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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)下冊 1.2 30，45，60角的三角函數(shù)值(1)教案 北師大版 本節(jié)在前兩節(jié)介紹了正切、正弦、余弦定義的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷探索30、45、60角的三角函數(shù)值的過程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義，并能夠進(jìn)行含有30、45、60角的三角函數(shù)值的計(jì)算. 因此本節(jié)的重點(diǎn)是利用三角函數(shù)的定義求30、45、60這些特殊角的特殊三角函數(shù)值，并能夠進(jìn)行含有30、45、60角的三角函數(shù)值的計(jì)算.難點(diǎn)是利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出30、45、60這些特殊角的三角函數(shù)值. 三角尺是學(xué)生非常熟悉的學(xué)習(xí)用具，教學(xué)中，教師應(yīng)大膽地鼓勵(lì)學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)如“直角三角形中，30角所對的邊等于斜邊的一半”的特性，經(jīng)歷探索30、45、60角的三角函數(shù)值的過程，發(fā)展學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力. 教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.經(jīng)歷探索30、45、60角的三角函數(shù)值的過程，能夠進(jìn)行有關(guān)的推理.進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義. 2.能夠進(jìn)行30、45、60角的三角函數(shù)值的計(jì)算. 3.能夠根據(jù)30、45、60的三角函數(shù)值說明相應(yīng)的銳角的大小. (二)思維訓(xùn)練要求 1.經(jīng)歷探索30、45、60角的三角函數(shù)值的過程，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)的能力. 2.培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力. (三)情感與價(jià)值觀要求 1.積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心.培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問題的習(xí)慣. 2.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心. 教具重點(diǎn) 1.探索30、45、60角的三角函數(shù)值. 2.能夠進(jìn)行含30、45、60角的三角函數(shù)值的計(jì)算. 3.比較銳角三角函數(shù)值的大小. 教學(xué)難點(diǎn) 進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義. 教學(xué)方法 自主探索法 教學(xué)準(zhǔn)備 一副三角尺 多媒體演示 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 [問題]為了測量一棵大樹的高度，準(zhǔn)備了如下測量工具：①含30和60兩個(gè)銳角的三角尺；②皮尺.請你設(shè)計(jì)一個(gè)測量方案，能測出一棵大樹的高度. (用多媒體演示上面的問題，并讓學(xué)生交流各自的想法) [生]我們組設(shè)計(jì)的方案如下： 讓一位同學(xué)拿著三角尺站在一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢肂處，使這位同學(xué)拿起三角尺，她的視線恰好和斜邊重合且過樹梢C點(diǎn)，30的鄰邊和水平方向平行，用卷尺測出AB的長度，BE的長度，因?yàn)镈E=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的長度即可. [生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30，AD＝BE，BE是已知的，設(shè)BE=a米，則AD＝a米，如何求CD呢? [生]含30角的直角三角形有一個(gè)非常重要的性質(zhì)：30的角所對的邊等于斜邊的一 半，即AC＝2CD，根據(jù)勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2. CD＝a. 則樹的高度即可求出. [師]我們前面學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，如果一個(gè)角的大小確定，那么它的正切、正弦、余弦值也隨之確定，如果能求出30的正切值，在上圖中，tan30=，則CD= atan30，豈不簡單. 你能求出30角的三個(gè)三角函數(shù)值嗎? Ⅱ.講授新課 1.探索30、45、60角的三角函數(shù)值. [師]觀察一副三角尺，其中有幾個(gè)銳角?它們分別等于多少度? [生]一副三角尺中有四個(gè)銳角，它們分別是30、60、45、45. [師]sin30等于多少呢?你是怎樣得到的?與同伴交流. [生]sin30＝. sin30表示在直角三角 形中，30角的對邊與 斜邊的比值，與直角三角形的大小無關(guān).我們不妨設(shè)30角所對的邊為a(如圖所示)，根據(jù)“直角三角形中30角所對的邊等于斜邊的一半”的性質(zhì)，則斜邊等于2a.根據(jù)勾股定理，可知30角的鄰邊為a，所以sin30＝. [師]cos30等于多少?tan30呢? [生]cos30＝. tan30= [師]我們求出了30角的三個(gè)三角函數(shù)值，還有兩個(gè)特殊角——45、60，它們的三角函數(shù)值分別是多少?你是如何得到的? [生]求60的三角函數(shù)值可以利用求30角三角函數(shù)值的三角形.因?yàn)?0角的對邊和鄰邊分別是60角的鄰邊和對邊.