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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 數(shù)列 不等式階段性綜合檢測 文 新人教A版 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．(xx荊門一模)數(shù)列{an}中，a2＝2，a6＝0且數(shù)列{}是等差數(shù)列，則a4＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：設(shè)公差為d，由4d＝－得d＝，所以＝＋2，解得a4＝. 答案：A 2．(xx紹興調(diào)研)在等比數(shù)列{an}中，axx＝8axx，則公比q的值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 解析：∵q3＝＝8，∴q＝2. 答案：A 3．(xx黃岡一模)數(shù)列1,1＋2,1＋2＋22,1＋2＋22＋23，…，1＋2＋23＋…＋2n－1，…的前n項和為(　　) A．2n－1 B．n2n－n C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2 解析：由題意知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1 ＝＝2n－1， 故Sn＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1) ＝(2＋22＋…＋2n)－n ＝－n＝2n＋1－n－2. 答案：D 4．(xx荷澤調(diào)研)數(shù)列{an}的通項公式是an＝(n∈N*)，若前n項和為10，則項數(shù)n為(　　) A．11 B．99 C．120 D．121 解析：∵an＝＝－， ∴a1＝－1，a2＝－，…，an＝－， ∴Sn＝－1＝10，∴n＝120. 答案：C 5．(xx撫順六校二模)在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，a10a11＜0，若此數(shù)列的前10項和S10＝36，前18項的和S18＝12，則數(shù)列{|an|}的前18項和T18的值是 (　　) A．24 B．48 C．60 D．84 解析：由a1＞0，a10a11＜0可知d＜0，a10＞0，a11＜0，所以T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60. 答案：C 6．(xx唐山期末)已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且S9＜S8＝S7，則下列說法不正確的是(　　) A．S9＜S10 B．d＜0 C．S7與S8均為Sn的最大值 D．a(chǎn)8＝0 解析：由于等差數(shù)列的前n項和Sn是關(guān)于非零自然數(shù)n的一元二次函數(shù)，即Sn＝n2＋(a1－d)n，由S9＜S8＝S7可得該二次函數(shù)的圖象開口向下，即d＜0，且其對稱軸為x＝，其前n項和中最大值為S8與S7，且其前7項均為正數(shù)項，第8項為0，由該函數(shù)的單調(diào)性可得S9＞S10，即不正確的為S9＜S10. 答案：A 7．(xx石家莊診斷)已知不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集是B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于(　　) A．－3 B．1 C．－1 D．3 解析：∵A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}， ∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}， ∴不等式x2＋ax＋b＜0的解集為{x|－1＜x＜2}， ∴∴ ∴a＋b＝－3. 答案：A 8．(xx徐州模擬)若a≥0，b≥0，且a(a＋2b)＝4，則a＋b的最小值等于(　　) A. B．4 C．2 D．2 解析：∵a≥0，b≥0，∴a＋2b≥0， 又a(a＋2b)＝4，∴4＝a(a＋2b)≤， 即(a＋b)2≥4，∴a＋b≥2. 答案：C 9．(xx泉州二模)若實數(shù)x、y滿足9x＋9y＝3x＋1＋3y＋1，則u＝3x＋3y的取值范圍是(　　) A．(0,3] B．(0,6] C．(3,6] D．[6，＋∞) 解析：由已知得(3x＋3y)2－23x3y＝3(3x＋3y)，即u2－23x3y＝3u?u2－3u＝23x3y， 據(jù)基本不等式和代數(shù)式自身的限制可得： 0＜u2－3u＝23x3y≤2()2＝，解得3＜u≤6. 答案：C 10．(xx黃山一模)假設(shè)甲、乙兩國關(guān)于擁有洲際導(dǎo)彈數(shù)量的關(guān)系曲線為y＝f(x)和x＝g(y)的意義是：當(dāng)甲國有導(dǎo)彈x枚時，乙國至少需儲備導(dǎo)彈y＝f(x)枚才有安全感；當(dāng)乙國擁有導(dǎo)彈y枚時，甲國至少需儲備導(dǎo)彈x＝g(y)枚才有安全感．