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2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 11.3 二項(xiàng)式定理題組訓(xùn)練 理 蘇教版 一、填空題 1．(xx西安調(diào)研)若(1＋)4＝a＋b(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝________. 解析　(1＋)4＝1＋C＋C()2＋C()3＋()4＝28＋16，由題設(shè)a＝28，b＝16，故a＋b＝44. 答案　44 2．(xx遼寧卷改編)使n(n∈N*)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為________． 解析　Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rx，當(dāng)Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)時(shí)，n－r＝0，當(dāng)r＝2，n＝5時(shí)成立． 答案　5 3．已知8展開式中常數(shù)項(xiàng)為1 120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是________． 解析　由題意知C(－a)4＝1 120，解得a＝2，令x＝1，得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為(1－a)8＝1或38. 答案　1或38 4．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若數(shù)列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是________． 解析　由二項(xiàng)式定理知an＝C(n＝1,2,3，…，n)．又(x＋1)10展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第6項(xiàng)． ∴a6＝C，則k的最大值為6. 答案　6 5．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，則實(shí)數(shù)m的值為________． 解析　令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1，令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6，又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3. 答案　1或－3 6．(xx四川卷)二項(xiàng)式(x＋y)5的展開式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)． 解析　Tr＋1＝Cx5－ryr(r＝0,1,2,3,4,5)，依題意，r＝3， ∴含x2y3的系數(shù)為C＝＝10. 答案　10 7．(a＋x)4的展開式中x3的系數(shù)等于8，則實(shí)數(shù)a＝______. 解析　(a＋x)4的展開式中的通項(xiàng)Tr＋1＝Ca4－rxr，當(dāng)r＝3時(shí)，有Ca＝8，所以a＝2. 答案　2 8．設(shè)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M－N＝240，則展開式中含x的項(xiàng)為________． 解析　由已知條件4n－2n＝240，解得n＝4， Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rC ， 令4－＝1，得r＝2，T3＝150x. 答案　150x 二、解答題 9．已知二項(xiàng)式(＋)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為256. (1)求n；(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)． 解　(1)由題意得C＋C＋C＋…＋C＝256， ∴2n＝256，解得n＝8. (2)該二項(xiàng)展開式中的第r＋1項(xiàng)為 Tr＋1＝C()8－rr＝C， 令＝0，得r＝2，此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為T3＝C＝28. 10．若(2＋x＋x2)3的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為a，求(3x2－1)dx. 解　∵3＝1－＋－， ∴(2＋x＋x2)3的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 a＝21＋1(－3)＋13＝2. 因此(3x2－1)dx＝(x3－x)＝(x3－x)＝6. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、填空題 1．(xx陜西卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝則當(dāng)x>0時(shí)，f[f(x)]表達(dá)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為________． 解析　當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－<0， 所以f[f(x)]＝f(－)＝6， 由r－3＝0，得r＝3. 所以f[f(x)]表達(dá)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為(－1)3C＝－20. 答案　－20 2．若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實(shí)數(shù)，則a3＝________. 解析　f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(1＋x)r(－1)5－r，T4＝ C(－1)2(1＋x)3＝10(1＋x)3， ∴a3＝10. 答案　10 3．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，則a2＋a4＋…＋a12＝________. 解析　令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36， 令x＝－1，則a0－a1＋a2－…＋a12＝1， ∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝. 令x＝0，則a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364. 答案　364 二、解答題 4．已知(a2＋1)n展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和等于5的展開式的常數(shù)項(xiàng)，而(a2＋1)n的展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)等于54，求正數(shù)a的值． 解　5展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C5－rr＝5－r ，令20－5r＝0，得r＝4，故常數(shù)項(xiàng)T5＝C＝16.又(a2＋1)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2n，由題意得2n＝16，∴n＝4.∴(a2＋1)4展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)T3，從而C(a2)2＝54，解得a＝.