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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練七 第2講 概率、隨機(jī)變量及其分布 理 考情解讀　1.該部分?？純?nèi)容有幾何概型、古典概型、條件概率，而幾何概型常與平面幾何、定積分交匯命題，古典概型常與排列、組合交匯命題；?？純?nèi)容還有離散型隨機(jī)變量的分布列、期望(均值)、方差，常與相互獨(dú)立事件的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)交匯考查.2.從考查形式上來(lái)看，三種題型都有可能出現(xiàn)，選擇題、填空題突出考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，有時(shí)會(huì)在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題；解答題則著重考查知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查統(tǒng)計(jì)、古典概型、二項(xiàng)分布以及離散型隨機(jī)變量的分布列等，都屬于中、低檔題． 1．隨機(jī)事件的概率 (1)隨機(jī)事件的概率范圍：0≤P(A)≤1；必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0. (2)古典概型的概率 P(A)＝＝. (3)幾何概型的概率 P(A)＝. 2．條件概率 在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率： P(B|A)＝. 3．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 4．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 5．超幾何分布 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．超幾何分布的模型是不放回抽樣，超幾何分布中的參數(shù)是M，N，n. 6．離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi的概率為P(X＝xi)＝pi，則稱下表： X x1 x2 x3 … xi … xn P p1 p2 p3 … pi … pn 為離散型隨機(jī)變量X的分布列． (2)離散型隨機(jī)變量X的分布列具有兩個(gè)性質(zhì)：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1,2,3，…，n)． (3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望)． D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2pi＋…＋(xn－E(X))2pn叫做隨機(jī)變量X的方差． (4)性質(zhì) ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)； ②X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； ③X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 7．正態(tài)分布 若X～N(μ，σ2)，則正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率 ①P(μ－σp2，E(ξ1)E(ξ2) C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p10，所以p1>p2. 押題精練 1．有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出4個(gè)，則取出球的編號(hào)互不相同的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出4個(gè)，有C＝210種不同的結(jié)果，由于是隨機(jī)取出的，所以每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的；設(shè)事件A為“取出球的編號(hào)互不相同，” 則事件A包含了CCCCC＝80個(gè)基本事件， 所以P(A)＝＝. 2．箱中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)球．從箱中一次摸出兩個(gè)球，記下號(hào)碼并放回，如果兩球號(hào)碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng)．現(xiàn)有4人參與摸獎(jiǎng)(每人一次)，則恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由題意得任取兩球有C種情況，取出兩球號(hào)碼之積是4的倍數(shù)的情況為(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6種情況，故每人摸球一次中獎(jiǎng)的概率為＝，故4人中有3人中獎(jiǎng)的概率為C()3＝.故選B. 3．甲乙兩支球隊(duì)進(jìn)行總決賽，比賽采用七場(chǎng)四勝制，即若有一隊(duì)先勝四場(chǎng)，則此隊(duì)為總冠軍，比賽結(jié)束．因兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，每場(chǎng)比賽兩隊(duì)獲勝的可能性均為.據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，第一場(chǎng)比賽可獲得門票收入40萬(wàn)元，以后每場(chǎng)比賽門票收入比上一場(chǎng)增加10萬(wàn)元． (1)求總決賽中獲得門票總收入恰好為300萬(wàn)元的概率； (2)設(shè)總決賽中獲得的門票總收入為X，求X的均值E(X)． 解　(1)依題意，每場(chǎng)比賽獲得的門票收入組成首項(xiàng)為40，公差為10的等差數(shù)列． 設(shè)此數(shù)列為{an}，則易知a1＝40，an＝10n＋30，∴Sn＝＝300. 解得n＝－12(舍去)或n＝5，∴總決賽共比賽了5場(chǎng)． 則前4場(chǎng)比賽的比分必為1∶3，且第5場(chǎng)比賽為領(lǐng)先的球隊(duì)獲勝，其概率為 C()4＝. (2)隨機(jī)變量X可取的值為S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490. 又P(X＝220)＝2()4＝， P(X＝300)＝C()4＝， P(X＝390)＝C()5＝，P(X＝490)＝C()6＝. 所以，X的分布列為 X 220 300 390 490 P 所以X的均值為E(X)＝220＋300＋390＋490＝377.5(萬(wàn)元)． (推薦時(shí)間：50分鐘) 一、選擇題 1．(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)的情況有24＝16(種)，其中僅在周六(周日)參加的各有1種，∴所求概率為1－＝. 2．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠ABC＝150，若在菱形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離大于1的概率為(　　) A. B．1－ C. D．1－ 答案　D 解析　P＝＝1－. 3．已知Ω＝{(x，y)|}，直線y＝mx＋2m和曲線y＝有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，它們圍成的平面區(qū)域?yàn)镸，向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)A，點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P(M)，若P(M)∈[，1]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　) A．[，1] B．[0，] C．[，1] D．[0,1] 答案　D 解析　如圖，由題意得m≥0，根據(jù)幾何概型的意義， 知P(M)＝＝， 又P(M)∈[，1]， 所以S弓形∈[π－2,2π]．故0≤m≤1. 4．已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　設(shè)事件A為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”， 則P(A)＝，P(AB)＝＝. 則所求概率為P(B|A)＝＝＝. 5．將三個(gè)骰子各擲一次，設(shè)事件A為“三個(gè)骰子擲出的點(diǎn)數(shù)都不同”，事件B為“至少有一個(gè)骰子擲出3點(diǎn)”，則條件概率P(A|B)，P(B|A)分別是(　　) A.， B.， C.， D.， 答案　A 解析　根據(jù)條件概率的含義，P(A|B)的含義為在B發(fā)生的情況下，A發(fā)生的概率，即在“至少有一個(gè)骰子擲出3點(diǎn)”的情況下，“三個(gè)骰子擲出的點(diǎn)數(shù)都不同”的概率．因?yàn)椤爸辽儆幸粋€(gè)骰子擲出3點(diǎn)”的情況共有666－555＝91(種)，“三個(gè)骰子擲出的點(diǎn)數(shù)都不相同且只有一個(gè)3點(diǎn)”的情況共有C54＝60(種)， 所以P(A|B)＝. P(B|A)的含義為在A發(fā)生的情況下，B發(fā)生的概率，即在“三個(gè)骰子擲出的點(diǎn)數(shù)都不同”的情況下，“至少有一個(gè)骰子擲出3點(diǎn)”的概率，所以P(B|A)＝＝，故選A. 6．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ>c)＝P(ξc)＝P(ξ

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