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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)下冊 24.4 正多邊形的有關(guān)計算教案 北京課改版 教學(xué)目的： 1、使學(xué)生學(xué)會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關(guān)的計算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題． 2、通過定理的證明過程培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、推理能力、概括能力； 3、通過一定量的計算，培養(yǎng)學(xué)生正確迅速的運(yùn)算能力； 教學(xué)重點(diǎn)： 化正多邊形的有關(guān)計算為解直角三角形問題定理；正多邊形計算圖及其應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn)： 正確地將正多邊形的有關(guān)計算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題解決、綜合運(yùn)用幾何知識準(zhǔn)確計算． 教學(xué)過程： 一、新課引入： 前幾課我們學(xué)習(xí)了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)，今天我們來學(xué)習(xí)正多邊形的有關(guān)計算． 大家知道正多邊形在生產(chǎn)和生活中有廣泛的應(yīng)用性，伴隨而來的有關(guān)正多邊形計算問題必然擺在大家的面前，如何解決正多邊形的計算問題，正是本堂課研究的課題． 二、新課講解： 哪位同學(xué)回答，什么叫正多邊形．(安排中下生回答：各邊相等，各角相等的多邊形．) 什么是正多形的邊心距、半徑？(安排中下生回答：正多邊形內(nèi)切圓的半徑叫做邊心距．正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．) 正多邊形的邊有什么性質(zhì)、角有什么性質(zhì)？(安排中下生回答：邊都相等，角都相等．) 什么叫正多邊形的中心角？(安排中下生回答：正多邊形的一邊所對正多邊形外接圓的圓心角．) 正n邊形的中心角度數(shù)如何計算？(安排中下生回答：中心角的度數(shù) 正n邊形的一個外角度數(shù)如何計算？(安排中下生回答： 一個外角度 哪位同學(xué)有所發(fā)現(xiàn)？(安排舉手學(xué)生：正n邊形的中心角度數(shù)=正n邊形的一個外角度數(shù)．) 哪位同學(xué)記得n邊形的內(nèi)角和公式？(請回憶起來的學(xué)生回答)． 哪位同學(xué)能根據(jù)n邊形內(nèi)角和定理和正n邊形的性質(zhì)給出求正n邊形一個內(nèi)角度數(shù)的公式？(安排中下生回答：正n邊形每個內(nèi)角度數(shù) 正n邊形的每個內(nèi)角與它有共同頂點(diǎn)的外角有何數(shù)量關(guān)系？(安排中下生回答：互補(bǔ))． 根據(jù)正n邊形的每個內(nèi)角與它有共同頂點(diǎn)的外角的互補(bǔ)關(guān)系和正n邊形每個外角度數(shù)公式，正n邊形每個內(nèi)角度數(shù)又可怎樣計算？(安排中 (幻燈展示練習(xí)題，學(xué)生思考，回答) 1．正五邊形的中心角度數(shù)是______；每個內(nèi)角的度數(shù)是______； 2．一個正n邊形的一個外角度數(shù)是360，則它的邊數(shù)n=______，每個內(nèi)角度數(shù)是______； 3．一個正n邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是140，則它的邊數(shù)n=______，中心角度數(shù)是______． 對于前2題安排中下生回答，對于第3題不僅要回答題目的答案而且要求回答思路． 解此方程n=9． 幻燈展示正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形．