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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第9章 第5節(jié) 橢 圓課時(shí)跟蹤檢測 理（含解析）新人教版 1．(xx上海高考)對于常數(shù)m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓”的 (　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件　　　 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　由mx2＋ny2＝1表示橢圓可知m＞0，n＞0，且m≠n，所以mn＞0.反之由mn＞0不能得出m＞0，n＞0且m≠n.所以“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓”的必要不充分條件．故選B. 2．設(shè)F1、F2分別是橢圓E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，則|AB|＝(　　) A. B．1　　　　 C.　　　　 D. 解析：選C　由橢圓E：x2＋＝1(0＜b＜1)知a＝1， ∵|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2， 兩式相加得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4， ∴|AF2|＋|BF2|＝4－(|AF1|＋|BF1|)＝4－|AB|. 又|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，∴2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，于是2|AB|＝4－|AB|，解得|AB|＝.故選C. 3．(xx西安測試)橢圓E的短半軸長為3，焦點(diǎn)F到長軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離等于9，則橢圓E的離心率為(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：選C　由已知條件可得b＝3，a－c＝9或a＋c＝9.當(dāng)a－c＝9時(shí)，由b2＝a2－c2＝9，得a＋c＝1，得a＝5，c＝－4(舍去)；當(dāng)a＋c＝9時(shí)，由b2＝a2－c2＝9，得a－c＝1，得a＝5，c＝4，所以e＝＝.故選C. 4．若動(dòng)點(diǎn)P、Q在橢圓9x2＋16y2＝144上，且滿足OP⊥OQ，則中心O到弦PQ的距離OH必等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：選C　取特殊值．令P、Q分別為橢圓的長軸、短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則OP⊥OQ.由條件知橢圓方程為＋＝1，故a2＝16，b2＝9.所以a＝4，b＝3.所以O(shè)H＝＝.故選C. 5．設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2)(　　) A．必在圓x2＋y2＝2內(nèi) B．必在圓x2＋y2＝2上 C．必在圓x2＋y2＝2外　　　 D．以上三種情形都有可能 解析：選A　由已知得e＝＝，則c＝.又x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝＝＜＝2，因此點(diǎn)P(x1，x2)必在圓x2＋y2＝2內(nèi)．故選A. 6．(xx新課標(biāo)全國高考Ⅰ)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為(　　) A.＋＝1　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1　　　　 D.＋＝1 解析：選D　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B在橢圓上，得 ①－②，得＋＝0， 所以＝－， 又AB的中點(diǎn)為(1，－1)，所以y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2， 而＝kAB＝＝，所以＝. 又a2－b2＝9，故a2＝18，b2＝9. 所以橢圓E的方程為＋＝1.故選D. 7．(xx寶雞質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為________． 解析：＋＝1　根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，∵e＝，∴＝，根據(jù)△ABF2的周長為16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，∴橢圓方程為＋＝1. 8．(xx寧波十校聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足＝0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是________． 解：　由＝0，得以|F1F2|為直徑的圓在橢圓內(nèi)，于是b＞c，于是a2－c2＞c2，所以0＜e＜.，故離心率的范圍為. 9．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率是，過橢圓上一點(diǎn)M作直線MA，MB分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2，若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則k1k2的值為________． 解析：－　設(shè)點(diǎn)M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，則y2＝b2－，y＝b2－，所以k1k2＝＝＝－＝－1＝e2－1＝－，所以k1k2的值為－. 10．(xx海口一中月考)B1，B2是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，O為橢圓中心，過左焦點(diǎn)F1作長軸的垂線交橢圓于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項(xiàng)，則的值是______． 解析：　設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)．令x＝－c，得y2＝，∴|PF1|＝.∴＝＝，又由|F1B2|2＝|OF1||B1B2|得a2＝2bc，∴a4＝4b2(a2－b2)，∴(a2－2b2)2＝0，∴a2＝2b2，∴＝.所以＝＝. 11．