這兩條曲線將坐標(biāo)平面的第一象限分成四個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，如圖所示，雙方均有安全感的區(qū)域是(　　) A．ⅠⅡ B．Ⅲ C．Ⅱ D．Ⅱ和Ⅳ 解析：雙方均有安全感的區(qū)域是滿足不等式組的區(qū)域，即為區(qū)域Ⅱ. 答案：C 11．(xx泰州模擬)若不等式x2＋ax－2＞0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是(　　) A．(－，＋∞) B．[－，1] C．(1，＋∞) D．(－∞，－) 法一：不等式x2＋ax－2＞0在區(qū)間[1,5]上有解的等價為不等式x2＋ax－2≤0在區(qū)間[1,5]上無解， 故有.得a≤－上有解，故選A. 法二：解出參數(shù)a＞－x，令f(x)＝－x，x∈[1,5]為減函數(shù)，則f(x)min＝f(5)＝－，因為在x∈[1,5]上有解，所以a大于f(x)min，即a＞－，故選A. 法三　f(x)＝x2＋ax－2的圖象如圖所示為讓x2＋ax－2＞0，在[1,5]上有解只需f(x)max大于0即可，即f(5)＝52＋5a－2＞0 解得a＞－，故選A. 答案：A 12．(xx天門模擬)設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是Ω1，平面區(qū)域Ω2與Ω1關(guān)于直線3x－4y－9＝0對稱．對于Ω1中的任意點A與Ω2中的任意點B，|AB|的最小值等于(　　) A. B．4 C. D．2 解析：畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，觀察圖形可知，D(1,1)到直線3x－4y－9＝0的距離最小，故D與其關(guān)于直線3x－4y－9＝0對稱的點D′(D′在Ω2內(nèi))的距離|DD′|最小，D到直線3x－4y－9＝0的距離為＝2，故|DD′|＝4. 答案：B 第Ⅱ卷(非選擇題，共90分) 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答，第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．(xx東營質(zhì)檢)等比數(shù)列{an}中，an＋m＝A，am－n＝B，則am＝________. 解析：設(shè)公比為q，首項為a1， 則an＋m＝a1qn＋m－1，am－n＝a1qm－n－1， ∴AB＝am＋nam－n＝aq(m＋n－1)＋(m－n－1)＝aq2(m－1)， 即AB＝a，∴am＝. 答案：  14．(xx昆明一模)設(shè)a＞0，b＞0，稱為a，b的調(diào)和平均數(shù)．如圖，C為線段AB上的點，且AC＝a，CB＝b，O為AB的中點，以AB為直徑作半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D，連接OD，AD，BD.過點C作OD的垂線，垂足為E，則圖中線段OD的長度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段________的長度是a，b的幾何平均數(shù)，線段________的長度是a，b的調(diào)和平均數(shù)． 解析：這個圖形可以用來證明：＜＜. 由射影定理可以得到CD2＝ACBC＝ab?CD＝為幾何平均數(shù)；根據(jù)△DEC∽△DCO有＝?DE＝為調(diào)和平均數(shù)． 答案：CD，DE 15．(xx襄樊一模)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－1，對任意x∈[，＋∞)，f()－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：∵f(x)＝x2－1，x∈[，＋∞)， f()－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)對任意的x∈[，＋∞)恒成立， 即－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)對任意的x∈[，＋∞)恒成立， ∴－4m2－1≤對任意的x∈[，＋∞)恒成立．令g(x)＝， 則g(x)＝－－＝－3(＋) ＝－3(＋)2＋. ∵x≥，∴0＜≤， ∴當(dāng)＝時，g(x)min＝－， ∴－4m2－1≤－， 整理得12m4－5m2－3≥0，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0， ∴4m2－3≥0，即m≥或m≤－. 答案：(－∞，－]∪[，＋∞) 16．(xx武漢一模)數(shù)列{an}的前n項和是Sn，若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)則排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…，有如下運算和結(jié)論： ①a23＝；②S11＝； ③數(shù)列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比數(shù)列； ④數(shù)列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n項和Tn＝； ⑤若存在正整數(shù)k，使Sk＜10，Sk＋1≥10，則ak＝. 