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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練三 第3講 平面向量 理 考情解讀　1.平面向量基本定理和向量共線定理是向量運算和應(yīng)用的基礎(chǔ)，高考中常以小題形式進(jìn)行考查.2.平面向量的線性運算和數(shù)量積是高考的熱點，有時和三角函數(shù)相結(jié)合，凸顯向量的工具性，考查處理問題的能力． 1．平面向量中的五個基本概念 (1)零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0. (2)長度等于1個單位長度的向量叫單位向量，a的單位向量為. (3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量)． (4)如果直線l的斜率為k，則a＝(1，k)是直線l的一個方向向量． (5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影． 2．平面向量的兩個重要定理 (1)向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有 一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 3．平面向量的兩個充要條件 若兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. 4．平面向量的三個性質(zhì) (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ||＝. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角， 則cos θ＝＝.  熱點一　平面向量的概念及線性運算 例1　(1)(xx福建)在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) (2)如圖所示，A，B，C是圓O上的三點，線段CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外的點D，若＝m＋n，則m＋n的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1,0) 思維啟迪　(1)根據(jù)平面向量基本定理解題．(2)構(gòu)造三點共線圖形，得到平面向量的三點共線結(jié)論，將此結(jié)論與＝m＋n對應(yīng)． 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)由題意知，A選項中e1＝0，C、D選項中兩向量均共線，都不符合基底條件，故選B(事實上，a＝(3,2)＝2e1＋e2)． (2)依題意，由點D是圓O外一點，可設(shè)＝λ(λ>1)，則＝＋λ＝λ＋(1－λ). 又C，O，D三點共線，令＝－μ(μ>1)， 則＝－－(λ>1，μ>1)， 所以m＝－，n＝－. 故m＋n＝－－＝－∈(－1,0)．故選D. 思維升華　對于平面向量的線性運算問題，要注意其與數(shù)的運算法則的共性與不同，兩者不能混淆．如向量的加法與減法要注意向量的起點和終點的確定，靈活利用三角形法則、平行四邊形法則．同時，要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運算來實現(xiàn)． 　(1)(xx陜西)設(shè)0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b， 則tan θ＝________. (2)如圖，在△ABC中，AF＝AB，D為BC的中點，AD與CF交于點E.若＝a，＝b，且＝xa＋yb，則x＋y＝________. 答案　(1)　(2)－ 解析　(1)因為a∥b， 所以sin 2θ＝cos2θ，2sin θcos θ＝cos2θ. 因為0<θ<，所以cos θ>0， 得2sin θ＝cos θ，tan θ＝. (2)如圖，設(shè)FB的中點為M，連接MD. 因為D為BC的中點，M為FB的中點，所以MD∥CF. 因為AF＝AB，所以F為AM的中點，E為AD的中點． 方法一　因為＝a，＝b，D為BC的中點， 所以＝(a＋b)． 所以＝＝(a＋b)． 所以＝＋＝－＋＝－b＋(a＋b) ＝a－b. 所以x＝，y＝－，所以x＋y＝－. 方法二　易得EF＝MD，MD＝CF， 所以EF＝CF，所以CE＝CF. 因為＝＋＝－＋＝－b＋a， 所以＝(－b＋a)＝a－b. 所以x＝，y＝－，則x＋y＝－. 熱點二　平面向量的數(shù)量積 例2　(1)如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，＝2，則等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ (2)(xx重慶)在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，則||的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 思維啟迪　(1)圖O的半徑為1，可對題中向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化＝＋，＝＋； (2)利用||<，尋找，的關(guān)系． 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)∵＝2，圓O的半徑為1，∴||＝， ∴＝(＋)(＋)＝2＋(＋)＋＝()2＋0－1＝－. (2)∵⊥， ∴＝(－)(－) ＝－－＋2＝0， ∴－－＝－2. ∵＝＋. ∴－＝－＋－， ∴＝＋－. ∵||＝||＝1， ∴2＝1＋1＋2＋2(－－) ＝2＋2＋2(－2)＝2－2， ∵||<，∴0≤||2<，∴0≤2－2<， ∴<2≤2，即||∈. 思維升華　(1)數(shù)量積的計算通常有三種方法：數(shù)量積的定義，坐標(biāo)運算，數(shù)量積的幾何意義；(2)可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中模和夾角已知的向量進(jìn)行計算． 　(1)(xx江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，＝2，則的值是________． (2)已知點G是△ABC的重心，若∠A＝120，＝－2，則||的最小值是________． 答案　(1)22　(2) 解析　(1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因為＝2，所以(＋)(－)＝2，即2－－ 2＝2.又因為2＝25，2＝64，所以＝22. (2)在△ABC中，延長AG交BC于D，∵點G是△ABC的重心，∴AD是BC邊上的中線，且AG＝AD，∵＝||||cos 120＝－2，∴||||＝4，∵＝，2＝＋，∴＝(＋)， ∴2＝[(＋)]2＝[2＋2＋2]≥[2||||＋2(－2)]＝，∴2≥，∴||≥，∴||的最小值是. 熱點三　平面向量與三角函數(shù)的綜合 例3　已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α0， ∵||>0，||>0，∴cos A>0， ∴cos A＝＝ ＝， ∴||||＝＝8＝10， ∴S△ABC＝|AB||AC|sin A ＝10＝3， 即△ABC的面積為3. 三、解答題 11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸正半軸上，直線AB的傾斜角為，|OB|＝2，設(shè)∠AOB＝θ，θ∈. (1)用θ表示點B的坐標(biāo)及|OA|； (2)若tan θ＝－，求的值． 解　(1)由題意，可得點B的坐標(biāo)為(2cos θ，2sin θ)． 在△ABO中，|OB|＝2，∠BAO＝，∠B＝π－－θ＝－θ. 由正弦定理，得＝， 即|OA|＝2sin. (2)由(1)，得＝||||cos θ ＝4sincos θ. 因為tan θ＝－，θ∈， 所以sin θ＝，cos θ＝－. 又sin＝sin cos θ－cos sin θ ＝－＝， 故＝4＝－. 12．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若向量m＝(cos B,2cos2－1)與向量n＝(2a－b，c)共線． (1)求角C的大??； (2)若c＝2，S△ABC＝2，求a，b的值． 解　(1)∵m＝(cos B，cos C)，m∥n， ∴ccos B＝(2a－b)cos C， ∴sin Ccos B＝(2sin A－sin B)cos C， sin A＝2sin Acos C，∴cos C＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝. (2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴a2＋b2－ab＝12，① ∵S△ABC＝absin C＝2， ∴ab＝8，② 由①②得或. 13．在△ABC中，AC＝10，過頂點C作AB的垂線，垂足為D，AD＝5，且滿足＝. (1)求|－|； (2)存在實數(shù)t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝xy，求k的最小值． 解　(1)由＝，且A，B，D三點共線，可知||＝||. 又AD＝5，所以DB＝11. 在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75， 在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196， 所以BC＝14. 所以|－|＝||＝14. (2)由(1)，知||＝16，||＝10，||＝14. 由余弦定理，得cos A＝＝. 由x＝＋t，y＝t＋， 知k＝xy ＝(＋t)(t＋) ＝t||2＋(t2＋1)＋t||2 ＝256t＋(t2＋1)1610＋100t ＝80t2＋356t＋80. 由二次函數(shù)的圖象， 可知該函數(shù)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)t＝1時，k取得最小值516.