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2019-2020年高二數(shù)學上學期期末考試試題 文（含解析） 請點擊修改第I卷的文字說明 評卷人 得分 一、選擇題（題型注釋） 1．在正方體中任取兩條棱，則這兩條棱為異面直線的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】 試題分析：從正方體的12條棱中，任取兩條棱，有種不同的方法，因為與已知棱成異面直線的有4條，所以共有對異面直線，則這兩條棱為異面直線的概率. 考點：古典概型. 2．某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生,將他們的模塊測試成績分為6組:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知高一年級共有學生600名,據(jù)此估計,該模塊測試成績不少于60分的學生人數(shù)為（　?。? A．588 B．480 C．450 D．120 【答案】B. 【解析】 試題分析：由頻率分布直方圖可知， 該模塊測試成績不少于60分的頻率為， 所以該模塊測試成績不少于60分的學生人數(shù)為. 考點：頻率分布直方圖. 3．.（　?。? A． B． C．1 D． 【答案】A. 【解析】 試題分析：由，可得 . 考點：二項式定理. 4．若直線與曲線有且僅有三個交點，則的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】 試題分析：由題意得，曲線C是由橢圓上半部分和雙曲線上半部分組成，且雙曲線的漸近線方程為，與直線平行；當直線過右頂點時，直線與曲線C有兩個交點，此時，；當直線與橢圓相切時，直線與曲線C有兩個交點，此時；由圖像可知，時，直線與曲線C有三個交點. 考點：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系. 5．一個圓柱形的罐子半徑是4米，高是9米，將其平放，并在其中注入深2米的水，截面如圖所示，水的體積是（ ）平方米. A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】 試題分析：所求幾何體的體積為陰影部分的面積與高的乘積，在中，,則, ,體積. 考點：組合體的體積. 6．某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生,將他們的模塊測試成績分為6組:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知高一年級共有學生600名,據(jù)此估計,該模塊測試成績不少于60分的學生人數(shù)為（　　） A．588 B．480 C．450 D．120 【答案】B. 【解析】 試題分析：由頻率分布直方圖可知， 該模塊測試成績不少于60分的頻率為， 所以該模塊測試成績不少于60分的學生人數(shù)為. 考點：頻率分布直方圖. 7．使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的為 （　?。? A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】 試題分析：的展開式的通項為，令，則,所以的最小值為5. 考點：二項式定理. 8．若直線與曲線有且僅有三個交點，則的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】 試題分析：由題意得，曲線C是由橢圓上半部分和雙曲線上半部分組成，且雙曲線的漸近線方程為，與直線平行；當直線過右頂點時，直線與曲線C有兩個交點，此時，；當直線與橢圓相切時，直線與曲線C有兩個交點，此時；由圖像可知，時，直線與曲線C有三個交點. 考點：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.  第II卷（非選擇題） 請點擊修改第II卷的文字說明 評卷人 得分 二、填空題（題型注釋） 9．過點、的直線的斜率為______________． 【答案】2. 【解析】 試題分析：由斜率公式得：. 考點：直線的斜率公式. 10．若是虛數(shù)單位，復數(shù)滿足,則的虛部為_________． 【答案】. 【解析】 試題分析：，，則的虛部為. 考點：復數(shù)的除法. 11．正四面體的所有棱長都為2，則它的體積為________． 【答案】. 【解析】 試題分析:過作，則是的中心，連接, 則,, 在中，, 所以. 考點：多面體的體積. 12．以為圓心且過原點的圓的方程為_____________． 【答案】. 【解析】 試題分析：由題意，得所求圓的半徑，則所求圓的標準方程為. 考點：圓的標準方程. 13．某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為__________． 【答案】. 【解析】 試題分析：由三視圖可知，該幾何體是一個側(cè)放的圓柱，底面半徑為1，高為5；則該幾何體的體積 . 