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2019年高考數學大一輪復習 第六章 第1講 數列的概念與簡單表示法訓練 理 一、選擇題 1．數列{an}：1，－，，－，…的一個通項公式是(　　) A．an＝(－1)n＋1(n∈N＋) B．an＝(－1)n－1(n∈N＋) C．an＝(－1)n＋1(n∈N＋) D．an＝(－1)n－1(n∈N＋) 解析 觀察數列{an}各項，可寫成：，－，，－，故選D. 答案　D 2．把1,3,6,10,15,21這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點子可以排成一個正三角形(如圖所示)． 則第七個三角形數是(　　)． A．27 B．28 C．29 D．30 解析　觀察三角形數的增長規(guī)律，可以發(fā)現每一項與它的前一項多的點數正好是本身的序號，所以根據這個規(guī)律計算即可．根據三角形數的增長規(guī)律可知第七個三角形數是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 答案　B 3．已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，則a5＝ (　　)． A．－16 B．16 C．31 D．32 解析　當n＝1時，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1， 又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)． ∴＝2.∴an＝12n－1，∴a5＝24＝16. 答案　B 4．將石子擺成如圖的梯形形狀，稱數列5,9,14,20，…為梯形數，根據圖形的構成，此數列的第2 014項與5的差即a2 014－5＝(　　)． A．2 0202 012 B．2 0202 013 C．1 0102 012 D．1 0102 013 解析　結合圖形可知，該數列的第n項an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)．所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 0131 010.故選D. 答案　D 5．在數列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數列最大項的值是 (　　)． A．103 B. C. D．108 解析　根據題意并結合二次函數的性質可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋， ∴n＝7時，an取得最大值，最大項a7的值為108. 答案　D 6．定義運算“*”，對任意a，b∈R，滿足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)．設數列{an}的通項為an＝n**0，則數列{an}為(　　)． A．等差數列 B．等比數列 C．遞增數列 D．遞減數列 解析　由題意知an＝*0＝0]n＋(n*0)＋)＝1＋n＋，顯然數列{an} 既不是等差數列也不是等比數列；又函數y＝x＋在[1，＋∞)上為增函數， 所以數列{an}為遞增數列． 答案　C 二、填空題 7．在函數f(x)＝中，令x＝1,2,3，…，得到一個數列，則這個數列的前5項是________． 答案　1，，，2， 8．已知數列{an}滿足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則a2＝________；an＝________. 解析　由an＝n(an＋1－an)，可得＝， 則an＝…a1＝…1＝n，∴a2＝2，an＝n. 答案　2　n 9．已知f(x)為偶函數，f(2＋x)＝f(2－x)，當－2≤x≤0時，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，則a2 013＝________. 解析　∵f(x)為偶函數，∴f(x)＝f(－x)， ∴f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)． 故f(x)周期為4， ∴a2 013＝f(2 013)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝. 答案　 10．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足5＜ak＜8，則k的值為________． 解析　∵Sn＝n2－9n， ∴n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－10， a1＝S1＝－8適合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)， ∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8. 答案　8 三、解答題 11．數列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6. (1)這個數列的第4項是多少？ (2)150是不是這個數列的項？若是這個數列的項，它是第幾項？ (3)該數列從第幾項開始各項都是正數？ 解 (1)當n＝4時，a4＝42－47＋6＝－6. (2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16，即150是這個數列的第16項． (3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)， ∴從第7項起各項都是正數． 12．若數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求證：成等差數列； (2)求數列{an}的通項公式． (1)證明　當n≥2時，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2， 又＝＝2，故是首項為2，公差為2的等差數列． (2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝. 當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－. 當n＝1時，a1＝不適合上式． 故an＝ 13．設數列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)設bn＝Sn－3n，求數列{bn}的通項公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍． 解　(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)， 又S1－31＝a－3(a≠3)，故數列{Sn－3n}是首項為a－3，公比為2的等比數列， 因此，所求通項公式為bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*. (2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*， 于是，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝23n－1＋(a－3)2n－2， 當n＝1時，a1＝a不適合上式， 故an＝ an＋1－an＝43n－1＋(a－3)2n－2 ＝2n－2， 當n≥2時，an＋1≥an?12n－2＋a－3≥0?a≥－9. 又a2＝a1＋3>a1. 綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞)． 14．在等差數列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73. (1)求數列{an}的通項公式； (2)對任意m∈N*，將數列{an}中落入區(qū)間(9m,92m)內的項的個數記為bm，求數 列{bm}的前m項和Sm. 解　(1)因為{an}是一個等差數列， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28. 設數列{an}的公差為d，則5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9. 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋39，即a1＝1. 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)． (2)對m∈N*，若9m＜an＜92m， 則9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1， 故得bm＝92m－1－9m－1. 于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm ＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1) ＝－ ＝.