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2019年高考數(shù)學大一輪總復習 9.1 直線方程高效作業(yè) 理 新人教A版 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分，在下列四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．若與直線3x－y＋1＝0垂直的直線的傾斜角為α，則cosα的值是(　　) A．3　　　 B．－　　　 C.　　　 D．－ 解析：與直線3x－y＋1＝0垂直的直線的斜率為－，即tanα＝－，所以＝－，又sin2α＋cos2α＝1，且α∈，所以cosα＝－. 答案：D 2．已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1 解析：由題意得a＋2＝，解得a＝－2或a＝1. 答案：D 3．過點A(0,2)且傾斜角的正弦值是的直線方程為(　　) A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋4y＋10＝0 D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0 解析：設所求直線的傾斜角為α，則sinα＝，∴tanα＝，∴所求直線方程為y＝x＋2，即為3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0. 答案：D 4．已知點A(1，－2)，B(m,2)，且線段AB的垂直平分線的方程是x＋2y－2＝0，則實數(shù)m的值是(　　) A．－2 B．－7 C．3 D．1 解析：線段AB的中點代入直線x＋2y－2＝0中，得m＝3. 答案：C 5．已知A(7,1)，B(1,4)，直線y＝ax與線段AB交于點C，且＝2，則a等于(　　) A．2 B．1 C. D. 解析：設點C(x，y)，由于＝2， 所以(x－7，y－1)＝2(1－x,4－y)， 所以有? 又點C在直線y＝ax上，所以有3＝a，a＝2. 答案：A 6．設A、B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是(　　) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0 解析：易知A(－1,0)，∵|PA|＝|PB|， ∴P在AB的中垂線即x＝2上，∴B(5,0)． ∵PA、PB關于直線x＝2對稱， ∴kPB＝－1，∴l(xiāng)PB：y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0. 答案：A 二、填空題(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上) 7．若直線l的斜率為k，傾斜角為α，而α∈∪，則k的取值范圍是________． 解析：∵k＝tanα在和上都是增函數(shù)， ∴k∈∪[－，0)． 答案：[－，0)∪ 8．直線l：xsinα－y＋1＝0(α∈R)，則其傾斜角θ的取值范圍是________． 解析：由題設得k＝sinα∈[－1,1]，于是k＝tanθ∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，∴θ∪. 答案：∪ 9．在平面直角坐標系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)兩點，若點C在∠AOB的平分線上，且||＝，則點C的坐標是________． 解析：設C(a，b)(a<0，b<0)．OB所在直線方程為4x－3y＝0，則解得 ∴C(－1，－3)． 答案：(－1，－3) 10．(xx鄭州質(zhì)檢)與直線3x＋4y＋12＝0平行，且與坐標軸構(gòu)成的三角形的面積是24的直線l的方程是________． 解析：設直線l的方程為3x＋4y＝a(a≠0)， 則直線l與兩坐標軸的交點分別為(，0)，(0，)， ∴||||＝24，解得a＝24. ∴直線l的方程為3x＋4y＝24. 答案：3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0 三、解答題(本大題共3小題，共40分，11、12題各13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟) 11．(xx開封二模)已知直線：l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)證明：直線l過定點； (2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍； (3)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程． 解：(1)證明：法一：直線l的方程可化為y＝k(x＋2)＋1， 故無論k取何值，直線l總過定點(－2,1)． 法二：設直線過定點(x0，y0)，則kx0－y0＋1＋2k＝0對任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立， 所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0， 解得x0＝－2，y0＝1，故直線l總過定點(－2,1)． (2)直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1， 要使直線l不經(jīng)過第四象限，則 解得k的取值范圍是k≥0. (3)依題意，直線l在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k， ∴A(－，0)，B(0,1＋2k) 又－＜0且1＋2k＞0，∴k＞0，故S＝|OA||OB|＝(1＋2k) ＝(4k＋＋4)≥(4＋4)＝4， 當且僅當4k＝，即k＝時，取等號， 故S的最小值為4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0. 12．(xx長春外國語學校月考)已知兩直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4(0＜a＜2)與兩坐標軸的正半軸圍成四邊形．當a為何值時，圍成的四邊形面積取最小值，并求最小值． 解：兩直線l1：a(x－2)＝2(y－2)，l2：2(x－2)＝－a2(y－2)，都過點(2,2)，如圖． 設兩直線l1，l2 的交點為C，且它們的斜率分別為k1和k2，則k1＝∈(0,1)， k2＝－∈(－∞，－)． ∵直線l1與y軸的交點A 的坐標為(0,2－a)，直線l2與x軸的交點B的坐標為(2＋a2,0)． ∴S四邊形OACB＝S△OAC＋S△OCB ＝(2－a)2＋(2＋a2)2 ＝a2－a＋4＝(a－)2＋. ∴當a＝時，四邊形OACB的面積最小，其值為. 13．(xx北京東城高三綜合練習)已知O為平面直角坐標系的原點，過點M(－2,0)的直線l與圓x2＋y2＝1交于P，Q兩點． (1)若＝－，求直線l的方程； (2)若△OMP與△OPQ的面積相等，求直線l的斜率． 解：(1)依題意，直線l的斜率存在，則可設直線l的斜率為k. 因為直線l過點M(－2,0)，可設直線l：y＝k(x＋2)． 因為P，Q兩點在圓x2＋y2＝1上，所以||＝||＝1. 又因為＝－， 所以＝||||cos∠POQ＝－. 所以∠POQ＝120.所以O到直線l的距離等于. 所以＝，得k＝. 所以直線l的方程為x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0. (2)因為△OMP與△OPQ的面積相等，所以＝2， 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 所以＝(x2＋2，y2)，＝(x1＋2，y1)． 所以即(*) 因為P，Q兩點在圓上，所以 把(*)代入得所以 故直線l的斜率k＝kMP＝，即k＝.