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2019年高考數(shù)學總復(fù)習 第5章 第4節(jié) 平面向量的應(yīng)用課時跟蹤檢測 理（含解析）新人教版 1．已知點A(－2,0)、B(3,0)，動點P(x，y)滿足＝x2，則點P的軌跡是(　　) A．圓　　　　　　　　　 B．橢圓 C．雙曲線　　　　 D．拋物線 解析：選D　由題意知＝(－2－x，－y)，＝(3－x， －y)，故＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，整理得y2＝x＋6，故點P的軌跡是拋物線．選D. 2．已知向量a＝(cos x，－)，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，則ab在上的最大值和最小值分別為(　　) A.，－　　　　 B.，－ C．1，　　　　 D．1，－ 解析：選D　ab＝cos xsin x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin.當x∈時，2x－∈，于是ab在上的最大值和最小值分別為1，－. 3．設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|bc|的值一定等于(　　) A．以a，b為兩邊的三角形的面積 B．以b，c為兩邊的三角形的面積 C．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積 D．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積 解析：選C　 |bc|＝|b||c|cos θ＝|b||a|sin α＝S?OACB，故|bc|的值一定等于以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積． 4．(xx石家莊模擬)若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點與最低點，且＝0，則Aω＝(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.π　　　　 D.π 解析：選C　由題中圖象知＝－，∴T＝π，∴ω＝2. 則M，N， 由＝0，得＝A2， ∴A＝π，∴Aω＝π.故選C. 5．(xx鄭州模擬)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c是非零平面向量，且a，b不共線，則該方程(　　) A．可能有無窮多個實數(shù)解　　　 B．至多有兩個實數(shù)解 C．至少有一個實數(shù)解　　　　 D．至多有一個實數(shù)解 解析：選D　因為a，b不共線，所以可設(shè)c＝ma＋nb(其中m，n∈R)，代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx＋ma＋nb＝0，即(x2＋m)a＋(x＋n)b＝0. 又a，b不共線，得顯然當m>0時，原方程無解；當m≤0且n2＝－m時，方程有唯一解．故選D. 6．(xx合肥模擬)甲船自港口A出發(fā)，乙船在離港口A有7海里的B處，正駛向港口A，又得知乙船的速度是甲船速度的兩倍，航向構(gòu)成120角，則兩船的最近距離為(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 解析：選D　如圖所示，設(shè)甲船與乙船的速度分別為v,2v，經(jīng)過t小時，兩船分別到達C，D處，得|AC|＝vt，|AD|＝7－2vt(0≤t≤)，由于＝－，且與的夾角為60， 所以||2＝(－)2＝(7－2vt)2＋(vt)2－2vt(7－2vt)cos 60＝7v2t2－35vt＋49＝72＋≥，因此，兩船的最近距離為海里．選D. 7．(xx西安聯(lián)考)在△ABC中，＝1，＝－3，則的值為________． 解析：　由已知＝－3 ?BCcos B＝3ACcos A，由正弦定理得sin Acos B＝3sin Bcos A， ∴＝＝＝. 8．(xx沈陽模擬)若平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以表示向量α，β的線段為鄰邊的平行四邊形的面積為，則α與β的夾角θ的取值范圍是________． 解析：　由題意知S＝|α||β|sin θ＝，∴sin θ＝≥，又0≤θ≤π，∴≤θ≤，故θ的取值范圍為. 9．圓C：x2＋y2＝1，直線l：y＝kx＋2，直線l與圓C交于A，B，若|＋|<|－|(其中O為坐標原點)，則k的取值范圍是________． 解析：(－∞，－)∪(，＋∞)　由|＋|<|－|知<0，所以∠AOB為鈍角，從而點O到直線l的距離小于.由點到直線的距離公式，得<，解得k<－或k>，故k的取值范圍為(－∞，－)∪(，＋∞)． 10．在長江南岸渡口處，江水以12.5 km/h的速度向東流，渡船的速度為25 km/h.渡船要垂直地渡過長江，則航向為________________． 解析：北偏西30　如圖所示，渡船速度為，水流速度為， 船實際垂直過江的速度為，依題意知||＝，||＝25. ∵＝＋， ∴＝＋2， ∵⊥，∴＝0， ∴25cos(∠BOD＋90)＋2＝0， ∴cos(∠BOD＋90)＝－， ∴sin∠BOD＝， ∴∠BOD＝30，∴航向為北偏西30. 11．已知向量a＝，b＝，函數(shù)f(x)＝ab－. (1)求y＝f(x)的對稱軸方程； (2)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)的值． 解：(1)由已知，得f(x)＝ab－ ＝sin2＋sincos－ ＝＋sin－ ＝sin－cos＝sin. 