考點：三視圖、圓柱的體積. 14．已知圓錐的高與底面半徑相等，則它的側(cè)面積與底面積的比為________． 【答案】. 【解析】 試題分析：設(shè)圓錐的底面半徑和高為，則其母線長；所以圓錐的側(cè)面積， 底面面積，則它的側(cè)面積與底面積的比為. 考點：圓錐的側(cè)面積公式. 15．正方體中，二面角的大小為__________． 【答案】. 【解析】 試題分析：二面角,即半平面與所成的圖形，交線為,易知,所以是二面角的平面角，且，即二面角的大小為. 考點：二面角的平面角. 16．雙曲線的頂點到其漸近線的距離等于_________． 【答案】. 【解析】 試題分析：雙曲線的頂點為，漸近線方程為，即；則頂點到其漸近線的距離為. 考點：雙曲線的性質(zhì)、點到直線的距離公式. 17．已知球的半徑為1，、是球面上兩點，線段的長度為，則、兩點的球面距離為 ________． 【答案】. 【解析】 試題分析：設(shè)球心為O,連接,則是等腰三角形，且, 則,所以、兩點的球面距離為. 考點：兩點的球面距離. 18．在長方體中，已知，為的中點，則直線與 平面的距離是___________． 【答案】9. 【解析】 試題分析：過作，因為，所以， 則，的長度即為直線與平面的距離； 在中，，； 在中，，， ，即直線與平面的距離為9. 考點：直線到平面的距離. 19．從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災醫(yī)療小組,則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有人的選派方法種數(shù)是___________(用數(shù)字作答)． 【答案】590. 【解析】 試題分析：骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有人的選派方法可分以下幾類： 3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 1名骨科、1名腦外科和3名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 2名骨科、2名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 1名骨科、2名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 2名骨科、1名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 由分類加法計數(shù)原理得，共有種. 考點：組合. 20．已知橢圓的右焦點為,過點的直線交橢圓于兩點.若 的中點坐標為,則的方程為_________________． 【答案】. 【解析】 試題分析：設(shè)，則，兩式相減， 得，又因為的中點為，且斜率， 所以，又，所以的方程為. 考點：點差法. 21．設(shè)實數(shù)滿足則的最大值為____________. 【答案】. 【解析】 試題分析：：畫出不等式組表示的可行域和目標函數(shù)基準直線（如圖）；設(shè)，則，當直線經(jīng)過A點時，最小，即最大；聯(lián)立，得,此時. 考點：簡單的線性規(guī)劃. 22．在棱長為1的正方體盒子里有一只蒼蠅，蒼蠅為了緩解它的無聊，決定要考察這個盒子的每一個角，它從一個角出發(fā)并回到原處，并且每個角恰好經(jīng)過一次，為了從一個角到另一個角，它或直線飛行，或者直線爬行，蒼蠅的路徑最長是____________．（蒼蠅的體積不計） 【答案】. 【解析】 試題分析：根據(jù)題意，蒼蠅需要8次完成，有兩種方法：方法一：每次都到達相鄰頂點，需經(jīng)過8條棱，總路徑長為8；方法二：每次到達不相鄰的頂點，需爬行4次（面對角線），飛行4次（體對角線），總路徑長是；又，所以蒼蠅的路徑最長是. 考點：正方體的面對角線與體對角線. 23．過點、的直線的斜率為______________． 【答案】2. 【解析】 試題分析：由斜率公式得：. 考點：直線的斜率公式. 24．若是虛數(shù)單位，復數(shù)滿足,則的虛部為_________． 【答案】. 【解析】 試題分析：，，則的虛部為. 考點：復數(shù)的除法. 25．正四面體的所有棱長都為2，則它的體積為________． 【答案】. 【解析】 試題分析:過作，則是的中心，連接, 則,, 在中，, 所以. 考點：多面體的體積. 26．以為圓心且過原點的圓的方程為_____________． 【答案】. 【解析】 試題分析：由題意，得所求圓的半徑，則所求圓的標準方程為. 考點：圓的標準方程. 27．從一副52張撲克牌中第一張抽到“”，重新放回，第二張抽到一張有人頭的牌，則這兩個事件都發(fā)生的概率為________． 【答案】. 【解析】 試題分析：從一副52張撲克牌中第一張抽到“”，記為事件A,則;重新放回，第二張抽到一張有人頭的牌,記為事件B,則;且事件A與事件B相互獨立；則則這兩個事件都發(fā)生的概率為. 