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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理（含解析） 請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明 評卷人 得分 一、選擇題（題型注釋） 1．已知函數(shù)，則（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】 試題分析：因為，所以，故選A. 考點(diǎn)：函數(shù)求導(dǎo). 2．由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四個面(　　) A．各正三角形內(nèi)一點(diǎn) B．各正三角形的某高線上的點(diǎn) C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某點(diǎn) 【答案】C 【解析】 試題分析：四面體的面可以與三角形的邊類比，因此三邊的中點(diǎn)也就類比成各三角形的中心，故選C． 考點(diǎn)：類比推理. 3．設(shè)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則的值為( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：. 考點(diǎn)：定積分. 4．曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是( ) A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】 試題分析：∵曲線y=ln（2x-1）， ∴y′=，分析知直線2x-y+8=0與曲線y=ln（2x-1）相切的點(diǎn)到直線2x-y+8=0的距離最短， y′═=2，解得x=1，把x=1代入y=ln（2x-1）， ∴y=0，∴點(diǎn)（1，0）到直線2x-y+8=0的距離最短， ∴d=， 故答案為B．. 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；兩條平行直線間的距離．. 5．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：∵f（x）=x3+ax-2， ∴f′（x）=3x2+a， ∵函數(shù)f（x）=x3+ax-2在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)， ∴f′（1）=3+a≥0， ∴a≥-3． 故選B．. 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．. 6．函數(shù)y＝f（x）在定義域（－，3）內(nèi)的圖像如圖所示．記y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y＝f（x），則不等式f（x）≤0的解集為（ ） A．[－，1]∪[2，3） B．[－1，]∪[，] C．[－，]∪[1，2）D．（－，－ ]∪[，]∪[，3） 【答案】A 【解析】 試題分析：由圖象可知，即求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而有解集為[?，1]∪[2，3)， 故選A．. 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．. 7． 設(shè),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，若曲線的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（ ） A． 　　 B． C. D． 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意可得，f′(x)＝ex?是奇函數(shù) ∴f′（0）=1-a=0 ∴a=1，f（x）=ex+，f′(x)＝ex? 曲線y=f（x）在（x，y）的一條切線的斜率是，即＝ex?解方程可得ex=2?x=ln2 故選D. 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．. 8．設(shè)曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的乘積的值為（ ） A． B． C． D． 1 【答案】B 【解析】 試題分析：對y=xn+1（n∈N*）求導(dǎo)得y′=（n+1）xn， 令x=1得在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率k=n+1，在點(diǎn) （1，1）處的切線方程為y-1=k（xn-1）=（n+1）（xn-1）， 不妨設(shè)y=0，xn＝則x1?x2?x3…?xn=， 故選B．. 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；直線的斜率．. 9．曲線：在點(diǎn)處的切線恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線直線，軸圍成的圖形面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：設(shè)A（a，ea），則∵y=ex，∴y′=ex， ∴曲線C：y=ex在點(diǎn)A處的切線l的方程為y-ea=ea（x-a） 將（0，0）代入，可得0-ea=ea（0-a），∴a=1 ∴A（1，e），切線方程為y=ex ∴曲線C、直線l、y軸圍成的圖形面積為 故選D．. 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．. 10．已知，是的導(dǎo)函數(shù)，即，，…，，，則 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：因為，所以， ……可知的解析式周期為4，因為2011=，所以故選A. 考點(diǎn)：函數(shù)的求導(dǎo)公式. 11．下面四個判斷中，正確的是(　　) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，當(dāng)n＝1時式子值為1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，當(dāng)n＝1時式子值為1＋k C．式子1＋＋…＋ (n∈N*)中，當(dāng)n＝1時式子值為1＋ D．設(shè)f(x)＝ (n∈N*)，則f(k＋1)＝f(k)＋ 【答案】C 【解析】 試題分析：對于A，f（1）恒為1，正確； 對于B，f（1）恒為1，錯誤； 對于C，f（1）恒為1，錯誤； 對于D，f（k+1）=f（k）+++-，錯誤； 故選A．. 考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法. 12．已知集合A＝{3m＋2n|m＞n且m，n∈N}，若將集合A中的數(shù)按從小到大排成數(shù)列{an}，則有a1＝31＋20＝3，a2＝32＋20＝9，a3＝32＋21＝11，a4＝33＝27，…，依此類推，將數(shù)列依次排成如圖所示的三角形數(shù)陣，則第六行第三個數(shù)為(　　) A．247 B．735 C．733 D．731 【答案】C 【解析】 試題分析：該三角形數(shù)陣中，每一行所排的數(shù)成等差數(shù)列，首項為1，公差為1， 因此前5行已經(jīng)排了5=15個數(shù)， ∴第六行第三個數(shù)是數(shù)列中的第18項， ∵a1=31+20=3，a2=32+20=9，a3=32+21=11，a4=33=27，… ∴a18=36+22=733， 故選C. 考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理.  第II卷（非選擇題） 請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明 評卷人 得分 二、填空題（題型注釋） 13．函數(shù)在處的切線方程___________ 【答案】 【解析】 試題分析：當(dāng)x=4時，f（4）=2，由于，所以，所以切線方程為y-2=（x-4），即. 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究切線. 14．若曲線f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________． 【答案】a＜0 【解析】 試題分析：∵f′（x）=3ax2+（x＞0） ∵曲線f（x）=ax3+lnx存在垂直于y軸的切線， ∴f′（x）=3ax2+=0有正解 即a=有正解， ∵＜0 ∴a＜0，故答案為（-∞，0）. 考點(diǎn)：利用導(dǎo)函數(shù)研究曲線上的切線. 15．已知為一次函數(shù)，且，則=_______.. 【答案】 【解析】 試題分析：設(shè)，因為， 即， 所以，， 考點(diǎn)：本題主要考查定積分的計算，待定系數(shù)法。 16．下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖： 設(shè)第個圖有個樹枝，則與之間的關(guān)系是　　　?。? 