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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 典例解析 回歸分析 北師大版選修2-3 1. 命題預(yù)測 回歸分析的基本思想及初步應(yīng)用是新課標(biāo)中的新增內(nèi)容，主要是通過案例體會運用統(tǒng)計方法解決實際問題的思想和方法。但由于運算復(fù)雜，出解答題的可能性不大，出現(xiàn)選擇題或填空題形式的題目可能性較大。 2. 經(jīng)典例析 2.1概念理解客觀題 例1對有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量建立的回歸直線方程= 中，回歸系數(shù) （ ） A.可以小于0 B.大于0 C.能等于0 D.只能小于0 簡析：∵= 0 時，則相關(guān)指數(shù)= 0 ，此時不具有線性相關(guān)關(guān)系，但 可以大于0也可以小于0 . 故答案選A 例2（xx年青島質(zhì)檢）已知、之間的數(shù)據(jù)如下表所示，則與之間的線性的回歸方程過點 1.08 1.12 1.19 1.28 2.25 2.37 2.40 2.55 A.（0 ，0） B.（，0） C.（0 ，） D.（，） 簡析：回歸直線一定過樣本點的中心 （，），故答案選D 例3 工人月工資（元）依勞動生產(chǎn)率（千元）變化的回歸方程= 50+80，下列判斷正確的個數(shù)是（ ） ①勞動生產(chǎn)率為1000元時，工資為130元； ②勞動生產(chǎn)率提高1000元，則工資提高80元； ③勞動生產(chǎn)率提高1000元，則工資提高130元； ④當(dāng)月工資為210元時，勞動生產(chǎn)率為xx元。 A.1 B.2 C.3 D.4 簡析：本題考查線性回歸直線方程，根據(jù)線性回歸直線方程可獲得對于兩個變量之間整體關(guān)系的了解，根據(jù)線性回歸直線方程，可以求出相應(yīng)于的估計值；本題回歸直線的斜率為80 ，故每增加1 ，增加80 ，即勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資提高80元。由此可得①②④正確，故答案選C. 還應(yīng)注意回歸直線方程= 中的正負(fù)，請看例4： 例4 設(shè)有一個回歸方程為= 2 - 2.5，則變量增加一個單位時，則 A. 平均增加2.5個單位； B.平均增加2個單位； C.平均減少2.5個單位； D.平均減少2個單位 簡析：斜率的估計值是 - 2.5 ，即變量每增加一個單位時，平均減少2.5個單位，故答案為C. 例5 對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（ ，），（ ，），… ，（ ，），其回歸方程中的截距為（ ） A. = - B. = - C. = - - D. = - 簡析：本題考查回歸方程中的截距公式 = - ，∴選D. 2.2回歸分析客觀題 例6 若施化肥量與小麥產(chǎn)量之間的回歸直線方程為= 250 + 4，當(dāng)施化肥量50kg時，預(yù)計小麥產(chǎn)量為__________. 簡析：把= 50kg 代入= 250 + 4，即可求得= 450 ，∴預(yù)計小麥產(chǎn)量為450 kg. 例7 用身高（cm）預(yù)報體重（kg）滿足= 0.849- 85.712，若要找到41.638 kg的人，__________是在150cm中（填“一定”或“不一定”）。 簡析： ∵統(tǒng)計的方法是可能犯錯誤的，利用線性回歸方程預(yù)報變量的值不是精確值。但一般認(rèn)為實際測量值應(yīng)在預(yù)報值左右?！嗖灰欢? 例8 下面是一個列聯(lián)表： 總計 21 73 2 25 27 總計 46 100 則表中、處的值分別為（ ） A. 94、96 B. 52、50 C. 52、54 D. 54、52 簡析：∵ + 21 = 73 ，∴ = 52 ，又∵ + 2 = ，∴ = 54 ，∴選C. 2.3相關(guān)關(guān)系客觀題 例9 下列變量是線性相關(guān)的是（ ） A.人的身高與視力 B.角的大小與所對的圓弧長 C.收入水平與納稅水平 D.人的年齡與身高 解析：C 其中為B確定性關(guān)系，A、D不具有線性關(guān)系. 例10 有下列關(guān)系： ①人的年齡與其擁有的財富之間的關(guān)系；②曲線上的點與該點的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一樹木，其橫截面直徑與高度之間的關(guān)系；⑤學(xué)生與其學(xué)號之間的關(guān)系，其中有相關(guān)關(guān)系的是_____________. 簡析：顯然，②⑤為確定性關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系，①③④是相關(guān)關(guān)系，∴答案為①③④. 評注：弄清相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別是解決此類問題的關(guān)鍵：相關(guān)關(guān)系是不確定性關(guān)系的描述；而函數(shù)關(guān)系則是確定性關(guān)系的描述。 2.4回歸方程客觀題 例11 在一次實驗中，測得（ ，）的四組值分別是A（1 ，2），B（2 ，3），C（3 ，4），D（4 ，5），則與之間的回歸直線方程是（ ） A. B. C. D. 簡析： ∵A、B、C、D四點共線，都在直線= + 1 上，∴答案為A. 例12 兩個相關(guān)變量滿足如下關(guān)系： 10 15 20 25 30 1003 1005 1010 1011 1014 兩變量的回歸直線方程為（ ） A. B. C. D. 簡析：利用公式= ， = - ≈ 997.4 ∴回歸直線方程為 ，∴答案為A. 2.5實際應(yīng)用解答題 例13 某企業(yè)的某種產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本數(shù)據(jù)如下： 月份 1 2 3 4 5 6 產(chǎn)量（千件） 2 3 4 3 4 5 單位成本（元/件） 73 72 71 73 69 68 ⑴試確定回歸直線； ⑵指出產(chǎn)量每增加1000件時，單位成本下降多少？ ⑶假定產(chǎn)量為6000件時，單位成本是多少？單位成本為70元時，產(chǎn)量應(yīng)為多少件？ 簡析：⑴設(shè)表示每日產(chǎn)量（單位：件）， 表示單位成本（單位：元/ 件）作散點圖。 由右圖知與間呈線性相關(guān)關(guān)系， 設(shè)線性回歸方程為 =+， 由公式可求得= - 1.818 ， = 77.363 ， ∴線性回歸方程為= - 1.818+ 77.363 ； ⑵由線性回歸方程知，每增加1000件產(chǎn)量， 單位成本下降1.818元。 ⑶當(dāng)= 6000時，= - 1.8186000 + 77.363 = 66.455 ， 當(dāng)=70 時，70 = - 1.818+ 77.363 ，得= 4050件。 例14 某企業(yè)為了更好地了解設(shè)備改造前后與生產(chǎn)合格品的關(guān)系，隨機(jī)抽取了180件產(chǎn)品進(jìn)行分析。其中設(shè)備改造前生產(chǎn)的合格品有36件，不合格品有49件；設(shè)備改造后生產(chǎn)的合格品有65件，不合格品有30件，根據(jù)上面的數(shù)據(jù)判斷，產(chǎn)品是否合格與設(shè)備改造有沒有關(guān)系？ 簡析：由已知數(shù)據(jù)得到下表： 合格品 不合格品 合計 設(shè)備改造后 65 30 95 設(shè)備改造前 36 49 85 合計 101 79 180 根據(jù)公式 ≈12.38 ∵12.38 ＞ 10.828 ，∴可以得出產(chǎn)品是否合格與設(shè)備改造是有關(guān)系的。