已知圓C：x2＋y2＋4x－28＝0內(nèi)一點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)．若MA的垂直平分線交CM于一點(diǎn)P. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)在點(diǎn)P的軌跡上是否存在關(guān)于點(diǎn)N(2，－1)對稱的兩點(diǎn)？若存在，請求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AM的垂直平分線上， |CM|＝＝4，所以|MP|＝|PA|. 又|CM|＝|CP|＋|PM|， 故|PC|＋|PM|＝4＞|CA|＝4， 所以點(diǎn)P的軌跡是以C(－2,0)，A(2,0)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，故2a＝4，c＝2， 所以b2＝a2－c2＝4，故點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1. (2)若在點(diǎn)P的軌跡上存在兩點(diǎn)B(x1，y1)，D(x2，y2)關(guān)于點(diǎn)N對稱，則 從而有 所以 解得或 故存在兩點(diǎn)D，B關(guān)于點(diǎn)N對稱. 12．(xx浙江高考)如圖，點(diǎn)P(0，－1)是橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長軸是圓C2： x2＋y2＝4的直徑，l1，l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D. (1)求橢圓C1的方程； (2)求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程． 解：(1)由題意得a＝2，b＝1. 所以橢圓C1的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)． 由題意知直線l1的斜率存在，設(shè)直線l1的方程為y＝kx－1. 又圓C2：x2＋y2＝4，故點(diǎn)O到直線l1的距離d＝， 所以|AB|＝2＝2. 又l2⊥l1，故直線l2的方程為x＋ky＋k＝0. 由消去y整理得 (4＋k2)x2＋8kx＝0，解得x0＝－， 所以|PD|＝. 設(shè)△ABD的面積為S，則S＝|AB||PD| ＝＝＝ ≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即k＝時(shí)等號成立． 所以所求直線l1的方程為y＝x－1. 1．(xx大連聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則△PF1F2的重心G的軌跡方程為(　　) A.＋＝1(y≠0)　　　　　B.＋y2＝1(y≠0) C.＋3y2＝1(y≠0)　　　 D．x2＋＝1(y≠0) 解析：選C　設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則x＝，y＝，∴x0＝3x，y0＝3y，代入橢圓方程，得＋＝1，即＋3y2＝1.又G點(diǎn)是△PF1F2的重心，所以y≠0.故選C. 2．(xx河南調(diào)研)已知點(diǎn)P是橢圓＋＝1(x≠0，y≠0)上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是∠F1PF2的平分線上一點(diǎn)，且＝0，則||的取值范圍是(　　) A．[0,3) B．(0,2) C．[2，3)　　　 D．(0,4] 解析：選B　延長F1M交PF2或其延長線于點(diǎn)G. ∵＝0，∴⊥， 又MP為∠F1PF2的平分線， ∴|PF1|＝|PG|且M為F1G的中點(diǎn)， ∵O為F1F2的中點(diǎn)，∴OM綊F2G. ∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||， ∴||＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||. ∵4－2＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋2， ∴||∈(0,2)．故選B. 3．(xx遼寧高考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則C的離心率e＝__________. 解析：　如圖，在△AFB中， 由余弦定理得|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|AB||BF|cos∠ABF，即|BF|2－16|BF|＋64＝0，得|BF|＝8. 又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB||BF|cos∠ABF，得|OF|＝5. 根據(jù)橢圓的對稱性|AF|＋|BF|＝2a＝14，得a＝7. 又|OF|＝c＝5，故離心率e＝. 4．(xx海南中學(xué)模擬)已知A(－2,0)，B(2,0)為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，且△APB面積的最大值為2. (1)求橢圓的方程及離心率； (2)直線AP與橢圓在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D，當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明． 解：(1)由題意可設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)(c,0)． 由題意知解得b＝，c＝1. 故橢圓C的方程為＋＝1，離心率e＝. (2)以BD為直徑的圓與直線PF相切． 證明如下：由題意可設(shè)直線AP的方程為y＝k(x＋2)(k≠0)．則點(diǎn)D坐標(biāo)為(2,4k)，BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,2k)． 由消去y整理得 (3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則－2x0＝. 所以x0＝，y0＝k(x0＋2)＝. 因?yàn)辄c(diǎn)F坐標(biāo)為(1,0)，當(dāng)k＝時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，2)，直線PF⊥x軸，此時(shí)以BD為直徑的圓(x－2)2＋(y－1)2＝1與直線PF相切． 當(dāng)k≠時(shí)，則直線PF的斜率kPF＝＝. 所以直線PF的方程為y＝(x－1)． 圓心到直線PF的距離 d＝＝＝2|k|. 又因?yàn)閨BD|＝4|k|，所以d＝|BD|.故以BD為直徑的圓與直線PF相切． 綜上可得當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以BD為直徑的圓與直線PF相切．