2019年高考數學二輪復習 專題訓練九 第3講 分類討論思想 理.doc
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2019年高考數學二輪復習 專題訓練九 第3講 分類討論思想 理 1．分類討論思想是一種重要的數學思想方法．其基本思路是將一個較復雜的數學問題分解(或分割)成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現解決原問題的思想策略．對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現了有效增設，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度． 2．分類討論的常見類型 (1)由數學概念引起的分類討論．有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數函數、對數函數等． (2)由性質、定理、公式的限制引起的分類討論．有的數學定理、公式、性質是分類給出的，在不同的條件下結論不一致，如等比數列的前n項和公式、函數的單調性等． (3)由數學運算要求引起的分類討論．如除法運算中除數不為零，偶次方根為非負，對數真數與底數的要求，指數運算中底數的要求，不等式兩邊同乘以一個正數、負數，三角函數的定義域等． (4)由圖形的不確定性引起的分類討論．有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關系等． (5)由參數的變化引起的分類討論．某些含有參數的問題，如含參數的方程、不等式，由于參數的取值不同會導致所得結果不同，或對于不同的參數值要運用不同的求解或證明方法． (6)由實際意義引起的討論．此類問題在應用題中，特別是在解決排列、組合中的計數問題時常用． 3．分類討論的原則 (1)不重不漏． (2)標準要統(tǒng)一，層次要分明． (3)能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論． 4．解分類問題的步驟 (1)確定分類討論的對象，即對哪個變量或參數進行分類討論． (2)對所討論的對象進行合理的分類． (3)逐類討論，即對各類問題詳細討論，逐步解決． (4)歸納總結，將各類情況總結歸納. 熱點一 由數學概念、性質、運算引起的分類討論 例1 (1)(xx浙江)設函數f(x)＝若f(f(a))≤2，則實數a的取值范圍是________． (2)在等比數列{an}中，已知a3＝，S3＝，則a1＝________. 答案 (1)a≤ (2)或6 解析 (1)f(x)的圖象如圖，由圖象知，滿足f(f(a))≤2時，得f(a)≥－2，而滿足f(a)≥－2時，得a≤. (2)當q＝1時，a1＝a2＝a3＝， S3＝3a1＝，顯然成立； 當q≠1時，由題意，得 所以 由①②，得＝3，即2q2－q－1＝0， 所以q＝－或q＝1(舍去)． 當q＝－時，a1＝＝6.綜上可知，a1＝或a1＝6. 思維升華 (1)由數學概念引起的討論要正確理解概念的內涵與外延，合理進行分類；(2)運算引起的分類討論有很多，如除法運算中除數不為零，偶次方根為非負，對數運算中真數與底數的要求，指數運算中底數的要求，不等式兩邊同乘以一個正數、負數，三角函數的定義域等． (1)已知函數f(x)＝滿足f(a)＝3，則f(a－5)的值為( ) A．log23 B. C. D．1 (2)已知數列{an}的前n項和Sn＝pn－1(p是常數)，則數列{an}是( ) A．等差數列 B．等比數列 C．等差數列或等比數列 D．以上都不對 答案 (1)C (2)D 解析 (1)分兩種情況分析，①或者②，①無解，由②得，a＝7，所以f(a－5)＝22－3＋1＝，故選C. (2)∵Sn＝pn－1， ∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)， 當p≠1且p≠0時，{an}是等比數列； 當p＝1時，{an}是等差數列； 當p＝0時，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此時{an}既不是等差數列也不是等比數列． 熱點二 由圖形位置或形狀引起的討論 例2 (1)不等式組表示的平面區(qū)域內有________個整點(把橫、縱坐標都是整數的點稱為整點)． (2)設圓錐曲線T的兩個焦點分別為F1，F2，若曲線T上存在點P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線T的離心率為________． 答案 (1)20 (2)或 解析 (1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖)． 結合圖中的可行域可知 x∈[－，2]，y∈[－2,5]． 由圖形及不等式組，知 當x＝－1時，1≤y≤2，有2個整點； 當x＝0時，0≤y≤3，有4個整點； 當x＝1時，－1≤y≤4，有6個整點； 當x＝2時，－2≤y≤5，有8個整點； 所以平面區(qū)域內的整點共有2＋4＋6＋8＝20(個)． (2)不妨設|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，若該圓錐曲線為橢圓，則有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；若該圓錐曲線是雙曲線，則有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a， |F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝. 所以圓錐曲線T的離心率為或. 思維升華 求解有關幾何問題時，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，所以需要根據圖形的特征進行分類討論． 一般由圖形的位置或形狀變化引發(fā)的討論包括：二次函數對稱軸位置的變化；函數問題中區(qū)間的變化；函數圖象形狀的變化；直線由斜率引起的位置變化；圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化． (1)已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實數k等于( ) A．－ B. C．0 D．－或0 (2)設F1，F2為橢圓＋＝1的兩個焦點，P為橢圓上一點．已知P，F1，F2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF2|，則的值為________． 答案 (1)D (2)2或 解析 (1)不等式組表示的可行域如圖(陰影部分)所示，由圖可知若不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有直線y＝kx＋1與直線x＝0垂直(如圖①)或直線y＝kx＋1與直線y＝2x垂直(如圖②)時，平面區(qū)域才是直角三角形． 由圖形可知斜率k的值為0或－. (2)若∠PF2F1＝90， 則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2， ∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2， 解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝. 若∠F2PF1＝90， 則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2 ＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2， 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2， ∴＝2.綜上所述，＝2或. 熱點三 由參數引起的分類討論 例3 (xx四川改編)已知函數f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…為自然對數的底數． 設g(x)是函數f(x)的導函數，求函數g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值． 解 由f(x)＝ex－ax2－bx－1， 有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b. 所以g′(x)＝ex－2a. 因此，當x∈[0,1]時，g′(x)∈[1－2a，e－2a]． 當a≤時，g′(x)≥0， 所以g(x)在[0,1]上單調遞增， 因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b； 當a≥時，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上單調遞減， 因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b； 當
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