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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第9章 第7節(jié) 拋物線課時跟蹤檢測 理（含解析）新人教版 1．(xx吉安模擬)若點P到點F(0,2)的距離比它到直線y＋4＝0的距離小2，則點P的軌跡方程為(　　) A．y2＝8x　 B．y2＝－8x C．x2＝8y　　　 D．x2＝－8y 解析：選C　由題意知點P到點F(0,2)的距離比它到直線y＋4＝0的距離小2，因此點P到點F(0,2)的距離與到直線y＋2＝0的距離相等，故點P的軌跡是以F為焦點，y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為x2＝8y，選C. 2．已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為(　　) A.　　　　 B. C．1　　　 D．2 解析：選D　由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y＝－1，過A作AA1⊥l于A1，過B作BB1⊥l于B1，設(shè)弦AB的中點為M，過M作MM1⊥l于M1，則|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥ 6，|MM1|≥3，故M到x軸的距離d≥2，選D. 3．(xx天津高考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p＝(　　) A．1　　　　 B. C．2　　　 D．3 解析：選C　設(shè)A點坐標(biāo)為(x0，y0)，則由題意，得S△AOB＝|x0||y0|＝，拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－，所以x0＝－，代入雙曲線的漸近線的方程y＝x，得|y0|＝.由得b＝a，所以|y0|＝p.所以S△AOB＝p2＝，解得p＝2或p＝－2(舍去). 故選C. 4．(xx江西高考)已知點A(2,0)，拋物線C：x2＝4y的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準(zhǔn)線相交于點N，則|FM|∶|MN|＝(　　) A．2∶ B．1∶2 C．1∶　　　 D．1∶3 解析：選C　射線FA的方程為x＋2y－2＝0(x≥0)． 如圖所示，由條件知tan α＝， ∴sin α＝， 由拋物線的定義知|MF|＝|MG|， ∴＝＝sin α＝＝.故選C. 5．(xx東北三省聯(lián)考)已知拋物線y2＝8x的焦點為F，直線y＝k(x－2)與此拋物線相交于P，Q兩點，則＋＝(　　) A. B．1 C．2　　　 D．4 解析：選A　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由題意可知|PF|＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，則＋＝＋＝，聯(lián)立直線與拋物線方程消去y得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故＋＝＝＝.故選A. 6．(xx大綱全國高考)已知拋物線C：y2＝8x與點M(－2,2)，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若＝0，則k＝(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　 D．2 解析：選D　由題意知拋物線C的焦點坐標(biāo)為(2,0)，則直線AB的方程為y＝k(x－2)，將其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B (x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝4.① 所以 ∵＝0， ∴(x1＋2，y1－2)(x2＋2，y2－2)＝0. ∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0， 即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k＝2.故選D. 7．(xx陜西高考)右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬________米． 解析：2　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)， 由點(2，－2)在拋物線上，可得p＝1，則拋物線方程為x2＝－2y.當(dāng)y＝－3時，x＝，所以水面寬2米. 8．(xx江南十校聯(lián)考)已知直線l過拋物線y2＝4x的焦點F，交拋物線于A、B兩點，且點A、B到y(tǒng)軸的距離分別為m、n，則m＋n＋2的最小值為________． 解析：4　因為m＋n＋2＝(m＋1)＋(n＋1)表示點A、B到準(zhǔn)線的距離之和，所以m＋n＋2表示焦點弦AB的長度，因為拋物線焦點弦的最小值是其通徑的長度，所以m＋n＋2的最小值為4. 9．(xx浙江高考)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過點P(－1,0)的直線l交拋物線C于A，B兩點，點Q為線段AB的中點，若|FQ|＝2，則直線l的斜率等于________． 解析：1　設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得 k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0， ∴x1＋x2＝－， ∴＝－＝－1＋，＝， 所以Q.又|FQ|＝2，F(xiàn)(1,0)， ∴2＋2＝4，解得k＝1. 10．(xx重慶診斷)過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，則|AF|＝________. 解析：　由題意知過拋物線焦點的直線斜率存在，設(shè)其方程為y＝k，由消去y整理得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得k2＝24，代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0得12x2－13x＋3＝0，解得x1＝，x2＝，又|AF|＜|BF|，故|AF|＝x1＋＝. 11．