考點：古典概型. 28．已知圓錐的高與底面半徑相等，則它的側(cè)面積與底面積的比為________． 【答案】. 【解析】 試題分析：設(shè)圓錐的底面半徑和高為，則其母線長；所以圓錐的側(cè)面積， 底面面積，則它的側(cè)面積與底面積的比為. 考點：圓錐的側(cè)面積公式. 29．正方體中，二面角的大小為__________． 【答案】. 【解析】 試題分析：二面角,即半平面與所成的圖形，交線為,易知,所以是二面角的平面角，且，即二面角的大小為. 考點：二面角的平面角. 30．雙曲線的頂點到其漸近線的距離等于_________． 【答案】. 【解析】 試題分析：雙曲線的頂點為，漸近線方程為，即；則頂點到其漸近線的距離為. 考點：雙曲線的性質(zhì)、點到直線的距離公式. 31．某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則__________． 【答案】4. 【解析】 試題分析：由題意，得， 化簡，得，解得或，則. 考點：均值、方差公式. 32．在長方體中，已知，為的中點，則直線與平面的距離是___________． 【答案】9. 【解析】 試題分析：過作，因為，所以， 則，的長度即為直線與平面的距離； 在中，，； 在中，，， ，即直線與平面的距離為9. 考點：直線到平面的距離. 33．棱長為1的正方體的8個頂點都在球面的表面上，、分別是棱、的中點，則直線被球截得的線段長為________． 【答案】. 【解析】 試題分析：因為棱長為1的正方體的8個頂點都在球面的表面上，所以該球的半徑，球心到直線的距離，則直線被球截得的線段長為. 考點：多面體與球的組合體. 34．從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災醫(yī)療小組,則骨科、腦外 科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有人的選派方法種數(shù)是___________．(用數(shù)字作答) 【答案】590. 【解析】 試題分析：骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有人的選派方法可分以下幾類： 3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 1名骨科、1名腦外科和3名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 2名骨科、2名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 1名骨科、2名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 2名骨科、1名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生，有種； 由分類加法計數(shù)原理得，共有種. 考點：組合. 35．在棱長為1的正方體盒子里有一只蒼蠅，蒼蠅為了緩解它的無聊，決定要考察這個盒子的每一個角，它從一個角出發(fā)并回到原處，并且每個角恰好經(jīng)過一次，為了從一個角到另一個角，它或直線飛行，或者直線爬行，蒼蠅的路徑最長是____________．（蒼蠅的體積不計） 【答案】. 【解析】 試題分析：根據(jù)題意，蒼蠅需要8次完成，有兩種方法：方法一：每次都到達相鄰頂點，需經(jīng)過8條棱，總路徑長為8；方法二：每次到達不相鄰的頂點，需爬行4次（面對角線），飛行4次（體對角線），總路徑長是；又，所以蒼蠅的路徑最長是. 考點：正方體的面對角線與體對角線. 36．設(shè)焦點是、的雙曲線在第一象限內(nèi)的部分記為曲線，若點都在曲線上，記點到直線的距離為,又已知，則常數(shù)___________． 【答案】. 【解析】 試題分析：因為雙曲線的焦點為,所以雙曲線的標準方程可設(shè)為，且；因為雙曲線上的點到直線的距離為存在極限，所以直線與雙曲線的漸近線平行，即，所以漸近線方程為；又因為，所以直線與雙曲線的漸近線的距離為，即. 考點：雙曲線的幾何性質(zhì). 評卷人 得分 三、解答題（題型注釋） 37．求的二項展開式中的第5項的二項式系數(shù)和系數(shù). 【答案】． 【解析】 試題分析： 解題思路：利用二項式定理的通項公式寫出，再求出二項式系數(shù)與系數(shù). 規(guī)律總結(jié)：涉及求二項展開式的二項式系數(shù)或系數(shù)或特定項時，往往先寫出二項式的通項公式，再進行求解. 注意點：要正確區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)：二項式系數(shù)僅是一個組合數(shù)，系數(shù)是未知數(shù)的系數(shù). 試題解析：， 所以二項式系數(shù)為，系數(shù)為. 考點：二項式定理. 38．求半徑為10，且與直線相切于的圓的方程. 