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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第九章 第43課 合情推理要點導學 演繹推理 　一切奇數(shù)都不能被2整除,2100+1是奇數(shù),所以2100+1不能被2整除,其演繹推理的“三段論”的形式為:牋 　. [思維引導]嚴格依照“三段論”的模式進行表述:大前提—小前提—結論. [答案]一切奇數(shù)都不能被2整除,　(大前提) 2100+1是奇數(shù),　(小前提) 所以2100+1不能被2整除.　(結論) [精要點評]“三段論”是演繹推理的一般模式,包括第一段:大前提(已知的一般原理);第二段:小前提(所研究的特殊情況);第三段:結論(根據(jù)一般原理,對特殊情況做出的判斷). 　將函數(shù)y=2x為單調增函數(shù)的判斷寫成三段論為: [答案]指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)為單調增函數(shù),　(大前提) y=2x為底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù),　(小前提) 所以函數(shù)y=2x為單調增函數(shù).　(結論) 歸納推理 　(xx武漢模擬)下表中的數(shù)陣為“森德拉姆素數(shù)篩”,其特點是每行每列都成等差數(shù)列,記第i行第j列的數(shù)為(i,j∈N*). (1) a99=　　　　; (2) 表中的數(shù)82共出現(xiàn)　　　　次. 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … [答案](1)82　(2)5 [解析](1) a99表示第9行第9列,第1行的公差為1,第2行的公差為2……第9行的公差為9,第9行的首項b1=10,則b9=10+89=82. (2) 第1行數(shù)組成的數(shù)列{a1j}(j=1,2,…)是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以a1j=2+(j-1)1=j+1;第i行數(shù)組成的數(shù)列{aij}(j=1,2,…)是以i+1為首項、公差為i的等差數(shù)列,所以aij=(i+1)+(j-1)i=ij+1,由題意aij=ij+1=82,即ij=81,且i,j∈N,所以81=811=273=99=181=327,故表格中82共出現(xiàn)5次. 　(xx上海虹口區(qū)模擬)已知函數(shù)f(n)=n2sin,且an=f(n)+f(n+1),求a1+a2+a3+…+a2 014的值. [思維引導]因為是周期數(shù)列,為1,0,-1,0,…,故在a1+a2+…+a2 014時要分組求和. [解答]易知n為偶數(shù)時,f(n)=0. 　a1+a2+a3+…+axx =[f(1)+f(2)]+[f(2)+f(3)]+[f(3)+f(4)]+…+[f(xx)+f(xx)] =f(1)+2[f(3)+f(5)+…+f(xx)]+f(xx) =1+4(-32+52-72+92-…-2 0112+2 0132)-xx2 =1+4(3+5+…+2011+xx)-xx2 =1+4-xx2 =-4032. 類比推理 　已知正三角形內切圓的半徑r與它的高h的關系是r=h,把這個結論推廣到空間正四面體,則正四面體內切球的半徑r與正四面體高h的關系是　　　　. [答案]r=h [解析]由V=4Sr=Sh,可得r=h. 　在矩形ABCD中,對角線AC與相鄰兩邊所成的角為α,β,則cos2α+cos2β=1.類比到空間中一個正確命題是:在長方體ABCD-A1B1C1D1中,對角線AC1與相鄰三個面所成的角為α,β,γ,則有　　　　　　　　. [答案]cos2α+cos2β+cos2γ=2 已知數(shù)列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首項為1、公差為1的等差數(shù)列,a10,a11,…,a20是公差為d的等差數(shù)列,a20,a21,…,a30是公差為d2的等差數(shù)列(d≠0). (1) 若a20=40,求d. (2) 試寫出a30關于d的關系式,并求a30的取值范圍. (3) 續(xù)寫該數(shù)列,使得a30,a31,…,a40是公差為d3的等差數(shù)列,依此類推,把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列;提出同(2)類似的問題((2)應當做為特例)并進行研究,你能得到什么樣的結論? [規(guī)范答題](1) a10=10,a20=10+10d=40,所以d=3.(3分) (2) a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),(5分) a30=10,當d∈(-∞,0)∪(0,+∞)時,a30∈[7.5,+∞). (8分) (3) 所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列{an},其中a1,a2,…,a10是首項為1、公差為1的等差數(shù)列.當n≥1時,數(shù)列a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差為dn的等差數(shù)列.(10分) 研究的問題可以是:試寫出a10(n+1)關于d的關系式,并求出a10(n+1)的取值范圍. 研究的結論可以是:由a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3).依次類推可得: a10(n+1)=10(1+d+d2+…+dn)(12分) = (13分) 當d>0時,a10(n+1)的取值范圍為(10,+∞).(14分) 1. 按照如圖所示的數(shù)所呈現(xiàn)的規(guī)律,下一個數(shù)“?”代表　　　　. (第1題) [答案]112 [解析]觀察這列數(shù)可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律,依次寫成22-1,320,421,522,623,則很容易得出下一個數(shù)是724=112. 2. 在數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25項為　　　　. [答案]7 3. 下列四個圖形中,著色三角形的個數(shù)依次構成一個數(shù)列的前4項,則這個數(shù)列的一個通項公式為　　　　. (第3題) [答案]an=3n-1 [解析]由圖可知前4個圖中著色三角形的個數(shù)分別為1,3,32,33,…,猜想第n個圖的著色三角形的個數(shù)為3n-1,所以有an=3n-1. 4. 在二維空間中,圓的一維測度(周長)l=2πr,二維測度(面積)S=πr2;在三維空間中,球的二維測度(表面積)S=4πr2,三維測度(體積)V=πr3.應用合情推理,若在四維空間中,“超球”的三維測度V=8πr3,則其四維測度W=　　　　. [答案]2πr4 [解析]觀察同一維度空間里兩個維度的數(shù)量倍數(shù)關系. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習(第85-86頁).