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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 10.3 拋物線高效作業(yè) 理 新人教A版 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分，在下列四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(xx上海調(diào)研)設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為(　　) A．y2＝4x　　　　　　　B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：y2＝ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)．過焦點(diǎn)且斜率為2的直線方程為y＝2(x－)，令x＝0得：y＝－. ∴＝4， ∴a2＝64， ∴a＝8，故選B 答案：B 2．(xx粵西北九校聯(lián)考)已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C. D. 解析：如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P到l2：x＝－1的距離可轉(zhuǎn)化為P、F的距離，由圖可知，距離和的最小值即F到直線l1的距離d＝＝2， 故選A. 答案：A 3．(xx江西八校聯(lián)合模擬)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是(　　) A．4 B．3 C．4 D．8 解析：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線為l：x＝－1，經(jīng)過F且斜率為的直線y＝(x－1)與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A(3,2)，AK⊥l，垂足為K(－1,2)， ∴△AKF的面積是4.故選C 答案：C 4．(xx懷化二模)若拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，則經(jīng)過點(diǎn)F、M(4,4)且與l相切的圓共有(　　) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．4個(gè) 解析：經(jīng)過F、M的圓的圓心在線段FM的垂直平分線上，設(shè)圓心為C，則|CF|＝|CM|，又圓C與l相切，所以C到l距離等于|CF|，從而C在拋物線y2＝4x上． 故圓心為FM的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，顯然有兩個(gè)交點(diǎn)，所以共有兩個(gè)圓，故選C. 答案：C 5．(xx海口二模)設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，若＋＋＝0，則||＋||＋||等于(　　) A．9 B．6 C．4 D．3 解析：設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(xiàn)(1,0)． ∵＋＋＝0，∴x1＋x2＋x3＝3. 又由拋物線定義知||＋||＋||＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6，故選B. 答案：B 6．(xx湘潭二模)設(shè)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M(，0)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C，|BF|＝2，則△BCF與△ACF的面積之比等于(　　) A. B. C. D. 解析：由|BF|＝2小于點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離(＋)知點(diǎn)B在A、C之間，由拋物線的定義知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，代入得y2＝3，則B(，－)(另一種可能是(，))，那么此時(shí)直線AC的方程為＝，即y＝，把y＝代入y2＝2x可得2x2－7x＋6＝0，可得x＝2，則有y＝2，即A(2,2)，那么S△BCF∶S△ACF＝|BC|∶|AC|＝(＋)∶(2＋)＝4∶5，故選A. 答案：A 二、填空題(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上) 7．(xx安徽)已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)．若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為________． 解析：設(shè)直線y＝a與y軸交于M點(diǎn)，拋物線y＝x2上要存在C點(diǎn)，只要以|AB|為直徑的圓與拋物線y＝x2有交點(diǎn)即可，也就是使|AM|≤|MO|，即≤a，因?yàn)閍＞0，所以a≥1. 答案：[1，＋∞) 8．(xx重慶模擬)過拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，則|AF|＝________. 解析：設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線為y＝k(x－)，聯(lián)立得，整理得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，x1＋x2＝，x1x2＝. |AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得k2＝24，代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0得12x2－13x＋3＝0，解之得x1＝，x2＝，又|AF|<|BF|，故|AF|＝x1＋＝. 答案： 9．(xx北京模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與該拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方．若直線l的傾斜角為60，則△OAF的面積為__________． 解析：根據(jù)題意寫出直線AB的方程后求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后再求解． y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，由題知直線l過焦點(diǎn)F且傾斜角為60，故直線l的方程為y＝(x－1)，與y2＝4x聯(lián)立得3x2－6x＋3－4x＝0，即3x2－10x＋3＝0. ∴x＝或x＝3.