【答案】或 【解析】 試題分析： 解題思路：設(shè)出所求圓的圓心坐標，根據(jù)題意可得，進而求出圓的標準方程. 規(guī)律總結(jié)：直線圓的位置關(guān)系，主要涉及直線與圓相切、相交、相離，在解決直線圓的位置關(guān)系時，要注意結(jié)合初中平面幾何中的直線與圓的知識. 試題解析：設(shè)圓心為，則由題意得 解得或 所以所求圓的方程為或 考點：直線與圓的位置關(guān)系. 39．已知橢圓上存在兩點、關(guān)于直線對稱，求的取值范圍. 【答案】． 【解析】 試題分析： 解題思路：利用直線與直線垂直，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，整理成關(guān)于的一元二次方程，利用中點公式和判別式求出的范圍. 規(guī)律總結(jié)：涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問題，往往采用“設(shè)而不求”的方法進行求解.. 試題解析：設(shè)直線方程為，聯(lián)立 得 從而 則中點是， 則解得 由有實數(shù)解得即 于是則的取值范圍是. 考點：1.直線與橢圓的位置關(guān)系；2.對稱問題. 40．如圖，四棱柱中, 側(cè)棱底面，，，，為棱的中點. E D1 C1 B1 A1 D C B A (1)證明：； (2)求異面直線與所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示） 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】 試題分析： 解題思路：（1）利用勾股定理證明垂直；（2）作出平行線，構(gòu)造異面直線所成的角，再利用三角形進行求角. 規(guī)律總結(jié)：對于空間幾何體中的垂直、平行關(guān)系的判定，要牢牢記住并靈活進行轉(zhuǎn)化，線線關(guān)系是關(guān)鍵；涉及空間中的求角問題，往往利用角的定義作出輔助線，轉(zhuǎn)化為平面中的線線角. 試題解析：（1）證明：連結(jié).在中，即，所以又因為，所以； 解：取的中點為，連結(jié).又因為為中點，則所以即為異面直線與所成角. 在中，，所以為直角三角形，.所以異面直線與所成角為 考點：1.直線的垂直關(guān)系的證明；2.直線與平面所成的角的求法. 41．下圖是利用計算機作圖軟件在直角坐標平面上繪制的一列拋物線和一列直線，在焦點為的拋物線列中，是首項和公比都為的等比數(shù)列，過作斜率2的直線與相交于和（在軸的上方，在軸的下方）. 證明：的斜率是定值； 求、、、、所在直線的方程； 記的面積為，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求所有這些三角形的面積的和. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 試題分析： 解題思路：（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，整理成關(guān)于，的方程，進而求出的斜率；（2）利用直線的點斜式方程寫出直線方程即可；（3）聯(lián)立直線與拋物線方程，求弦長與點到直線的距離，進而求三角形的面積. 規(guī)律總結(jié)：錐曲線的問題一般都有這樣的特點：第一小題是基本的求方程問題，一般簡單的利用定義和性質(zhì)即可；后面幾個小題一般來說綜合性較強，用到的內(nèi)容較多，大多數(shù)需要整體把握問題并且一般來說計算量很大，學生遇到這種問題就很棘手，有放棄的想法,所以處理這類問題一定要有耐心.. 試題解析：（1）由已知得，拋物線焦點，拋物線方程為，直線的方程為于是，拋物線與直線在軸上方的交點的坐標滿足則有 而直線的斜率為，則解得 又點在第一象限，則； 直線方程為； 由得則， 而到直線的距離為， 于是的面積， 所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.由于， 所以所有三角形面積和為. 考點：1.直線的方程；2.直線與拋物線的位置關(guān)系. 42．求的二項展開式中的第5項的二項式系數(shù)和系數(shù). 【答案】． 【解析】 試題分析： 解題思路：利用二項式定理的通項公式寫出，再求出二項式系數(shù)與系數(shù). 規(guī)律總結(jié)：涉及求二項展開式的二項式系數(shù)或系數(shù)或特定項時，往往先寫出二項式的通項公式，再進行求解. 注意點：要正確區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)：二項式系數(shù)僅是一個組合數(shù)，系數(shù)是未知數(shù)的系數(shù). 試題解析：， 所以二項式系數(shù)為，系數(shù)為. 考點：二項式定理. 43．某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定:在一次摸獎中,摸獎?wù)邚难b有個紅球、個藍球、6個白球的袋中任意摸出4個球.