利用上圖，很容易求得sin60=, cos60=, tan60＝. [生]也可以利用上節(jié)課我們得出的結(jié)論：一銳角的正弦等于它余角的余弦，一銳角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60＝cos(90-60)＝cos30=cos60=sin(90- 60)=sin30=. [師生共析]我們一同來 求45角的三角函數(shù)值.含 45角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如圖)設(shè)其中一 條直角邊為a，則另一條直角 邊也為a，斜邊a.由此可求得 sin45=, cos45＝, tan45= [師]下面請同學(xué)們完成下表(用多媒體演示) 30、45、60角的三角函數(shù)值 三角函數(shù)角 sinα coα tanα 30 45 1 60 這個(gè)表格中的30、45、60角的三角函數(shù)值需熟記，另一方面，要能夠根據(jù)30、45、60角的三角函數(shù)值，說出相應(yīng)的銳角的大小. 為了幫助大家記憶，我們觀察表格中函數(shù)值的特點(diǎn).先看第一列30、45、60角的正弦值，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢? [生]30、45、60角的正弦值分母都為2，分子從小到大分別為，，，隨著角度的增大，正弦值在逐漸增大. [師]再來看第二列函數(shù)值，有何特點(diǎn)呢? [生]第二列是30，45、60角的余弦值，它們的分母也都是2，而分子從大到小分別為，，，余弦值隨角度的增大而減小. [師]第三列呢? [生]第三列是30、45、60角的正切值，首先45角是等腰直角三角形中的一個(gè)銳角，所以tan45=1比較特殊. [師]很好，掌握了上述規(guī)律，記憶就方便多了.下面同桌之間可互相檢查一下對30、 45、60角的三角函數(shù)值的記憶情況.相信同學(xué)們一定做得很棒. 2.例題講解(多媒體演示) [例1]計(jì)算 (1)sin30+cos45； (2)sin260+cos260-tan45. 分析：本題旨在幫助學(xué)生鞏固特殊角的三角函數(shù)值，今后若無特別說明，用特殊角三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算時(shí)，一般不取近似值，另外sin260表示(sin60)2，cos260表示 (cos60)2. 解：(1)sin30+cos45=, (2)sin260+cos260-tan45 =()2+()2-1 = + -1 ＝0. [例2]一個(gè)小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5 m，當(dāng)秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，擺角恰好為60，且兩邊的擺動(dòng)角度相同，求它擺至最高位置時(shí)與其擺至最低位置時(shí)的高度之差.(結(jié)果精確到0.01 m) 分析：引導(dǎo)學(xué)生自己根據(jù)題意畫出示意圖，培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力. 解：根據(jù)題意(如圖) 可知，∠BOD=60， OB=OA＝OD=2.5 m， ∠AOD＝60＝30， ∴OC=ODcos30 =2.5≈2.165(m). ∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m). 所以，最高位置與最低位置的高度約為 0.34 m. Ⅲ.隨堂練習(xí) 多媒體演示 1.計(jì)算： (1)sin60-tan45； (2)cos60+tan60； (3) sin45+sin60-2cos45. 解：(1)原式＝-1=； (2)原式=+= (3)原式=+； = 2.某商場有一自動(dòng)扶梯，其傾斜角為30.高為7 m，扶梯的長度是多少? 解：扶梯的長度為=14(m)， 所以扶梯的長度為14 m. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課總結(jié)如下： (1)探索30、45、60角的三角函數(shù)值. sin30＝，sin45＝，sin60＝； cos30＝，cos45＝ ，cos60＝； tan30= ，tan45 ＝1，tan60=. (2)能進(jìn)行含30、45、60角的三角函數(shù)值的計(jì)算. (3)能根據(jù)30、45、60角的三角函數(shù)值，說出相應(yīng)銳角的大小. Ⅴ.課后作業(yè) 習(xí)題1.3第1、2題 Ⅵ.活動(dòng)與探究 (xx年甘肅)如圖為住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高AB＝CD=30 m，兩樓問的距離AC=24 m，現(xiàn)需了解甲樓對乙樓的采光影響情況.當(dāng)太陽光與水平線的夾角為30時(shí)，求甲樓的影子在乙樓上有多高? (精確到0.1 m，≈1.41，≈1.73) [過程]根據(jù)題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，當(dāng)光線從樓頂E，直射到乙樓D點(diǎn)，D點(diǎn)向下便接受不到光線，過D作DB⊥AE(甲樓).在Rt△BDE中.BD=AC＝24 m，∠EDB＝30.可求出BE，由于甲、乙樓一樣高，所以DF=BE. [結(jié)果]在Kt△BDE中，BE=DBtan30＝24=8m. ∵DF＝BE， ∴DF=8≈81.73＝13.84(m). 甲樓的影子在乙樓上的高CD=30-13.84≈16.2(m). 板書設(shè)計(jì) 1.2 30、45、60角的三角函數(shù)值 一、探索30、45、60的三角函數(shù)值1.預(yù)備知識(shí)：含30的直角三角形中，30角 的對邊等于斜邊的一半. 含45的直角三角形是等腰直角三角形. 2.30，45，60角的三角函數(shù)值列表如下： 三角函數(shù)角 角α sinα coα tanα 30 45 1 60 二、含30、45、60角的三角函數(shù)值的計(jì)算. 三、實(shí)際應(yīng)用 備課資料 參考練習(xí) 1.(xx年北京石景山)計(jì)算：. 答案：3- 2.(xx年北京崇文)汁算：(+1)-1+2sin30- 答案：- 3.(xx年廣東梅州)計(jì)算：(1+)0-｜1-sin30｜1+()-1. 答案： 4. (xx 年廣西)計(jì)算：sin60+ 答案：- 5.(xx年內(nèi)蒙古赤峰)計(jì)算；2-3-(+π)0-cos60-. 答案：-