2019年高考數(shù)學總復習 第5章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積課時跟蹤檢測 理（含解析）新人教版.doc
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2019年高考數(shù)學總復習 第5章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積課時跟蹤檢測 理（含解析）新人教版 1．(xx長沙模擬)已知a，b，c是平面向量，下列命題中真命題的個數(shù)是( ) ①(ab)c＝a(bc)；②|ab|＝|a||b|； ③|a＋b|2＝(a＋b)2；④ab＝bc?a＝c. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選A 對于①，因為(ab)，(bc)是兩個數(shù)，顯然，(ab)c＝a(bc)不一定恒成立；對于②，因為|ab|＝|a||b||cos θ|，顯然也不恒成立；對于④，由于ab與bc是兩個具體的數(shù)，由兩個數(shù)不可能產(chǎn)生兩個向量相等，于是也不正確；而對于③，由于|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2，而(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，顯然二者是相等的．故選A. 2．向量與向量a＝(－3,4)的夾角為π，||＝10，若點A的坐標是(1,2)，則點B的坐標為( ) A．(－7,8) B．(9，－4) C．(－5,10) D．(7，－6) 解析：選D 設B(x，y)，則＝(x－1，y－2)，由題意可得解得或(舍去)，所以點B的坐標為(7，－6)．故選D. 3．已知△ABC的三邊長為AB＝2，BC＝1，AC＝，則＋＋的值為( ) A．0 B．4 C．2 D．－4 解析：選D 由AB＝2，BC＝1，AC＝，得△ABC為直角三角形，且∠A＝30，∠C＝90，∠B＝60. 所以＋＋＝||||cos 120＋||||cos 90＋||||cos 150＝－4.故選D. 4．(xx韶關摸底考試)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與a的夾角為( ) A. B. C. D. 解析：選B ∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴ab＝0，∵|a－b|＝2|a|，∴|b|＝|a|，設向量a＋b與a的夾角為θ，則cos θ＝＝＝＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.故選B. 5．(xx遼寧高考)已知點O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB為直角三角形，則必有( ) A．b＝a3 B．b＝a3＋ C．(b－a3)＝0 D．|b－a3|＋＝0 解析：選C 若∠OBA為直角，則＝0， 即a2＋(a3－b)a3＝0，又a≠0，故b＝a3＋； 若∠OAB為直角時，＝0，即b(a3－b)＝0，得b＝a3； 若∠AOB為直角，則不可能．所以b－a3－＝0或b－a3＝0.故選C. 6．(xx長春實驗中學模擬)在△ABC中，已知向量＝(cos 18，cos 72)，＝(2cos 63，2cos 27)，則△ABC的面積為( ) A. B. C. D. 解析：選A 由題意得||＝1，||＝2，cos〈，〉＝＝，則sin B＝，所以△ABC的面積為12＝.故選A. 7．(xx天津高考)在△ABC中，∠A＝90，AB＝1，AC＝2.設點P，Q滿足＝λ ，＝(1－λ)，λ∈R.若＝－2，則λ＝( ) A. B. C. D．2 解析：選B 設＝a，＝b，∴|a|＝1，|b|＝2，且ab＝0. ＝(－)(－)＝[(1－λ)b－a](λa－b)＝－λa2－(1－λ)b2＝－λ－4(1－λ)＝3λ－4＝－2， ∴λ＝.故選B. 8．(xx武漢調(diào)研)已知△ABC的外接圓半徑為1，圓心為O，且3＋4＋5＝0，則的值為( ) A．－ B. C．－ D. 解析：選A 因為3＋4＋5＝0， 所以5＝－3－4， 因此(5)2＝(－3－4)2， 即25＝9＋24＋16， 所以＝0，又向量＝－， 所以(－)＝ ＝＝－，故選A. 9．(xx太原模擬)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(cos φ，sin φ)，若θ－φ＝，則向量a與向量a＋b的夾角是________． 解析： 以原點O為起點分別表示向量a＝，b＝，易知相應的終點A，B位于以原點O為圓心的單位圓上，以||，||為鄰邊作平行四邊形OACB，則∠AOB＝，OA＝OB＝1，即平行四邊形OACB是菱形，則∠COA＝，而＝a＋b，故a，a＋b的夾角等于. 10．(xx江西高考)設e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，則向量a在b方向上的射影為________． 解析： ∵ab＝(e1＋3e2)2e1＝2e＋6e1e2＝2＋612cos＝5，∴a在b上的射影為＝. 11．(xx衡水中學模擬)在邊長為1的正三角形ABC中，＝x ，＝y(tǒng) .x>0，y>0且x＋y＝1，則的最大值為________． 解析：－ 由題可知：＝(＋)(＋)，∵＝x ，＝y(tǒng) ，∴＝(＋)(＋)＝(＋x )(＋y )＝－1＋. 又∵x>0，y>0且x＋y＝1，∴xy≤， ∴－1＋≤－. 當且僅當x＝y(tǒng)＝時，等號成立，∴當x＝y(tǒng)＝時，的最大值為－. 