根據(jù)摸出個球中紅球與藍球的個數(shù),設(shè)一、二、三等獎如下: 獎級 摸出紅、藍球個數(shù) 獲獎金額 一等獎 3紅1藍 200元 二等獎 3紅1白 50元 三等獎 2紅1藍或2紅2白 10元 其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級. (1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率； (2)求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額的分布列與期望. 【答案】（1）；（2）分布列見解析，． 【解析】 試題分析： 解題思路：(1)利用超幾何分布的概率公式求解即可；（2）寫出獲獎金額的所有可能取值，利用古典概型的概率公式求出各自概率，列出表格，即得分布列，再利用期望公式求其期望. 規(guī)律總結(jié)：以圖表給出的統(tǒng)計題目一般難度不大，主要考查頻率直方圖、莖葉圖、頻率分布表給出；抽樣方法要注意各自的特點；古典概型是一種重要的概率模型，其關(guān)鍵是正確列舉基本事件. 試題解析：（1）； （2） X 0 10 50 200 P(X) . 考點：1.超幾何分布；2.古典概型；3.隨機變量的分布列與期望. 44．已知橢圓上存在兩點、關(guān)于直線對稱，求的取值范圍. 【答案】． 【解析】 試題分析： 解題思路：利用直線與直線垂直，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，整理成關(guān)于的一元二次方程，利用中點公式和判別式求出的范圍. 規(guī)律總結(jié)：涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問題，往往采用“設(shè)而不求”的方法進行求解.. 試題解析：設(shè)直線方程為，聯(lián)立 得 從而 則中點是， 則解得 由有實數(shù)解得即 于是則的取值范圍是. 考點：1.直線與橢圓的位置關(guān)系；2.對稱問題. 45．如圖，四棱柱中, 側(cè)棱底面，，，，為棱的中點. E D1 C1 B1 A1 D C B A (1) 證明：； (2) 設(shè)點在線段上, 且直線與平面所成角的正弦值為, 求線段的長. 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】 試題分析： 解題思路：根據(jù)題意建立空間直角坐標系，寫點的坐標與有關(guān)向量，利用直線的方向向量的數(shù)量積為0證明兩直線垂直；利用線面角的公式列出關(guān)于的方程即可. 規(guī)律總結(jié)：證明平行或垂直問題，一般有兩個思路:①利用一個判定與性質(zhì)進行證明；②轉(zhuǎn)化為空間向量的平行與垂直進行證明；求角或距離問題，往往利用空間向量進行求解. 試題解析：以點為原點建立空間直角坐標系，依題意得， 證明：，于是，所以； 解：設(shè)有 .可取為平面的一個法向量. 設(shè)為直線與平面所成角，則 于是解得所以. 考點：1.直線的垂直關(guān)系的證明；2.直線與平面所成的角的求法. 46．下圖是利用計算機作圖軟件在直角坐標平面上繪制的一列拋物線和一列直線，在焦點為的拋物線列中，是首項和公比都為的等比數(shù)列，過作斜率2的直線與相交于和（在軸的上方，在軸的下方）. 證明：的斜率是定值； 求、、、、所在直線的方程； 記的面積為，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求所有這些三角形的面積的和. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 試題分析： 解題思路：（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，整理成關(guān)于，的方程，進而求出的斜率；（2）利用直線的點斜式方程寫出直線方程即可；（3）聯(lián)立直線與拋物線方程，求弦長與點到直線的距離，進而求三角形的面積. 規(guī)律總結(jié)：錐曲線的問題一般都有這樣的特點：第一小題是基本的求方程問題，一般簡單的利用定義和性質(zhì)即可；后面幾個小題一般來說綜合性較強，用到的內(nèi)容較多，大多數(shù)需要整體把握問題并且一般來說計算量很大，學生遇到這種問題就很棘手，有放棄的想法,所以處理這類問題一定要有耐心.. 試題解析：（1）由已知得，拋物線焦點，拋物線方程為，直線的方程為于是，拋物線與直線在軸上方的交點的坐標滿足則有 而直線的斜率為，則解得 又點在第一象限，則； 直線方程為； 由得則， 而到直線的距離為， 于是的面積， 所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.由于， 所以所有三角形面積和為. 考點：1.直線的方程；2.直線與拋物線的位置關(guān)系.