【答案】 【解析】 試題分析：由題意，圖（2）比圖（1）多出2個“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個“樹枝”，圖（4）比圖（3）多出10個“樹枝”，照此規(guī)律，an+1-an=n2+1 故答案為：an+1-an=n2+1. 考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的演繹推理；數(shù)列遞推式．. 評卷人 得分 三、解答題（題型注釋） 17．已知曲線 y = x3 + x－2 在點(diǎn) P0 處的切線 平行于直線 4x－y－1=0，且點(diǎn) P0 在第三象限, ⑴求P0的坐標(biāo); ⑵若直線 , 且 l 也過切點(diǎn)P0 ,求直線l的方程. 【答案】(1) (－1,－4);(2) 即. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)曲線方程求出導(dǎo)函數(shù)，因為已知直線4x-y-1=0的斜率為4，根據(jù)切線與已知直線平行得到斜率相等都為4，所以令導(dǎo)函數(shù)等于4得到關(guān)于x的方程，求出方程的解，即為切點(diǎn)P0的橫坐標(biāo)，代入曲線方程即可求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又因為切點(diǎn)在第3象限，進(jìn)而寫出滿足題意的切點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）根據(jù)兩直線垂直，斜率乘積為-1，可求出直線l的斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式，即可求出答案. 試題解析：解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1， 由已知得3x2+1=4，解之得x=1.當(dāng)x=1時，y=0;當(dāng)x=－1時，y=－4. 又∵點(diǎn)P0在第三象限, ∴切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為 (－1,－4) .5分 ⑵∵直線,的斜率為4,∴直線l的斜率為, ∵l過切點(diǎn)P0,點(diǎn)P0的坐標(biāo)為 (－1,－4) ∴直線l的方程為即 10分 考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)在切線中的應(yīng)用；2.直線的方程. 18．某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本(萬元)，已知產(chǎn)品單價P(萬元)與產(chǎn)品件數(shù)x滿足:，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，產(chǎn)量定為多少件時總利潤最大？ 【答案】25 【解析】 試題分析：利用100件產(chǎn)品單價50萬求出常量k，確定出p關(guān)于x的解析式，利潤=單價-成本．總利潤l（x）=p-c．求出l的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)=0時，函數(shù)有最值求出可得．. 試題解析：解：由題意知有：502＝，解得：k=25104， ∴P==； ∴總利潤L（x）=x?-1200-x3=500-1200-x3， ∴L′（x）=250-x2； 令L′（x）=0則有：x=25（件） ∴當(dāng)x=25件時，總利潤最大． 考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2.根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型. 19．由下列不等式：，，，，，你能得到一個怎樣的一般不等式？并加以證明． 【答案】詳見解析 【解析】 試題分析：根據(jù)已知不等式猜想第n個不等式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可. 試題解析：解：根據(jù)給出的幾個不等式可以猜想第個不等式，即一般不等式為： ． 5分 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： （1）當(dāng)時，，猜想成立； 6分 （2）假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即， 7分 則當(dāng)時， ， 即當(dāng)時，猜想也正確，所以對任意的，不等式成立． .12分 考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法；歸納推理. 20．已知函數(shù),函數(shù) ⑴當(dāng)時,求函數(shù)的表達(dá)式; ⑵若,函數(shù)在上的最小值是2 ,求的值; 【答案】（1）（2）. 【解析】 試題分析：（1）分情況討論x的取值化簡絕對值，求出f′（x）得到x＞0和x＜0導(dǎo)函數(shù)相等，代入到g（x）中得到即可； （2）根據(jù)基本不等式得到g（x）的最小值即可求出a. 試題解析：解:⑴∵, ∴當(dāng)時,; 當(dāng)時, ∴當(dāng)時,; 當(dāng)時,. ∴當(dāng)時,函數(shù) .6分 ⑵∵由⑴知當(dāng)時,, ∴當(dāng)時, 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號 8分 ∴函數(shù)在上的最小值是,∴依題意得∴ ; 12分 考點(diǎn)：1.函數(shù)的最值及其幾何意義；2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算. 21．設(shè)，． （1）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值； （2）求證：當(dāng)時，恒有． 【答案】(1) 在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù), 在處取得極小值 ;(2)詳見解析. 【解析】 試題分析：（1）先根據(jù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間及極值即可． （2）欲證x＞ln2x-2alnx+1，即證x-1-ln2x+2alnx＞0，也就是要證f（x）＞f（1），根據(jù)第一問的單調(diào)性即可證得. 試題解析：解（1）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有， 故， 3分 于是， 列表如下： 2 0 遞減 極小值 遞增 故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值． 6 （2）證明：由知，的極小值． 于是由上表知，對一切，恒有． 從而當(dāng)時，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加． 所以當(dāng)時，，即． 故當(dāng)時，恒有． .12 考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)恒成立問題；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值. 22．已知函數(shù) （1）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若，且對于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍； 【答案】(1)詳見解析（2）. 【解析】 試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只要解導(dǎo)數(shù)的不等式即可，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性； （2）函數(shù)f（|x|）是偶函數(shù)，只要f（x）＞0對任意x≥0恒成立即可，等價于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零． 試題解析：解：（1）由得，所以． 由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是， 由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是． 4 （2）由可知是偶函數(shù)． 于是對任意成立等價于對任意成立． 由得． ①當(dāng)時，． 此時在上單調(diào)遞增． 故，符合題意． ②當(dāng)時，． 當(dāng)變化時的變化情況如下表： 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 由此可得，在上，． 依題意，，又． 綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是． 考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．.