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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題04 數(shù)列的綜合應(yīng)用強(qiáng)化突破 理（含解析）新人教版 1．(xx福州一中月考)一個三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列，對應(yīng)的三邊成等比數(shù)列，則三內(nèi)角所成等差數(shù)列的公差等于(　　) A．0　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 解析：選A　設(shè)三角形的三內(nèi)角分別為A，B，C，對應(yīng)的邊分別為a，b，c.令A(yù)，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則B＝，b2＝ac，∴cosB＝＝，可推出a＝c＝b.故A＝B＝C＝，公差為0. 2．(xx遼寧高考)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個命題： p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列； p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列； p3：數(shù)列是遞增數(shù)列； p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列． 其中的真命題為(　　) A．p1，p2　　　　 B．p3，p4 C．p2，p3　　　　 D．p1，p4 解析：選D　設(shè)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p1為真命題；若an＝3n－12，則滿足已知，但nan＝3n2－12n并非遞增數(shù)列，所以p2為假命題；若an＝n＋1，則滿足已知，但＝1＋是遞減數(shù)列，所以p3為假命題；設(shè)an＋3nd＝4nd＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p4為真命題．選D. 3．(xx溫州模擬)已知三個不全相等的實(shí)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則可能成等差數(shù)列的是(　　) A．a(chǎn)，b，c　　　　 B．a(chǎn)2，b2，c2 C．a(chǎn)3，b3，c3　　　　 D.，， 解析：選B　特值法求解，取a＝1，b＝－1，c＝1，則a2，b2，c2為1,1,1，是等差數(shù)列，故選B. 4．(xx?？谫|(zhì)檢)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1且a2，a3，a1成等差數(shù)列，則＝(　　) A.　　　　 B. C.　　　 D.或 解析：選B　據(jù)已知得a3＝a1＋a2所以a1q2＝a1＋a1q，所以q2＝1＋q，解得q＝，由于等比數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，故q＝，因此＝q＝.故選B. 5．已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿足2a2－a＋2a10＝0，首項(xiàng)為的等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，若b6＝a6，則S6＝(　　) A．16　　　　 B.　　　　 C.　　　 D. 解析：選C　由2a2－a＋2a10＝0，∴4a6＝a. ∵a6≠0，∴a6＝4.∴b6＝4. 又∵{bn}的首項(xiàng)b1＝，∴q5＝＝32.∴q＝2. ∴S6＝＝.故選C. 6．今年“五一”期間，北京十家重點(diǎn)公園舉行免費(fèi)游園活動，北海公園免費(fèi)開放一天，早晨6時30分有2人進(jìn)入公園，接下來的第一個30分鐘內(nèi)有4人進(jìn)去1人出來，第二個30分鐘內(nèi)有8人進(jìn)去2人出來，第三個30分鐘內(nèi)有16人進(jìn)去3人出來，第四個30分鐘內(nèi)有32人進(jìn)去4人出來……按照這種規(guī)律進(jìn)行下去，到上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)是(　　) A．211－47　　　　 B．212－57 C．213－68　　　　 D．214－80 解析：選B　由題意，可知從早晨6時30分開始，接下來的每個30分鐘內(nèi)進(jìn)入的人數(shù)構(gòu)成以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，出來的人數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，記第n個30分鐘內(nèi)進(jìn)入公園的人數(shù)為an，第n個30分鐘內(nèi)出來的人數(shù)為bn，則an＝42n－1，bn＝n，則上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)為S＝2＋－＝212－57. 故選B. 7．(xx襄陽五中月考)已知等差數(shù)列{an}中，a7＝，則 tan(a6＋a7＋a8)等于________． 解析：－1　由等差中項(xiàng)性質(zhì)得a6＋a7＋a8＝3a7＝，故 tan(a6＋a7＋a8)＝tan＝－1. 8．(xx廣元適應(yīng)性統(tǒng)考)有四個自然數(shù)從小到大排成一列，前三個數(shù)成等差數(shù)列，公差為2，后三個數(shù)成等比數(shù)列，則這四個數(shù)的和為________． 解析：14或21　依題意，設(shè)這四個數(shù)依次為a－2、a、a＋2、(其中a≥2，a∈N*)．由a≥2，a∈N*，且＝a＋＋4∈N，得a是4的不小于2的正約數(shù)，因此a＝2或a＝4.