在后面橫線上填寫出所有你認(rèn)為是正確的運算結(jié)果或結(jié)論的序號________． 解析：據(jù)已知注意歸納規(guī)律，易知分母為2的有1項，分母為3的有2項，…，令≤23，可得分母是7的為數(shù)列的前21項，…，故數(shù)列的第23項為分母是8的第2個數(shù)，即a23＝，故①錯誤；②可直接將各項相加，也可歸納出a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，…，成公差為的等差數(shù)列，則S11＝，②正確；據(jù)此也可確定③是錯誤的；④由于a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，…，成公差為的等差數(shù)列，故其前n項和為＋＝，命題④正確；據(jù)已知可得數(shù)列的第k項是分母為7的一組中的第5個數(shù)，即ak＝，故⑤正確． 答案：②④⑤ 三、解答題(本大題共6小題，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(xx保定一模)(本小題滿分12分) 已知{an}為等差數(shù)列，且a3＝－6，a6＝0. (1)求{an}的通項公式； (2)若等比數(shù)列{bn}滿足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n項和公式． 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a3＝－6，a6＝0， 所以解得 所以an＝－10＋(n－1)2＝2n－12. (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q. 因為b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8， 所以－8q＝－24，即q＝3， 所以{bn}的前n項和公式為Sn＝＝4(1－3n)． 18．(xx白山一模)(本小題滿分12分) 數(shù)列{an}中，a1＝，前n項和Sn滿足Sn＋1－Sn＝()n＋1(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式an以及前n項和Sn； (2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差數(shù)列，求實數(shù)t的值． 解：(1)由Sn＋1－Sn＝()n＋1， 得an＋1＝()n＋1(n∈N*)，又a1＝， 故an＝()n(n∈N*)， 從而Sn＝＝[1－()n](n∈N*)． (2)由(1)可得S1＝，S2＝，S3＝， 從而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差數(shù)列可得： ＋3(＋)＝2(＋)t，解得t＝2. 19．(xx平頂山一模)(本小題滿分12分) 在數(shù)列{an}中，已知a1＝－1，且an＋1＝2an＋3n－4(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{an＋1－an＋3}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式； (3)求和：Sn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|(n∈N*)． 解：(1)令bn＝an＋1－an＋3， ∴bn＋1＝an＋2－an＋1＋3 ＝2an＋1＋3(n＋1)－4－2an－3n＋4＋3 ＝2(an＋1－an＋3)＝2bn， ∴＝2，又∵b1＝1 ∴數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列． (2)由已知a2＝2a1－1＝－3， 故b1＝a2－a1＋3＝1?bn＝an＋1－an＋3＝2n－1 ?2an＋3n－4－an＋3＝2n－1 ?an＝2n－1－3n＋1(n∈N*)． (3)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Tn， Tn＝2n－1－＝2n－1－， Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|. ∵當(dāng)n≤4時，an＜0，當(dāng)n＞4時，an＞0， ∴當(dāng)n≤4時，Sn＝－Tn＝1＋－2n； 當(dāng)n＞4時，Sn＝Tn－2T4＝2n＋21－. 20．(xx常州一模)(本小題滿分12分) 設(shè)a＞0，a≠1，t＞0，比較logat與loga的大小，并證明你的結(jié)論． 解：loga－logat＝loga－loga＝loga， ∵t＞0，t＋1≥2(當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時等號成立)， ∴≥1. 