(xx太原調(diào)研)如圖，已知拋物線C：y2＝2px和⊙M：(x－4)2＋y2＝1，過拋物線C上一點H(x0，y0)(y0≥1)作兩條直線與⊙M相切于A，B兩點，分別交拋物線為E，F(xiàn)兩點，圓心點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為. (1)求拋物線C的方程； (2)當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時，求直線EF的斜率； (3)若直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值． 解：(1)∵點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為4＋＝， ∴p＝，所以拋物線C的方程為y2＝x. (2)∵當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H(4,2)， ∴kHE＝－kHF， 設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，∴＝－， ∴＝－，∴y1＋y2＝－2yH＝－4. kEF＝＝＝＝－. (3)設(shè)A(x1′，y1′)，B(x2′，y2′)， ∵kMA＝，∴kHA＝， 所以直線HA的方程為(4－x1′)x－y1′y＋4x1′－15＝0， 同理直線HB的方程為(4－x2′)x－y2′y＋4x2′－15＝0， ∴(4－x1′)y－y1′y0＋4x1′－15＝0，(4－x2′)y－y2′y0＋4x2′－15＝0， ∴直線AB的方程為(4－y)x－y0y＋4y－15＝0， 令x＝0，可得t＝4y0－(y0≥1)， ∵t關(guān)于y0的函數(shù)在[1，＋∞)單調(diào)遞增， ∴tmin＝－11.即t的最小值為－11. 12．如圖，已知拋物線P：y2＝x，直線AB與拋物線P交于A、B兩點，OA⊥OB，＋＝，OC與AB交于點M. (1)求點M的軌跡方程； (2)求四邊形AOBC的面積的最小值． 解：(1)設(shè)M(x，y)，A(y，y1)，B(y，y2)， ∵＋＝， ∴M是線段AB的中點． ∴x＝＝，① y＝.② ∵OA⊥OB，∴＝0. ∴yy＋y1y2＝0. 依題意知y1y2≠0，∴y1y2＝－1.③ 把②、③代入①得：x＝，即y2＝(x－1)． ∴點M的軌跡方程為y2＝(x－1)． (2)依題意得四邊形AOBC是矩形， ∴四邊形AOBC的面積為 S＝||||＝ ＝ ＝＝. ∵y＋y≥2|y1y2|＝2，當(dāng)且僅當(dāng)|y1|＝|y2|時，等號成立， ∴S≥＝2. ∴四邊形AOBC的面積的最小值為2. 1．(xx長沙模擬)與拋物線y2＝8x相切傾斜角為135的直線l與x軸和y軸的交點分別是A和B，那么過A，B兩點的最小圓截拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線所得的弦長為(　　) A．4 B．2 C．2　　　　 D. 解析：選C　設(shè)直線l的方程為y＝－x＋b，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元得y2＋8y－8b＝0，因為直線與拋物線相切，故Δ＝82－4(－8b)＝0，解得b＝－2，故直線l的方程為x＋y＋2＝0，從而A(－2,0)，B(0，－2)，因此過A，B兩點最小圓即為以AB為直徑的圓，其方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，而拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線方程為x＝－2，此時圓心(－1，－1)到準(zhǔn)線距離為1，故所截弦長為2＝2.故選C. 2．(xx山東高考)拋物線C1：y＝x2(p＞0)的焦點與雙曲線C2：－y2＝1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：選D　設(shè)M，y′＝′＝，故M點切線的斜率為＝，故M.由，，(2,0)三點共線，可求得p＝，故選D. 3．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A，直線l與拋物線的準(zhǔn)線的交點為B，點A在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為C，若＝，＝36，則拋物線的方程為________． 解析：y2＝2x　由＝知F為AB的中點，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為D，則|DF|＝|AC|＝p，∴|AC|＝2p＝|AF|＝|FB|，|AB|＝4p，∴∠ABC＝30，|BC|＝2p，＝|BA||BC|cos 30＝4p2p＝36，解得p＝，∴y2＝2x. 4．(xx西安五校聯(lián)考)已知直線y＝－2上有一個動點Q，過點Q作直線l1垂直于x軸，動點P在l1上，且滿足OP⊥OQ(O為坐標(biāo)原點)，記點P的軌跡為C.若直線l2是曲線C的一條切線，則當(dāng)點(0,2)到直線l2的距離最短時，直線l2的方程為________． 解析：x－y－1＝0或x＋y＋1＝0 設(shè)點P的坐標(biāo)為(x， y)，則點Q的坐標(biāo)為(x，－2)， ∵OQ⊥OP，∴kOQkOP＝－1，當(dāng)x≠0時，得＝－1，化簡得x2＝2y，當(dāng)x＝0時，P，O，Q三點共線，不合題意，故x≠0，故曲線C的方程為x2＝2y(x≠0)．由x2＝2y，得y′＝x， ∵直線l2與曲線C相切，設(shè)切點M的坐標(biāo)為(x1，y1)，其中y1＝x＞0，則直線l2的方程為y－y1＝x1(x－x1)，化簡得x1x－y－y1＝0.點(0,2)到直線l2的距離 d＝＝＝≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即y1＝1時，等號成立，此時x1＝，所以直線l2的方程為x－y－1＝0或x＋y＋1＝0. 5．已知拋物線y2＝2x，P是拋物線的動弦AB的中點． (1)當(dāng)P的坐標(biāo)為(2,3)時，求直線AB的方程； (2)當(dāng)直線AB的斜率為1時，求線段AB的垂直平分線在x軸上的截距的取值范圍． 解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y1＋y2＝6.由可得y－y＝2x1－2x2，變形得＝，則kAB＝＝. 所以直線AB的方程為y－3＝(x－2)，即x－3y＋7＝0. (2)由題意可設(shè)直線AB的方程為y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由可得x2＋2(b－1)x＋b2＝0. 依題意得Δ＝4－8b＞0，所以b＜. 易知x1＋x2＝2(1－b)，y1＋y2＝(x1＋b)＋(x2＋b)＝2，故AB的中點P的坐標(biāo)為(1－b,1)． 所以線段AB的垂直平分線的方程為y－1＝－(x－1＋b)， 即x＋y＋b－2＝0，其在x軸上的截距為2－b. 因為b＜，所以2－b＞， 所以截距的取值范圍為.