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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 坐標系高效作業(yè) 理 新人教A版選修4-4 一、填空題 1．在極坐標系中，直線ρsin(θ－)＝與圓ρ＝2cosθ的位置關(guān)系是________． 解析：直線的直角坐標方程為x－y＋1＝0，圓的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1，其圓心C(1,0)，半徑r＝1.因為圓心到直線的距離d＝＝＞1，故直線與圓相離． 答案：相離 2．(xx汕頭第一次學(xué)業(yè)水平測試)在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ＝2sinθ，過極點的一條直線l與圓相交于O，A兩點，且∠AOx＝45，則|OA|＝________. 解析：圓C的直角坐標系方程為：x2＋(y－1)2＝1，圓心(0,1)到直線OA：y＝x的距離為，則弦長|OA|＝. 答案： 3．在極坐標系中，ρ＝2sinθ與ρcosθ＝－1(0≤θ＜2π)的交點的極坐標為________． 解析：∵ρ＝2sinθ， ∴ρ2＝2ρsinθ. ∴x2＋y2－2y＝0. 又ρcosθ＝－1，∴x＝－1， 將x＝－1代入x2＋y2－2y＝0得y＝1. ∴兩曲線的交點為(－1,1)． 又∵0≤θ＜2π. ∴所求交點的極坐標為(，)． 答案：(，) 4．(xx西安八校聯(lián)考)在極坐標系中，點A的坐標為(2，)，曲線C的方程為ρ＝4sinθ，則OA(O為極點)所在直線被曲線C所截弦的長度為________． 解析：將直線OA的極坐標方程θ＝代入ρ＝4sinθ，得交點坐標A(2，)，又O顯然為直線OA與曲線C的一個交點，∴弦長為|OA|＝2. 答案：2 5．(xx廣東惠州第一次調(diào)研)設(shè)點A的極坐標為(2，)，直線l過點A且與極軸垂直，則直線l的極坐標方程為________． 解析：點A的直角坐標為(2,2)，故直線l在直角坐標系下的方程為x＝2，故其極坐標方程為ρcosθ＝2. 答案：ρcosθ＝2 6．若點P(2，－1)為曲線(極坐標系下的方程)ρ2－2ρcosθ－24＝0(0≤θ＜2π)的弦的中點，則該弦所在直線的直角坐標方程為________． 解析：ρ2－2ρcosθ－24＝0化為直角坐標方程為x2＋y2－2x－24＝0，即(x－1)2＋y2＝25，圓心坐標為(1,0)，故弦的垂直平分線斜率為k＝＝－1，故弦所在直線的斜率為1，因此弦所在直線的方程為x－2＝y(tǒng)＋1，即x－y－3＝0. 答案：x－y－3＝0 7．在極坐標系中，O為極點，設(shè)點A(4，)，B(5，－)，則△OAB的面積為________． 解析：點B(5，－)即B(5，)，且點A(4，)， ∴∠AOB＝－＝，所以△OAB的面積為S＝|OA||OB|sin∠AOB＝45sin＝45＝5. 答案：5 8．在極坐標系中，點(1,0)到直線ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距離為________． 解析：直線ρ(cosθ＋sinθ)＝2的直角坐標方程為x＋y－2＝0，極坐標(1,0)的直角坐標為(1,0)，點(1,0)到該直線的距離為d＝＝. 答案： 9．(xx陜西西安調(diào)研)直線2ρcosθ＝1與圓ρ＝2cosθ相交的弦長為________． 解析：直線2ρcosθ＝1即為2x＝1，圓ρ＝2cosθ，即為(x－1)2＋y2＝1，由此可求得弦長為. 答案： 10．(xx湖南長沙模擬)在極坐標系中，曲線C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a＞0)的一個交點在極軸上，則a＝________. 解析：把曲線C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1化成直角坐標方程，得x＋y＝1； 把曲線C2：ρ＝a(a＞0)化成直角坐標方程，得x2＋y2＝a2. ∵C1與C2的一個交點在極軸上， ∴x＋y＝1與x軸交點(，0)在C2上， 即()2＋0＝a2.又∵a＞0，∴a＝. 答案： 二、解答題 11．(xx江蘇模擬)[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程] 已知曲線C的極坐標方程為ρ＝4cosθ，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))． (Ⅰ)求曲線C的直角坐標方程，直線l的普通方程； (Ⅱ)將曲線C橫坐標縮短為原來的，再向左平移1個單位，得到曲線C1，求曲線C1上的點到直線l距離的最小值． 解：(Ⅰ)對于曲線C：ρ＝4cosθ，左右兩邊同乘ρ，得ρ2＝4ρcosθ， 又∵x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， ∴x2＋y2＝4x， ∴曲線C的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4. 對于直線l： ①－②得x－y＝－2， ∴直線l的普通方程是x－y＋2＝0. (Ⅱ)將曲線C橫坐標縮短為原來的，再向左平移1個單位，得到曲線C1的方程為4x2＋y2＝4， 設(shè)曲線C1上的任意點(cosθ，2sinθ)到直線l的距離 d＝＝，又sin(θ－φ)∈[－1,1]， ∴曲線C1上的點到直線l距離的最小值為 12．(xx東北四校一模)在極坐標系中，曲線L：ρsin2θ＝2cosθ，過點A(5，α)(α為銳角且tanα＝)作平行于θ＝(ρ∈R)的直線l，且l與曲線L分別交于B，C兩點． (1)以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，取與極坐標相同的單位長度，建立平面直角坐標系，寫出曲線L和直線l的普通方程； (2)求|BC|的長． 解：(1)由題意得，點A的直角坐標為(4,3)， 曲線L的普通方程為y2＝2x， 直線l的普通方程為y＝x－1. (2)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)， 聯(lián)立 把②式代入①式并整理得x2－4x＋1＝0. 由韋達定理得x1＋x2＝4，x1x2＝1. 由弦長公式得|BC|＝|x1－x2|＝2. 13．(xx南京二模)在極坐標系中，曲線C1，C2的極坐標方程分別為ρ＝－2cosθ，ρcos(θ＋)＝1. (1)求曲線C1和C2的公共點的個數(shù)； (2)過極點作動直線與曲線C2相交于點Q，在OQ上取一點P，使|OP||OQ|＝2，求點P的軌跡，并指出軌跡是什么圖形． 解：(1)C1的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝1，它表示圓心為(－1,0)，半徑為1的圓，C2的直角坐標方程為x－y－2＝0， 所以曲線C2為直線，由于圓心到直線的距離為d＝＞1， 所以直線與圓相離，即曲線C1和C2沒有公共點． (2)設(shè)Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，則 即① 因為點Q(ρ0，θ0)在曲線C2上， 所以ρ0cos(θ0＋)＝1，② 將①代入②，得cos(θ＋)＝1， 即ρ＝2cos(θ＋)為點P的軌跡方程，化為直角坐標方程為(x－)2＋(y＋)2＝1，因此點P的軌跡是以(，－)為圓心，1為半徑的圓．