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2019年高中數(shù)學(xué) 2.1.1.第1課時(shí) 歸納推理課后知能檢測 蘇教版選修2-2 一、填空題 圖2－1－5 1．如圖2－1－5所示的是一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排，那么第36顆珠子的顏色是________色． 【解析】　通過觀察發(fā)現(xiàn)，每5顆珠子為一組，前3顆為白色，后2顆為黑色，所以36＝35＋1＝57＋1.得第36顆珠子一定為白色的． 【答案】　白 2．(xx無錫高二檢測)如圖2－1－6所示，第n個圖形中，小正六邊形的個數(shù)為________． 圖2－1－6 【解析】　a1＝7，a2＝7＋5＝12，a3＝12＋5＝17， ∴an＝7＋5(n－1)＝5n＋2. 【答案】　5n＋2 3．正整數(shù)按下表的規(guī)律排列，則上起第2 005行，左起第2 006列的數(shù)應(yīng)為________． 【解析】　第2 006行的第一個數(shù)為2 0062，第2 005行的第2 006列的數(shù)是以2 0062為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列的第2 007項(xiàng)，∴該數(shù)為2 0062＋(－1)2 006＝2 0052 006. 【答案】　2 0052 006 4．(xx江西高考改編)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝________． 【解析】　從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知等式右端的值，從第三項(xiàng)開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123. 【答案】　123 5．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123 4569＋7等于________． 19＋2＝11 129＋3＝111 1239＋4＝1 111 1 2349＋5＝11 111 12 3459＋6＝111 111 【解析】　等號右邊應(yīng)為n＋1個“1”． 【答案】　1 111 111 6．定義A*B，B*C，C*D，D*B分別對應(yīng)下列圖形 圖2－1－7 那么下列圖形中， 圖2－1－8 可以表示A*D，A*C的分別是________． 【解析】　由已知圖形，抓共性不難總結(jié)出： A“|”，B“□”(大)，C“—”，D“□”(小)． 故A*D為(2)，A*C為(4)． 【答案】　(2)，(4) 7．經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列不等式：＋＜2，＋＜2，＋＜2，…根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個對正實(shí)數(shù)a，b都成立的條件不等式：________． 【解析】　∵＝10， ＝10，＝10， ∴不難得出，若a＋b＝20，＋＜2. 【答案】　若a＋b＝20，則＋＜2 8．(xx鎮(zhèn)江高二檢測)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＞0)，觀察： f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， …… 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________． 【解析】　函數(shù)結(jié)果的分母中x項(xiàng)系數(shù)所組成數(shù)列的通項(xiàng)公式，由1，3，7，15，…，可推知該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. 分母中常數(shù)項(xiàng)依次為2，4，8，16，…，其通項(xiàng)為2n. 又函數(shù)中，分子都是x. ∴當(dāng)n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝. 【答案】　 二、解答題 9．在△ABC中，不等式＋＋≥成立， 在四邊形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立， 在五邊形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n邊形A1A2…An中的不等式，為什么？ 【解】　不等式左邊和式個數(shù)分別為3，4，5，…時(shí)，不等式右邊的數(shù)依次為，，，…，其分子依次為32，42，52，…，分母依次為(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，…. 故當(dāng)不等式左邊和式個數(shù)為n個時(shí)，歸納猜想右邊應(yīng)為(n≥3，n∈N*)， 故所求為＋＋…＋≥(n≥3，n∈N*)． 10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式． 【解】　當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝1； 當(dāng)n＝2時(shí)，＝－2－S1＝－3，∴S2＝－； 當(dāng)n＝3時(shí)，＝－2－S2＝－，∴S3＝－； 當(dāng)n＝4時(shí)，＝－2－S3＝－，∴S4＝－. 猜想：Sn＝－(n∈N*)． 11．觀察下列等式： ①cos 2α＝2cos2α－1； ②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 求m－n＋p的值． 【解】　觀察等式可知，cos α的最高次項(xiàng)的系數(shù)：2，8，32，128構(gòu)成了公式比為4的等式數(shù)列，故m＝1284＝512； 取α＝0，則cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得 1＝m－1 280＋1 120＋n＋p－1，即n＋p＝－350.(1) 取α＝，則cos α＝，cos 10α＝－，代入等式⑤，得－＝m()10－1 280()8＋1 120()6＋n()4＋p()2－1， 即n＋4p＝－200.(2) 聯(lián)立(1)(2)， 得n＝－400，p＝50. 故m－n＋p＝512－(－400)＋50＝962.