒成立． 令g(x)＝－＋＝－22＋， ∈，∴g(x)max＝g(2)＝， 所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立，只要a＞即可． 規(guī)律方法2 　1.本例中二次項系數(shù)不確定，因此使用方法一時需分三種情況討論. 2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍，一般有兩個解題思路：(1)分離參數(shù)；(2)不分離參數(shù)，二者都將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個思路的依據(jù)是：a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min. 對點訓練　若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若在區(qū)間[－1,1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 【解】　(1)由f(0)＝1，得c＝1. 因此f(x)＝ax2＋bx＋1. 又f(x＋1)－f(x)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.x∈R. 因此　∴ 所以f(x)＝x2－x＋1. (2)由題意，x2－x＋1＞2x＋m在[－1,1]上恒成立． 則m＜x2－3x＋1在[－1,1]上恒成立， 令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]， 易知g(x)在x∈[－1,1]上是減函數(shù)， ∴g(x)min＝g(1)＝－1，應(yīng)有m＜－1. 因此實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)． 考向三 [021]　冪函數(shù)及其性質(zhì) 　(1)函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上是減函數(shù)，則實數(shù)m的值為(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 (2)若a＜0，則下列不等式成立的是(　　) A．2a＞a＞(0.2)a B．(0.2)a＞a＞2a C.a＞(0.2)a＞2a D．2a＞(0.2)a＞a 【思路點撥】　(1)m2－m－1＝1→求m的值→驗證單調(diào)性→對m的值取舍． (2)構(gòu)造函數(shù)y＝xα→比較a與(0.2)a的大小→進而比較2a與a、(0.2)a的大?。? 【嘗試解答】　(1)由題意知m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 當m＝2時，m2－2m－3＝－3，f(x)＝x－3符合題意， 當m＝－1時，m2－2m－3＝0，f(x)＝x0不合題意． 綜上知m＝2. (2)∵a＜0，∴y＝xa在(0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴0.2a＞a＞2a，故選B. 【答案】　(1)A　(2)B 規(guī)律方法3　1.熟知冪函數(shù)的定義和單調(diào)性是解答此類問題的關(guān)鍵． 2．冪的大小比較的常用方法 分類 考查對象 方法 底數(shù)相同，指數(shù)不同 ax1與ax2 利用指數(shù)函數(shù)y＝ax的單調(diào)性 指數(shù)相同，底數(shù)不同 x與x 利用冪函數(shù)y＝xα的單調(diào)性 底數(shù)、指數(shù)都不同 ax1與bx2 尋找中間變量0,1或bx1或ax2 思想方法之四　數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的妙用 二次函數(shù)是數(shù)形結(jié)合的完美載體，利用二次函數(shù)圖象可以較直觀形象地解決以下幾方面問題：(1)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值；(3)借助二次函數(shù)求參數(shù)的范圍；(4)與二次函數(shù)相關(guān)的圖象交點個數(shù)問題．解決以上問題的關(guān)鍵是準確做出二次函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解． ———　[1個示范例]　———　[1個對點練]　——— 　　　(xx遼寧高考)已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.設(shè)H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值)．記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝(　　) A．16　　　　　　　 B．－16 C．a(chǎn)2－2a－16 D．a(chǎn)2＋2a－16 【解析】　f(x)頂點坐標為(a＋2，－4a－4)，g(x)頂點坐標(a－2，－4a＋12)，并且f(x)與g(x)的頂點都在對方的圖象上，圖象如圖， 由題意知，A、B分別為兩個二次函數(shù)頂點的縱坐標， 所以A－B＝(－4a－4)－(－4a＋12)＝－16. (xx山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且僅有兩個不同的公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列判斷正確的是(　　) A．當a<0時，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．當a<0時，x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．當a>0時，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．當a>0時，x1＋x2>0，y1＋y2>0 【解析】　在同一坐標系內(nèi)畫出f(x)＝及g(x)＝x2＋bx的草圖如圖所示， 其中點A(x1，y1)關(guān)于原點的對稱點C也在函數(shù)y＝的圖象上，坐標為(－x1，－y1)，而點B的坐標(x2，y2)在圖象上也明顯的顯示出來．由圖象可知，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0. 【答案】　B