安徽省2019年中考數學一輪復習 第二講 空間與圖形 第四章 三角形 4.3 特殊三角形課件.ppt
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4.3特殊三角形,了解等腰三角形和直角三角形的有關概念,掌握等腰三角形的判定,并會運用等腰三角形的性質解決問題,掌握直角三角形的性質和判定,理解等邊三角形的性質和判定,掌握并運用勾股定理及其逆定理.掌握角平分線性質定理及其逆定理,并會利用它解決問題,掌握線段垂直平分線定理及其逆定理,并會利用它解決問題.,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,素養(yǎng)提升,等腰三角形的性質與判定(8年6考)1.等腰三角形的性質(1)等腰三角形的兩個底角相等,簡稱“等邊對等角”;(2)等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線重合,簡稱“等腰三角形三線合一”;(3)等腰三角形是軸對稱圖形,底邊上的中線所在的直線就是它的對稱軸.2.等腰三角形的判定(1)按定義:有兩條邊相等的三角形就是等腰三角形;(2)有兩個角相等的三角形是等腰三角形,簡稱“等角對等邊”.特別提醒等腰三角形“三線合一”是證明兩直線互相垂直的重要方法,也是處理等腰三角形問題中的常用輔助線作法.,,,,,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,素養(yǎng)提升,3.等邊三角形(1)等邊三角形的性質①等邊三角形的三條邊都相等;②等邊三角形的三個角都是60.(2)等邊三角形的判定①按定義:三邊都相等的三角形是等邊三角形;②三個角都相等的三角形是等邊三角形;③有兩個角是60的三角形是等邊三角形;④有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形.(3)等邊三角形的面積的求法:.名師點睛等邊三角形的四種判定方法都可以應用,要根據不同的條件進行選擇,以使問題簡單化.,,,,,,,,,考點掃描,素養(yǎng)提升,典例1(2018合肥期末)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36,CD是∠ACB的平分線交AB于點D,過點A作AE∥BC,交CD的延長線于點E.(1)求∠ADC的度數;(2)求證:AE=AC;(3)試問△ADE是等腰三角形嗎?請說明理由.【解析】(1)利用等腰三角形性質和三角形內角和定理求出∠B=∠ACB=72,求出∠DCB,根據三角形外角性質求出即可;(2)先判斷出∠BCE=∠ACE,再判斷出∠BCE=∠E,即可得出結論;(3)根據平行線求出∠EAD,根據三角形內角和定理求出∠ADE,即可得出答案.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,考點1,考點2,考點3,考點4,【答案】(1)∵AB=AC,∠BAC=36,∴∠B=∠ACB=(180-∠BAC)=72,∵CD是∠ACB的平分線,∴∠DCB=∠ACB=36,∴∠ADC=∠B+∠DCB=72+36=108.(2)∵CD是∠ACB的平分線,∴∠BCE=∠ACE,∵AE∥BC,∴∠BCE=∠E,∴∠ACE=∠E,∴AE=AC.(3)△ADE是等腰三角形.理由:∵AE∥BC,∴∠EAB=∠B=72,∵∠B=72,∠DCB=36,∴∠ADE=∠BDC=180-72-36=72,∴∠EAD=∠ADE,∴AE=DE,即△ADE是等腰三角形.,考點掃描,素養(yǎng)提升,考點1,考點2,考點3,考點4,提分訓練1.復習課上,老師給出一個問題“已知等腰三角形的一邊等于5,另一邊等于6,求它的周長.”小華代表小組發(fā)言:“等腰三角形的邊有兩種,腰和底邊,所以第一種情況5是腰長,6是底邊長;第二種情況5是底邊長,6是腰長,從而得最終結果為16或17.”小華的上述方法體現的數學思想是()A.公理化B.分類討論C.數形結合D.由特殊到一般【解析】等腰三角形有兩條邊長為5和6,而沒有明確腰、底分別是多少,所以要進行討論,因此體現的數學思想是分類討論.,B,考點掃描,素養(yǎng)提升,考點1,考點2,考點3,考點4,2.(2018合肥包河區(qū)模擬)如圖,在四邊形ABCD中AC,BD為對角線,AB=BC=AC=BD,則∠ADC的大小為()A.120B.135C.145D.150,D,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,直角三角形的性質與判定(8年7考)1.直角三角形的性質(1)直角三角形的兩個銳角互余;(2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;(3)直角三角形中,30的角所對的直角邊等于斜邊的一半,等于斜邊的一半的直角邊所對的角是30;(4)勾股定理:直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.名師點睛已知直角三角形中的兩邊求第三邊(沒有明確誰是斜邊)時,一般要分類討論:①所求邊是斜邊;②已知兩邊中的較長邊是斜邊.,,,,,,,,,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,2.直角三角形的判定(1)有兩個角的和等于90的三角形是直角三角形;(2)勾股定理的逆定理:如果一個三角形的一邊的平方等于另兩條邊的平方和,那么這個三角形是直角三角形(這條邊所對的角是直角).補充:一條邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形(這條邊所對的角是直角).3.