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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（答案不全） 2．已知且，則的值為（ ）． 　A．　　　 　 B．　　　　　 C．　 　　 　 D． 3．已知為空間兩兩垂直的單位向量，則（ ）． A． B. C．D． 4．以雙曲線的左頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）． A．B． C． D． 5．已知的圖象如圖所示，則下列數(shù)值按從小到大的排列順序正確的是（ ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 6．在三棱柱中，分別是中點(diǎn)，設(shè) 則=（ ）． A． B． C． 　 D． 7. 在長方體中，和與底面所成角分別為和，，則到截面的距離為 （ ）． A． B． C． D． 8. 在平行六面體中，底面是矩形， 則=（ ）． A. B. C. D. 9．已知在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果且的重心恰好是此拋物線的焦點(diǎn),則直線的方程是（ ）． A. B. C. D. 10.若函數(shù)在是增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）． A． B． C． D． 11.已知為等邊三角形，橢圓與雙曲線均以為焦點(diǎn)，且都經(jīng)過線段的中點(diǎn)，則橢圓與雙曲線的離心率之積為（ ）． A． B． C． D． 12.過橢圓的右頂點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,與軸的交點(diǎn)為,若則橢圓的離心率為（ ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非選擇題，共90分） 二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案填在答題紙的橫線上，填在試卷上的答案無效. 13．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線方程為，則= ． 14．已知雙曲線離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)到較近的焦點(diǎn)的距離為，則該雙曲線的漸近線方程為 ． 15．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 ． 16．已知在定義域是偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)有則的解集為 ． 三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟. 17．（本小題滿分10分） 已知 （Ⅰ）求與方向相同的單位向量； （Ⅱ）若與單位向量垂直，求 18．（本小題滿分12分） 如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形， ，為的中點(diǎn)． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 19． （本小題滿分12分） 如圖，四棱錐中，底面是矩形， 底面，， 點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上移動(dòng). （Ⅰ）點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，試判斷與平面的位置關(guān)系，并說明理由； （Ⅱ）證明：無論點(diǎn)在邊的何處，都有； （Ⅲ）當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí)，與平面所成角的大小為． 20． （本小題滿分12分） 設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值． 21．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)（是常數(shù)）在處的切線斜率為-1． （Ⅰ）求函數(shù)的極值； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明． 22． （本小題滿分12分) 已知點(diǎn)為圓的圓心，是圓上的動(dòng)點(diǎn)， 點(diǎn)在圓的半徑上，且有點(diǎn)和上的點(diǎn)， 滿足． （Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程； （Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．  18. 證明： （Ⅰ）由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而．所以為直角三角形，．又．所以平面． （Ⅱ）解法一： 取中點(diǎn)，連結(jié)，由（Ⅰ）知，得． 為二面角的平面角． 由得平面． 所以，又， 故．所以二面角的余弦值為． 解法二： 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)，則． 的中點(diǎn)， ． ． 故等于二面角的平面角． ， 所以二面角的余弦值為． 19.(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，∥平面. 因?yàn)樵谥?，分別為的中點(diǎn)， 所以∥，又平面，而平面，所以，∥平面 （Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)則(Ⅲ)設(shè)平面的法向量為，由得， 而，依題意與平面所成角為，所以，所以 得故時(shí)，與平面所成角為 20.函數(shù)的定義域?yàn)椤?分 ，………………………………4分 當(dāng)時(shí)，解得或；………………5分 當(dāng)時(shí)，解得………………………………6分 所以函數(shù)在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)…………8分 （Ⅱ）因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以……………………12分 21. ，因?yàn)?，所以，? （Ⅰ），當(dāng)時(shí) 的變化，引起的變化情況如下表 - 0 + 極小值 （如果不列表，需先解導(dǎo)數(shù)值正負(fù)的不等式，得出的取值范圍，得出單調(diào)性，再得極值也可） （Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知，，即 所以. 令，所以，即在上是增函數(shù) 所以，即 法二：，，令，所以 ，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以 ，所以，即在上是增函數(shù)，所以，即 22.（Ⅰ）由題意知是線段的垂直平分線，于是 所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，且，所以 故點(diǎn)的軌跡方程是： （Ⅱ）由已知知直線的斜率必存在，設(shè)直線的方程為：，將其代入橢圓方程