當(dāng)t＝1時，loga＝logat；當(dāng)t≠1時，＞1. 若a＞1，則loga＞0，即loga＞logat； 若0＜a＜1，則loga＜0，即loga＜logat. 21．(xx洛陽一模)(本小題滿分12分) 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意的正整數(shù)n，都有an＝5Sn＋1成立，記bn＝(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Rn，是否存在正整數(shù)k，使得Rk≥4k成立？若存在，找出一個正整數(shù)k；若不存在，請說明理由； (3)記cn＝b2n－b2n－1(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求證：對任意正整數(shù)n，都有Tn＜. 解：(1)當(dāng)n＝1時，a1＝5a1＋1，∴a1＝－. 又∵an＝5Sn＋1，an＋1＝5Sn＋1＋1， ∴an＋1－an＝5an＋1，即an＋1＝－an， ∴數(shù)列{an}成等比數(shù)列，其首項為a1＝－，公比q＝－， ∴an＝(－)n，∴bn＝. (2)不存在正整數(shù)k，使得Rk≥4k成立． 下證：對任意的正整數(shù)n，都有Rn＜4n成立． 由(1)知bn＝4＋. ∵b2k－1＋b2k＝8＋＋ ＝8＋－＝8－＜8， ∴當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n＝2m(m∈N*)， 則Rn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2m－1＋b2m)＜8m＝4n； 當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n＝2m－1(m∈N*)， 則Rn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2m－3＋b2m－2)＋b2m－1＜8(m－1)＋4＝8m－4＝4n， ∴對一切的正整數(shù)n，都有Rn＜4n， ∴不存在正整數(shù)k，使得Rn≥4k成立． (3)由(1)知bn＝4＋， ∴cn＝b2n－b2n－1＝＋ ＝ ＝＜＝. 又b1＝3，b2＝，∴c1＝.當(dāng)n＝1時，T1＜； 當(dāng)n≥2時，Tn＜＋25(＋＋…＋)＝＋25＜＋25＝＜， ∴對任意正整數(shù)n，都有Tn＜. 請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。 22．(xx溫州一模)(本小題滿分10分) 已知f(x)＝logmx(m為常數(shù)，m＞0且m≠1)．設(shè)f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首項為4，公差為2的等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式，并證明{an}是等比數(shù)列； (2)若bn＝anf(an)，且數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，當(dāng)m＝時，求Sn. 解：(1)f(an)＝logman＝4＋2(n－1) ＝2n＋2，故an＝m2n＋2， 易得{an}的公比為m2. (2)當(dāng)m＝時，bn＝(2n＋2)m2n＋2＝(n＋1)2n＋2，Sn＝223＋324＋425＋…＋(n＋1)2n＋2，?、? 2Sn＝224＋325＋426＋…＋n2n＋2＋(n＋1)2n＋3，?、? 由②－①得Sn＝2n＋3n. 23．(xx山師附中質(zhì)檢)(本小題滿分10分) 已知數(shù)列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)． (1)若數(shù)列{}為等差數(shù)列，求實數(shù)λ的值； (2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 解：(1)由等差數(shù)列的定義解2＝＋得λ＝－1. (2)由(1)知an＝(n＋1)2n＋1，故Sn＝221＋322＋…＋n2n－1＋(n＋1)2n＋n，記Tn＝221＋322＋…＋n2n－1＋(n＋1)2n，易知Tn＝n2n＋1，故Sn＝n(2n＋1＋1)． 24．(xx上海調(diào)研)(本小題滿分10分) 已知不等式mx2－2x－m＋1＜0. (1)若對于所有的實數(shù)x不等式恒成立，求m的取值范圍； (2)設(shè)不等式對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍． 解：(1)分m＝0和m≠0兩種情況討論，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)得m∈. (2)f(m)＝mx2－2x－m＋1＝(x2－1)m＋(1－2x)，看作以m為自變量的一次函數(shù)，利用圖象性質(zhì)，解得x的取值范圍為{x|＜x＜}．