由－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝2k＋，k∈Z)， 所以y＝f(x)的對稱軸方程為x＝2k＋(k∈Z)． (2)由(1)，可知函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝＝4， 而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝sin＋sin＋sin＋sin＝＋－－＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＝0503＋ f(xx)＋f(xx)＝f(1)＋f(2)＝＋. 12．(xx長沙聯(lián)合質(zhì)檢)已知甲船由A島出發(fā)向北偏東45的方向作勻速直線航行，速度為15海里/小時，在甲船從A島出發(fā)的同時，乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā)，朝北偏東θ的方向作勻速直線航行，速度為m海里/小時． (1)若兩船能相遇，求m的值； (2)當m＝10時，求兩船出發(fā)后多長時間距離最近，最近距離為多少海里？ 解：(1)設(shè)經(jīng)過t小時兩船在M處相遇，由題知sin θ＝，cos θ＝，則sin∠AMB＝sin(45－θ)＝， 由正弦定理得＝，∴AM＝40， 同理得BM＝40，∵t＝＝，∴m＝＝15. (2)以A為原點，BA所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，設(shè)在t時刻甲、乙兩船分別在P、Q處，則AP＝15t，BQ＝10t.由tan θ＝可得，cos θ＝，sin θ＝. 根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，可得點 P(x1，y1)的坐標是 ， 即向量＝(15t,15t)， 過點A作與向量相等的向量′，同理可得′的坐標為(10t,20t)，即向量＝(10t,20t)．從而向量＝＋＝(10t,20t－40)． ∴＝－＝(－5t,5t－40)， ∴||＝＝＝≥20. 當且僅當t＝4時，||取得最小值20，即兩船出發(fā)4小時后，距離最近，最近距離為20海里． 1．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)，若|2a－b|4. 2．(xx天津模擬)在四邊形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，則四邊形ABCD的面積為(　　) A.　　　　 B.　　　　 C．2　　　　 D．4 解析：選B　由＝＝(1,1)，知四邊形ABCD為平行四邊形，且||＝||＝，又＋＝，又知是長度為1，方向與相同的單位向量，用向量的平行四邊形法則畫圖，在畫成的三角形中，有兩邊長度為1，另一邊為，再由余弦定理得cos C＝＝－， ∴C＝120，∴D＝60，可得四邊形ABCD是菱形，∴四邊形ABCD的面積為＝. 3．(xx溫州八校聯(lián)考)已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點．若該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為________． 解析：[1，＋∞)　如圖所示AC⊥BC，則＝0，又＝(x＋，x2－a)，＝(x－，x2－a)，所以(x－)(x＋)＋(x2－a)2＝0，即x4－(2a－1)x2＋a(a－1)＝0?(x2－a)[x2－(a－1)]＝0，因為x≠，所以x2＝a－1≥0.∴a≥1，故a的取值范圍為[1，＋∞)． 4．(xx宜賓診斷)定義兩個平面向量的一種運算：a?b＝|a||b|sin〈a，b〉，則關(guān)于平面向量上述運算的以下結(jié)論中，正確的有________．(寫出所有正確結(jié)論的序號) ①λ(a?b)＝(λa)?b； ②(a＋b)?c＝(a?c)＋(b?c)； ③若a?b＝0，則向量a，b共線； ④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a?b＝|x1y2－x2y1|. 解析：③④?、佴?a?b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，(λa)?b＝|λa||b|sin〈a，b〉，當λ<0時，λ(a?b)≠(λa)?b，故①錯誤； ②當a，b，c不共面時，(a＋b)?c＝(a?c)＋(b?c)不成立，例如取a，b，c為兩兩垂直的單位向量，易得(a＋b)?c＝，(a?c)＋(b?c)＝2；③由平面向量的定義可知，若|a||b|sin〈a，b〉＝0，即向量a，b共線；④由a?b＝|a||b|sin〈a，b〉， ab＝|a||b|cos〈a，b〉，可知(a?b)2＋(ab)2 ＝|a|2|b|2，(a?b)2＝|a|2|b|2－(ab)2＝(x＋y)(x＋y)－(x1x2＋y1y2)2＝(x1y2－x2y1)2，故a?b ＝|x1y2－x2y1|恒成立，④正確．故正確結(jié)論的序號為③④. 5．已知兩個不共線的向量a，b的夾角為θ，且|a|＝3，|b|＝1，x為正實數(shù)． (1)若a＋2b與a－4b垂直，求tan θ； (2)若θ＝，求|x a－b|的最小值及對應(yīng)的x的值，并指出此時向量a與xa－b的位置關(guān)系． 解：(1)由題意，得(a＋2b)(a－4b)＝0， 所以a2－2ab－8b2＝0， 所以32－231cos θ－812＝0， 解得cos θ＝.又θ∈(0，π)，故θ∈， 所以sin θ＝＝ ＝， 故tan θ＝＝. (2)|x a－b|＝＝ ＝ ＝ 故當x＝時，|xa－b|取得最小值， 此時a(xa－b)＝xa2－ab＝9－31cos＝0，故向量a與xa－b垂直．