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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題05 圓錐曲線的綜合問題強(qiáng)化突破 理（含解析）新人教版 1．(xx新課標(biāo)全國(guó)高考)等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為(　　) A. B．2 C．4　　　 D．8 解析：選C　拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線方程是x＝－4，所以點(diǎn)A(－4,2)在等軸雙曲線C：x2－y2＝a2(a＞0)上，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得a＝2，所以C的實(shí)軸長(zhǎng)為4.故選C. 2．(xx沈陽(yáng)質(zhì)檢)若直線mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)有(　　) A．至多一個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè)　　　 D．0個(gè) 解析：選B　∵直線mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，∴＞2，∴m2＋n2＜4，∴＋＜＋＝1－m2＜1，∴點(diǎn)(m，n)在橢圓＋＝1的內(nèi)部，∴過點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)有2個(gè)，故選B. 3．(xx浙江名校聯(lián)考)已知P為雙曲線C：－＝1上的一點(diǎn)，點(diǎn)M滿足||＝1，且＝0，則當(dāng)||取得最小值時(shí)，點(diǎn)P到雙曲線C的漸近線的距離為(　　) A.　　　　B. C．4　　　 D．5 解析：選B　由＝0，得OM⊥PM，根據(jù)勾股定理，求||的最小值可以轉(zhuǎn)化為求||的最小值，當(dāng)||取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的位置為雙曲線的頂點(diǎn)(3,0)，而雙曲線的漸近線方程為4x3y＝0，所以所求的距離d＝，故選B. 4．(xx合肥模擬)已知點(diǎn)P在直線x＋y＋5＝0上，點(diǎn)Q在拋物線y2＝2x上，則|PQ|的最小值等于(　　) A. B．2 C.　　　　 D. 解析：選A　設(shè)與直線x＋y＋5＝0平行且與拋物線y2＝2x相切的直線方程是x＋y＋m＝0，則由消去x整理得y2＋2y＋2m＝0，由Δ＝4－8m＝0，得m＝，因此|PQ|的最小值即為直線x＋y＋5＝0與直線x＋y＋＝0之間的距離，所以所求最小值為d＝＝.故選A. 5．(xx銅川模擬)若點(diǎn)O和點(diǎn)F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為(　　) A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞) C.　　　　 D. 解析：選B　由題意知a2＝(－2)2－12＝3，故雙曲線的方程為－y2＝1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)(x1≥)，則－y＝1，∴＝(x1，y1)(x1＋2，y1)＝x＋2x1＋y＝x＋2x1＋－1＝＋2x1－1.又函數(shù)f(x1)＝＋2x1－1在x1∈[，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x1)≥＋2－1＝3＋2，即的取值范圍為[3＋2，＋∞)，選B. 6．已知橢圓＋＝1，若此橢圓上存在不同的兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝4x＋m對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. 解析：選B　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x，y)，kAB＝＝－，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y， 又3x＋4y＝12①， 3x＋4y＝12②， ①②兩式相減得3(x－x)＋4(y－y)＝0，即y1＋y2＝3(x1＋x2)，即y＝3x，與y＝4x＋m得x＝－m，y＝－3m，又點(diǎn)M(x，y)在橢圓的內(nèi)部，所以＋＜1，解得－＜m＜.故選B. 7.－＝1(a＞0，b＞0)的離心率是2，則的最小值為________． 解析：　因?yàn)閑2＝＝＝4，則b2＝3a2，所以＝＝a＋≥2 ＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝時(shí)等號(hào)成立． 8．(xx廣東六校聯(lián)考)已知雙曲線C的焦點(diǎn)、實(shí)軸端點(diǎn)恰好是橢圓＋＝1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)、焦點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程是________． 解析：4x3y＝0　橢圓＋＝1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為(5,0)、焦點(diǎn)為(3,0)，所以雙曲線的焦點(diǎn)為(5,0)，實(shí)軸端點(diǎn)為(3,0)，設(shè)雙曲線的方程為－＝1，即c＝5，a＝3，b＝4，所以漸近線方程為y＝x，即4x3y＝0. 9．(xx湖南十二校聯(lián)考)設(shè)F為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與雙曲線右支交于點(diǎn)P，與圓O：x2＋y2＝a2恰好切于線段PF的中點(diǎn)M，則雙曲線的離心率為__________． 解析：　設(shè)右焦點(diǎn)為F2，連接PF2，OM，則PF2∥OM，|PF2|＝2|OM|＝2a，∠FPF2＝，又|PF|－|PF2|＝2a，∴|PF|＝4a，在Rt△FPF2中，|PF2|2＋|PF|2＝|FF2|2，得20a2＝4c2，∴e＝＝. 10．已知拋物線y＝x2－1上有一定點(diǎn)B(－1,0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，若BP⊥PQ，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是________． 解析：(－∞，－3]∪[1，＋∞)　設(shè)P(xP，x－1)(xP≠1)，Q(xQ，x－1)，由kBPkPQ＝－1，得＝－1，所以xQ＝－xP－＝－(xP－1)－－1.因?yàn)閨xP－1|＋≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3.故所求范圍為(－∞，－3]∪[1，＋∞). 11．(xx杭州質(zhì)檢)已知直線y＝2x－2與拋物線x2＝2py(p＞0)交于M1，M2兩點(diǎn)，且|M1M2|＝8. (1)求p的值； (2)設(shè)A是直線y＝上一點(diǎn)，直線AM2交拋物線于另一點(diǎn)M3，直線M1M3交直線y＝于點(diǎn)B，求的值． 