當(dāng)a＝2時，這四個數(shù)依次為0、2、4、8，此時這四個數(shù)的和等于14；當(dāng)a＝4時，這四個數(shù)依次為2、4、6、9，此時這四個數(shù)的和等于21. 9．(xx衡水中學(xué)月考)定義運(yùn)算：＝ad－bc，若數(shù)列{an}滿足＝1且＝12(n∈N*)，則a3＝________，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________. 解析：10,4n－2　由題意得a1－1＝1,3an＋1－3an＝12，即a1＝2，an＋1－an＝4. ∴{an}是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列． ∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝43－2＝10. 10．(xx蘇州中學(xué)調(diào)研)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，…)，則log4S10＝________. 解析：9　∵an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)．兩式相減得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an，即＝4. ∴{an}從第2項(xiàng)起是公比為4的等比數(shù)列． 當(dāng)n＝1時，a2＝3S1＝3， ∴當(dāng)n≥2時，an＝34n－2， S10＝a1＋a2＋…＋a10 ＝1＋3＋34＋342＋…＋348 ＝1＋3(1＋4＋…＋48) ＝1＋3＝1＋49－1＝49. ∴l(xiāng)og4S10＝log449＝9. 11．(xx湖北高考)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2＋a3＋a4＝－18. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由． 解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則a1≠0，q≠0. 由題意得 即 解得 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3(－2)n－1. (2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n. 若存在n，使得Sn≥2 013， 則1－(－2)n≥2 013， 即(－2)n≤－2 012. 當(dāng)n為偶數(shù)時，(－2)n>0，上式不成立； 當(dāng)n為奇數(shù)時，(－2)n＝－2n≤－2 012， 即2n≥2 012，解得n≥11. 綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}． 12．在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2，點(diǎn)An(，)在雙曲線y2－x2＝1上，數(shù)列{bn}中，點(diǎn)(bn，Tn)在直線y＝－x＋1上，其中Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (3)若cn＝anbn，求證：cn＋10)， 則a2,3＝qa1,3＝q(1＋2d)?q(1＋2d)＝6， a3,2＝q2a1,2＝q2(1＋d)?q2(1＋d)＝8， 解得d＝1，q＝2，所以a1,2＝2?an,2＝22n－1＝2n. (2)由(1)知a1，n＝n，所以bn＝＋(－1)nn， Sn＝＋[－1＋2－3＋… ＋(－1)nn]， 記Tn＝＋＋＋…＋， ① 則Tn＝＋＋＋…＋， ② ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝1－， 所以Tn＝2－， 所以當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝＋2－； 當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝－＋2－. 14．某工廠為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，今年年初新購置了一條高性能的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線在使用過程中的維護(hù)費(fèi)用會逐年增加，第1年的維護(hù)費(fèi)用是4萬元，從第2年到第7年，每年的維護(hù)費(fèi)用均比上年增加2萬元，從第8年開始，每年的維護(hù)費(fèi)用比上年增加25%. (1)設(shè)第n年該生產(chǎn)線的維護(hù)費(fèi)用為an，求an的表達(dá)式； (2)若該生產(chǎn)線前n年每年的平均維護(hù)費(fèi)用大于12萬元時，需要更新生產(chǎn)線，求該生產(chǎn)線前n年每年的平均維護(hù)費(fèi)用，并判斷第幾年年初需要更新該生產(chǎn)線？ 解：(1)由題知，當(dāng)1≤n≤7時，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列， 故an＝4＋(n－1)2＝2n＋2. 當(dāng)n≥8時，數(shù)列{an}從a7開始構(gòu)成首項(xiàng)為a7＝27＋2 ＝16，公比為1＋25%＝的等比數(shù)列， 則此時an＝16n－7， 故an＝ (2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和， 當(dāng)1≤n≤7時，Sn＝4n＋2＝n2＋3n， 當(dāng)n≥8時，由S7＝70，得Sn＝70＋16 ＝80n－7－10， 故該生產(chǎn)線前n年每年的平均維護(hù)費(fèi)用為 ＝ 當(dāng)1≤n≤7時，為遞增數(shù)列， 當(dāng)n≥8時，因?yàn)椋剑?0， 所以>，故也為遞增數(shù)列． 又＝10<12，＝＝11.25<12. ＝≈12.78>12， 故第9年年初需更新生產(chǎn)線．