又點(diǎn)A在x軸上方，∴xA＝3， ∴yA＝2.∴S△OAF＝12＝. 答案： 10．(xx威海一模)對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件： ①焦點(diǎn)在y軸上?、诮裹c(diǎn)在x軸上?、蹝佄锞€上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6　④拋物線的通徑的長為5?、萦稍c(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)．能滿足此拋物線方程y2＝10x的條件是________(要求填寫合適條件的序號(hào))． 解析：在①②兩個(gè)條件中，應(yīng)選擇②，則由題意，可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)；對(duì)于③，由焦半徑公式r＝1＋＝6，∴p＝10，此時(shí)y2＝20x，不符合條件； 對(duì)于④，2p＝5，此時(shí)y2＝5x，不符合題意； 對(duì)于⑤，設(shè)焦點(diǎn)(，0)，則由題意， 滿足＝－1.解得p＝5，此時(shí)y2＝10x， 所以②⑤能使拋物線方程為y2＝10x. 答案：②⑤ 三、解答題(本大題共3小題，共40分，11、12題各13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟) 11．(xx南安期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2＝2x相交于A、B兩點(diǎn)． (1)求證：“如果直線l過點(diǎn)T(3,0)，那么＝3”是真命題； (2)寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由． 解：(1)證明：設(shè)過點(diǎn)T(3,0)的直線l交拋物線y2＝2x于點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)． 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝3，此時(shí)，直線l與拋物線相交于點(diǎn)A(3，)、B(3，－)．∴＝3. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)，其中k≠0. 由得ky2－2y－6k＝0，則y1y2＝－6. 又∵x1＝y(tǒng)，x2＝y(tǒng)， ∴＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝3. 綜上所述，命題“如果直線l過點(diǎn)T(3,0)，那么＝3”是真命題． (2)解：逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y2＝2x于A、B兩點(diǎn)，如果＝3，那么該直線過點(diǎn)T(3,0)．該命題是假命題．例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2)，B(，1)，此時(shí)＝3， 直線AB的方程為y＝(x－)＋1，而點(diǎn)T(3,0)不在直線AB上． 12．(xx大同一模)已知＝(0，－2)，＝(0,2)，直線l：y＝－2，動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離為d，且d＝||. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； (2)直線m：y＝x＋1(k>0)與點(diǎn)P的軌跡交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)≥17時(shí)，求直線m的傾斜角α的取值范圍． 解：(1)設(shè)P(x，y)，由題意知，|y＋2|＝ 整理得x2＝8y ∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2＝8y. (2)由消去y并整理得x2－8x－8＝0. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．因?yàn)棣ぃ?4k＋32>0，∴k>－， 由韋達(dá)定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－8. 所以y1＋y2＝x1＋1＋x2＋1＝(x1＋x2)＋2＝8k＋2， y1y2＝(x1＋1)(x2＋1) ＝kx1x2＋(x1＋x2)＋1＝－8k＋8＋1＝1， 所以＝(x1，y1＋2)(x2，y2＋2) ＝x1x2＋(y1＋2)(y2＋2) ＝x1x2＋y1y2＋2(y1＋y2)＋4 ＝－8＋1＋2(8k＋2)＋4 ＝16k＋1. 而≥17，所以16k＋1≥17，所以k≥1，所以≥1，即tanα≥1，且0≤α<， 所以≤α<，即直線m的傾斜角α的取值范圍是[，)． 13．(xx廣安期末)已知A(8,0)，B、C兩點(diǎn)分別在y軸上和x軸上運(yùn)動(dòng)，并且滿足＝0，＝. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； (2)若過點(diǎn)A的直線l與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡交于M、N兩點(diǎn)，＝97，其中Q(－1,0)，求直線l的方程． 解：(1)設(shè)B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)，則 ＝(－8，b)，＝(x，y－b)． ＝(c，－b)，＝(x－c，y)． ∴＝－8x＋b(y－b)＝0，① 由＝得 ∴b＝－y代入①得y2＝－4x. ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝－4x. (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，x＝8與拋物線沒有交點(diǎn)，不合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，則l：y＝k(x－8)． 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)． 由＝97得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝97， 即x1x2＋x1＋x2＋1＋k2(x1－8)(x2－8)＝97， ∴(1＋k2)x1x2＋(1－8k2)(x1＋x2)＋1＋64k2＝97，② 將y＝k(x－8)代入y2＝－4x得 k2x2＋(4－16k2)x＋64k2＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝64. 代入②式得：64(1＋k2)＋(1－8k2)＋1＋64k2＝97.整理得k2＝，∴k＝. ∴l(xiāng)的方程為：y＝(x－8)， 即x－2y－8＝0或x＋2y－8＝0.