解：(1)由消去y整理得x2－4px＋4p＝0， 設(shè)M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，則 ∵|M1M2|＝8， ∴＝8， ∴＝8. 整理得p2－p－12＝0，解得p＝4或p＝－3(舍去)， 且p＝4滿足Δ＞0，∴p＝4. (2)由(1)知拋物線方程為x2＝8y，且 M1，M2， 設(shè)M3，A(t,2)，B(a,2)， 由A，M2，M3三點(diǎn)共線得kM2M3＝kAM2， ∴＝，∴x＋x2x3－t(x2＋x3)＝x－16， 整理得x2x3－t(x2＋x3)＝－16，① 由B，M3，M1三點(diǎn)共線，同理可得x1x3－a(x1＋x3)＝－16.② ②式兩邊同乘x2得x1x2x3－a(x1x2＋x2x3)＝－16x2， 即16x3－a(16＋x2x3)＝－16x2，③ 由①得x2x3＝t(x2＋x3)－16， 代入③得16x3－16a－at(x2＋x3)＋16a＝－16x2， 即16(x2＋x3)＝at(x2＋x3)，∴at＝16. ∴＝at＋4＝20. 12．(xx太原四校聯(lián)考)已知雙曲線G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓x2＋y2－10x＋20＝0相切．過點(diǎn)P(－4,0)作斜率為－的直線l，使得l與G交于A，B兩點(diǎn)，和y軸交于點(diǎn)C，并且點(diǎn)P在線段AB上，又滿足|PA||PB|＝|PC|2. (1)求雙曲線G的漸近線方程； (2)求雙曲線G的方程； (3)橢圓S的中心在原點(diǎn)，它的短軸是G的實(shí)軸，如果S中垂直于l的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分．求橢圓S的方程． 解：(1)設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為y＝kx，則由漸近線與圓x2＋y2－10x＋20＝0相切可得＝， 解得k＝，所以雙曲線G的漸近線方程為y＝x. (2)由(1)可設(shè)雙曲線G的方程為x2－4y2＝m， 把直線l的方程y＝－(x＋4)代入雙曲線方程，整理得3x2－8x－16－4m＝0， ∴xA＋xB＝，xAxB＝－.(*) ∵|PA||PB|＝|PC|2，P，A，B，C共線且P在線段AB上， ∴(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2， 即(xB＋4)(－4－xA)＝16， 整理得4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0. 將(*)代入上式得m＝28， ∴雙曲線的方程為－＝1. (3)設(shè)橢圓S的方程為＋＝1(a＞2)，設(shè)垂直于l的平行弦的兩端點(diǎn)分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為P(x0，y0)，則＋＝1，＋＝1， 兩式作差得 ＋＝0. 由于＝－4，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， ∴－＝0. ∴垂直于l的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線－＝0在橢圓S內(nèi)的部分． 又由已知，這個(gè)軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分， 所以＝，得a2＝56，故橢圓S的方程為＋＝1. 13．(xx武漢調(diào)研)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為. (1)求a，b的值； (2)C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由． 解：(1)設(shè)F(c,0)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，其方程為x－y－c＝0， ∴O到l的距離為＝， 由已知得＝，∴c＝1. 由e＝＝，得a＝，b＝＝. (2)假設(shè)C上存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有＝＋成立， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P(x1＋x2，y1＋y2)． 由(1)知C的方程為＋＝1. 由題意知l的斜率一定不為0，設(shè)其方程為x＝ty＋1. 由消去x整理得(2t2＋3)y2＋4ty－4＝0. 則y1＋y2＝－， ∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t(y1＋y2)＋2＝－＋2＝， ∴P. ∵點(diǎn)P在C上，∴＋＝1， 化簡(jiǎn)整理，得4t4＋4t2－3＝0，即(2t2＋3)(2t2－1)＝0，解得t2＝. 當(dāng)t＝時(shí)，P，l的方程為x－y－＝0； 當(dāng)t＝－時(shí)，P，l的方程為x＋y－＝0. 故C上存在點(diǎn)P，使＝＋成立，此時(shí)l的方程為xy－＝0. 14．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0，)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是 ∶1. (1)求橢圓C的方程； (2)若橢圓C上在第一象限的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點(diǎn)A，B，求證：直線AB的斜率為定值； (3)在(2)的條件下，求△PAB面積的最大值． (1)解：設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)． 由題意得解得a2＝4，b2＝2. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)證明：由題意知直線PA，PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為k.又由(1)知P(1，)，故直線PB的方程為 y－＝k(x－1)． 由消去y整理得 (2＋k2)x2＋2k(－k)x＋(－k)2－4＝0. 設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)， 則xB＝1xB＝， 同理可得xA＝， 則xA－xB＝，yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝. 所以kAB＝＝(定值)． (3)解：由(2)設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m.由消去y整理，得 4x2＋2mx＋m2－4＝0. 由Δ＝(2m)2－16(m2－4)＞0，得m2＜8. 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(xA，yB)，B(xB，yB)， 則xA＋xB＝－，xAxB＝. 又點(diǎn)P到直線AB的距離d＝， |AB|＝＝ . ∴S△PAB＝d|AB|＝ ＝ ≤＝.當(dāng)且僅當(dāng)m2＝8－m2，即m2＝4時(shí)等號(hào)成立． 所以△PAB面積的最大值為.