12．已知平面上三個向量a、b、c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120，若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，則k的取值范圍為________． 解析：(－∞，0)∪(2，＋∞) |ka＋b＋c|>1，即|ka＋b＋c|2>1，也就是k2a2＋b2＋c2＋2kab＋2kac＋2bc>1，∵ab＝bc＝ac＝－，∴k2－2k>0，∴k<0或k>2. 13．設在平面上有兩個向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<360)，b＝. (1)求證：向量a＋b與a－b垂直； (2)當向量a＋b與a－b的模相等時，求α的大?。? (1)證明：因為(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－＝0， 所以a＋b與a－b垂直． (2)解：由|a＋b|＝|a－b|，兩邊平方得 3|a|2＋2ab＋|b|2＝|a|2－2ab＋3|b|2， 所以2(|a|2－|b|2)＋4ab＝0. 而|a|＝|b|，所以ab＝0， 則cos α＋sin α＝0， 所以cos(α＋60)＝0， 所以α＋60＝k180＋90， 即α＝k180＋30，k∈Z. 又0≤α＜360，則α＝30或α＝210. 14．(xx西安模擬)已知向量a＝(sin(ωx＋φ)，2)，b＝(1，cos(ωx＋φ))，ω>0,0<φ<，函數(shù)f(x)＝(a＋b)(a－b)，y＝f(x)圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為1，且經(jīng)過點M. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)當－1≤x≤1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解：(1)f(x)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝sin2(ωx＋φ)＋3－cos2(ωx＋φ)＝－cos(2ωx＋2φ)＋3， 由題意得函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝4，故ω＝， 又圖象過點M，所以＝3－cos， 所以sin 2φ＝，又0<φ<， 所以0＜2φ＜，所以2φ＝， 所以f(x)＝3－cos. (2)當－1≤x≤1時，－≤x＋≤. 故當－≤x＋≤0，即－1≤x≤－時，f(x)是減函數(shù)． 當0≤x＋≤，即－≤x≤1時，f(x)是增函數(shù)． 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是. 1．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，且a＝4，b＝5，則向量在方向上的投影為( ) A. B. C. D. 解析：選A 由題得[1＋cos(A－B)]cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，故cos A＝－.由＝得sin B＝，由題知a>b，則A>B，故B＝，根據(jù)余弦定理有(4)2＝52＋c2－25c，得c＝1，向量在方向上的投影為||cos B＝.選A. 2．(xx廣東高考)對任意兩個非零的平面向量α和β，定義α°β＝.若兩個非零的平面向量a，b滿足a與b的夾角θ∈，且a°b和b°a都在集合中，則a°b＝( ) A. B. C．1 D. 解析：選D 利用向量的數(shù)量積的運算求解． a°b＝＝＝，① b°a＝＝＝.② ∵θ∈，∴0＜cos θ＜. ①②得(a°b)(b°a)＝cos2θ∈. 而a°b和b°a都在集合中，結(jié)合選項A，B，C，D分析可知，只有D符合． 3．(xx江西師大附中測試)設P是函數(shù)y＝x＋(x＞0)的圖象上任意一點，過點P分別向直線y＝x和y軸作垂線，垂足分別為A，B，則的值是________． 解析：－1 設P(a，b)，則A，B(0，b)，所以＝(－a,0)＝－，又P是函數(shù)y＝x＋(x＞0)的圖象上任意一點，則b＝a＋，代入可得＝－1. 4．(xx浙江高考)設e1，e2為單位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于________． 解析：2 因為b≠0，所以b＝xe1＋ye2，x≠0，y≠0. 又|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋xy，＝＝，不妨設＝t，則＝，當t＝－時，t2＋t＋1取得最小值，此時取得最大值，所以的最大值為2. 5．已知向量m＝，n＝，f(x)＝mn. (1)若f(x)＝1，求cos的值； (2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a， b，c，且滿足acos C＋c＝b，求函數(shù)f(B)的取值范圍． 解：(1)∵f(x)＝mn＝sincos＋cos2 ＝sin＋cos＋＝sin＋， 而f(x)＝1，∴sin＝. 又∵－x＝π－2， ∴cos＝－cos 2 ＝－1＋2sin2＝－. (2)∵acos C＋c＝b，∴a＋c＝b， ∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝b2＋c2－a2＝. 又0＜A＜π，∴A＝. 又0
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