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7.4直接證明與間接證明,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),1.直接證明,成立,充分,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法.(1)反證法的定義:假設(shè)原命題(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明的證明方法.(2)用反證法證明的一般步驟:①反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立;②歸謬——根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推出矛盾為止;③結(jié)論——斷言假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立.,不成立,矛盾,原命題成立,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)綜合法的思維過(guò)程是由因?qū)Ч?逐步尋找已知的必要條件.()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.()(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定,推出矛盾.()(4)用反證法證明時(shí),推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾.()(5)常常用分析法尋找解題的思路與方法,用綜合法展現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程.()(6)證明不等式最合適的方法是分析法.(),√,,,,√,√,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2.命題“對(duì)于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的證明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”過(guò)程應(yīng)用了()A.分析法B.綜合法C.綜合法、分析法綜合使用D.間接證明法,B,解析:因?yàn)樽C明過(guò)程是“從左往右”,即由條件推出結(jié)論.故選B.,3.若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b<0,則()A.a,b都小于0B.a,b都大于0C.a,b中至少有一個(gè)大于0D.a,b中至少有一個(gè)小于0,D,解析:假設(shè)a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,則a+b≥0,這與a+b<0相矛盾,因此假設(shè)錯(cuò)誤,即a,b中至少有一個(gè)小于0.,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),4.用分析法證明不等式時(shí),最后推得的顯然成立的最簡(jiǎn)不等式是.,0<4,5.(教材習(xí)題改編P15T(2))用反證法證明“把100個(gè)球放在90個(gè)盒子里,至少有一個(gè)盒子里不少于2個(gè)球”應(yīng)假設(shè).,每個(gè)盒子里都少于2個(gè)球,解析:因?yàn)椤爸辽儆幸粋€(gè)盒子里不少于”的反面是“所有盒子里都少于”,所以應(yīng)填“每個(gè)盒子里都少于2個(gè)球”.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,綜合法的應(yīng)用(多考向)考向1數(shù)列中的證明例1設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知3an-2Sn=2.(1)證明{an}是等比數(shù)列并求出通項(xiàng)公式an;,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,思考哪些問(wèn)題的證明適合用綜合法?解題心得綜合法的適用范圍是:(1)定義明確的問(wèn)題,如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等,求證沒(méi)有限制條件的等式或不等式.(2)已知條件明確,并且容易通過(guò)分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2017湖北黃岡模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*),其中m為常數(shù),且m≠-3.(1)求證:{an}是等比數(shù)列;,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考向2立體幾何中的證明例2(2017山東棗莊一模,文18)如圖,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD是菱形,AB=2A1B1,AA1⊥平面ABCD.求證:(1)BD⊥C1C;(2)C1C∥平面A1BD.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,證明(1)連接AC,∵AA1⊥平面ABCD,∴AA1⊥BD.∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,又AC∩AA1=A,∴BD⊥平面ACC1A1.∵CC1?平面ACC1A1,∴BD⊥CC1.(2)連接AC和A1C1,設(shè)AC∩BD=E.∵底面ABCD是菱形,∴E為菱形ABCD的中心,由棱臺(tái)的定義及AB=2A1B1,可得EC∥A1C1,且EC=A1C1,故ECC1A1為平行四邊形,∴CC1∥A1E.∵CC1?平面A1BD,A1E?平面A1BD,∴CC1∥平面A1BD.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,解題心得用綜合法證明立體幾何中的平行或垂直問(wèn)題常用轉(zhuǎn)化法,例如證明線面平行或垂直一般轉(zhuǎn)化成證明線線平行或垂直.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60,E,F分別是AP,AB的中點(diǎn).求證:(1)直線EF∥平面PBC;(2)平面DEF⊥平面PAB.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,證明(1)在△PAB中,因?yàn)镋,F分別為PA,AB的中點(diǎn),所以EF∥PB.又因?yàn)镋F?平面PBC,PB?平面PBC,所以直線EF∥平面PBC.(2)連接BD,因?yàn)锳B=AD,∠BAD=60,所以△ABD為正三角形.因?yàn)镕是AB的中點(diǎn),所以DF⊥AB.因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD,DF?平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以DF⊥平面PAB.又因?yàn)镈F?平面DEF,所以平面DEF⊥平面PAB.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考向3證明不等式例3已知x,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1,,思考綜合法證明的特點(diǎn)是什么?,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,解題心得用綜合法證明的特點(diǎn)是“由因?qū)Ч?即從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則,通過(guò)演繹推理,一步一步地接近要證明的結(jié)論,直到完成命題的證明.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,分析法的應(yīng)用,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,思考哪些問(wèn)題的證明適合用分析法?解題心得分析法證明問(wèn)題的適用范圍:當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,或證明過(guò)程中所需知識(shí)不太明確、具體時(shí),往往采用分析法,特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式,從正面不易推導(dǎo)時(shí),?？紤]用分析法.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,反證法的應(yīng)用例5設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和.(1)求證:數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.(2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎?為什么?,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,因?yàn)閍1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,這與公比q≠0矛盾,所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.(2)解當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1,故{Sn}是等差數(shù)列;當(dāng)q≠1時(shí),{Sn}不是等差數(shù)列.假設(shè){Sn}是等差數(shù)列,則2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,這與公比q≠0矛盾.綜上,當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列;當(dāng)q≠1時(shí),{Sn}不是等差數(shù)列.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,思考反證法的適用范圍及證題的關(guān)鍵是什么?解題心得反證法的適用范圍及證題的關(guān)鍵(1)適用范圍:當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí),宜用反證法來(lái)證.(2)關(guān)鍵:在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是與已知條件矛盾,與假設(shè)矛盾,與定義、公理、定理矛盾,與事實(shí)矛盾等.推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,且q≠1,證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.,證明假設(shè){an+1}是等比數(shù)列,則對(duì)任意的k∈N*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),,∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.∵q≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1,這與已知矛盾.∴假設(shè)不成立,故{an+1}不是等比數(shù)列.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,1.分析法是從結(jié)論出發(fā),逆向思維,尋找使結(jié)論成立的充分條件.應(yīng)用分析法要嚴(yán)格按分析法的語(yǔ)言表達(dá),下一步是上一步的充分條件.2.證明問(wèn)題的常用思路:在解題時(shí),常常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)運(yùn)用,先以分析法尋求解題思路,再用綜合法表述解答或證明過(guò)程.3.用反證法證明問(wèn)題要把握三點(diǎn):(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面;(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實(shí)矛盾等,且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,1.應(yīng)用分析法要書寫規(guī)范,常用“要證……”“只需證……”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論.2.應(yīng)用反證法要將假設(shè)作為條件進(jìn)行推理,不使用假設(shè)而推出矛盾的,其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的.3.注意推理的嚴(yán)謹(jǐn)性,在證明過(guò)程中每一步推理都要有充分的依據(jù),這些依據(jù)就是命題的已知條件和已經(jīng)掌握了的數(shù)學(xué)結(jié)論,不可盲目使用正確性未知的自造結(jié)論.,