如下圖，讓學(xué)生邊觀察、邊回答老師依次提出的問題、邊思考． 1．觀察每個圖形的半徑，分別將它們分割成多少個什么樣子的三角形？(安排中下生回答：等腰三角形) 2．觀察每個圖形中所得的三角形具有什么關(guān)系？為什么？(安排中等生回答：全等，依據(jù)(S．S．S)或(S．A．S)) 3．將上述四個圖形的觀察與思考推而廣之，你得出了什么結(jié)論？哪位同學(xué)說說自己的想法(安排中上生回答：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形．) 套上幻燈片的復(fù)合片：作出各等腰三角形底邊上的高，如下圖，安排學(xué)生觀察、思考并回答以下問題： 1．這些等腰三角形的每一條高都將每個等腰三角形分割為兩個直角三角形，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？(安排中下生回答) 2．這些等腰三角形的高在正多邊形中的名稱是什么？(安排中下生回答：邊心距) 3．正n邊形的n條半徑、n條邊心距將正n邊形分割成全等直角三角形的個數(shù)是多少？(安排中等生回答：2n個) 給出定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形． 再套幻燈片的復(fù)合片，如圖7-140，安排學(xué)生觀察每個直角三角形都由正多邊形的哪些元素組成． 安排中下生回答：直角三角形的斜邊是正多邊形的半徑R、一條直角邊是正多邊形的邊心距．另一直角邊是正多邊形邊長的一半(在此安排中等生回答：為什么？)半徑與邊心距的夾角是正多邊形一個中心角的一半．(安排中等生回答“為什么？”) 講解：由于這個直角三角形融合了正多邊形諸多元素，所以就可將正多邊形有關(guān)半徑、邊心距、邊長、中心角的計算問題歸結(jié)為解直角三角形的問題來解決． 幻燈給出正多邊形抽象的計算圖，教師講解： 由于正多邊形的有關(guān)計算都?xì)w結(jié)為解直角三角形的問題來解決，所以我們只要畫出這個直角三角形就可以了，其余就不畫或略畫．圖中R表示半徑，rn表示正n邊形的邊心距，an表示正n邊形的邊長，an表示正n邊形的中心角． 提問：對于給定具體邊數(shù)的正n邊形，你首先可以求出直角三角形 (教師講解)：直角三角形中一銳角已知，所以只要再給直角三角形的R、rn、an其中一項賦值就可求出其它元素．例如：(幻燈展示題目) 例1 已知：如下圖，正△ABC的邊心距r3=2． 求：R、a3． 問：要解此題，首先要做什么？(找中等生回答：畫出基本計算圖) 最后要做什么工作：(找中上生回答：選擇三角函數(shù)) 解： ∵n=3 又 完成下列各題：(幻燈展示題目) 1．已知，正方形ABCD的邊長a4=2． 求：R，r4． 2．已知：正六邊形ABCDEF的半徑R=2， 求：r6，a6． (對于計算正確且較快的學(xué)生，讓他們自擬試題進(jìn)行計算，教師重點(diǎn)輔導(dǎo)需要幫助的學(xué)生) 再回到例1，問：你會求這個正三角形的周長P3嗎？怎么求？為什么這樣求？(安排中等生回答：邊長3，因為正三角形三邊相等)． 再問：你會求這個正三角形的面積S3嗎？怎么求？為什么這樣求？(安排中等生回答：直角△AOC的面積6，由定理可知這樣的直角三角形的個數(shù)是邊數(shù)的2倍．或者，等腰△AOB的面積3，由定理可知選擇的等腰三角形的個數(shù)與邊數(shù)相同．) 請同學(xué)們分別計算上述二題的周長和面積(計算快而準(zhǔn)的學(xué)生讓其自擬題目再練習(xí)) (幻燈給出例2)：已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長a6、周長P6和面積S6． (提問)：1．首先要作什么？(安排中下生回答：畫基本計算圖) 2．然么？(安排中下生回答：選擇三角函數(shù)) ∴P6=9R． 通過上面計算，你得出正六邊形的半徑與邊長有什么數(shù)量關(guān)系？(安排中下生回答：相等)希望大家記住這個結(jié)論：a6=R，因為它不僅有利于計算而且是尺規(guī)畫正六邊形的依據(jù)． 三、課堂小結(jié)： 哪位同學(xué)能說一下，這堂課我們都學(xué)習(xí)了什么知識？(安排中等生歸納) 1．化正多邊形的有關(guān)計算為解直角三角形問題定理，2．運(yùn)用正多 角計算． 四、布置作業(yè)