直角三角形面積的求法(其中a,b是直角邊,h是斜邊c上的高).,,,,,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,典例2(2018湖北黃岡)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,BD=2,CE=5,則CD=(),【答案】C,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,提分訓練3.(2018廣西賀州)如圖,在△ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC,垂足為D,E是邊BC的中點,AD=ED=3,則BC的長為(),D,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,初高中銜接射影定理在直角三角形中,斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項,每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項.在Rt△ABC中,∠ABC=90,BD是斜邊AC上的高,則有射影定理如下:BD2=ADCD,AB2=ADAC,BC2=CDAC.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,角的平分線的性質與判定(8年4考)1.定義在角的內部,以角的頂點為端點的一條射線把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的平分線.2.性質角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.3.判定角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.,,,,,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,典例3如圖,已知P是∠AOB的角平分線上的一點,∠AOB=60,PD⊥OA,M是OP的中點,點C是OB上的一個動點,若PC的最小值為3cm,則MD的長度為(),【解析】當PC⊥OB時,PC取最小值.∵P是∠AOB的角平分線上的一點,PD⊥OA,PC⊥OB,∴PD=PC=3,∠AOP=30,∴OP=2PD=6,∵PD⊥OA,M是OP的中點,∴DM=OP=3.【答案】A,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,【方法指導】已知角的平分線及平分線上一點,要解決幾何計算與證明問題,一般過角平分線上的一點作到兩邊的垂線.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,提分訓練5.如圖所示,在Rt△ABC中,∠A=90,BD平分∠ABC,交AC于點D,且AB=4,BD=5,則點D到BC的距離是()A.2B.3C.4D.5【解析】過點D作DE⊥BC于點E,∵∠A=90,BD平分∠ABC,∴AD=DE,∵在Rt△ABD中,∠A=90,AB=4,BD=5,由勾股定理得AD=3,∴DE=3,即點D到BC的距離是3.,B,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,6.如圖,BP,CP分別是△ABC的外角∠CBD,∠ECB的平分線.小明經過分析后,得出了以下結論:①點P在∠BAC的平分線上;②BP=CP;③點P到AD,AE,BC的距離相等.把你認為正確的結論的序號寫在橫線上.,①③,【解析】過點P作PM⊥AB于點M,PG⊥AC于點G,PN⊥BC于點N,由角平分線的性質得PM=PN=PG,③正確;根據角平分線的判定定理知,點P在∠BAC的平分線上,①正確;②不成立.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,線段的垂直平分線(8年3考)1.定義經過線段中點并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.2.性質線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.3.判定與線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.技巧點撥解題時常要把垂直平分線上的點與線段兩端點連接,利用垂直平分線的性質解題.,,,,,考點1,考點2,考點3,考點4,考點掃描,素養(yǎng)提升,典例4如圖,在△ABC中,∠ACB=90,分別以點A,B為圓心,大于AB長為半徑作弧,兩弧交于點M,N,作直線MN分別交AB,AC于點D,E,連接CD,BE,下列結論錯誤的是()A.AD=CDB.BE>CDC.∠BEC=∠BDCD.BE平分∠CBD【解析】由題可得,DE是AB的垂直平分線,∴AE=BE,AD=BD,∴在Rt△ABC中,D是AB的中點,∴CD=AD,故A正確;∵DE⊥AB,∴在Rt△ADE中,AE>AD,∴BE>CD,故B正確;∵∠BEC是等腰△ABE的外角,∴∠BEC=2∠A,∵∠BDC是等腰△ACD的外角,∴∠BDC=2∠A,∴∠BEC=∠BDC,故C正確;∵當∠A=30時,∠ABE=30=∠CBE,∴當∠A=30時,BE平分∠ABC,而∠A不一定為30,∴BE不一定平分∠CBD,故D錯誤.【答案】D,考點掃描,素養(yǎng)提升,考點掃描,素養(yǎng)提升,2.等腰三角形中分類討論問題典例2已知三角形ABC是等腰三角形.(1)若∠A=80,求∠B的度數.(2)當∠A的度數不同,得到∠B的度數的個數也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,設∠A=x,當∠B有三個不同的度數時,請你探索x的取值范圍.【解析】(1)由于等腰三角形的頂角和底角沒有明確,因此要分類討論;(2)分兩種情況:①90≤x<180;②0
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