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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第3章 圓 3.3 垂徑定理教案 （新版）北師大版 ◆ 模式介紹 “探究式教學(xué)”是指學(xué)生在學(xué)習(xí)概念和原理時(shí)，教師只是給他們一些事例和問題，讓學(xué)生自己通過閱讀、觀察、實(shí)驗(yàn)、思考、討論、聽講等途徑去主動(dòng)探究，自行發(fā)現(xiàn)并掌握相應(yīng)的原理和結(jié)論的一種教學(xué)方法．它的指導(dǎo)思想是在教師的指導(dǎo)下，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生自覺地、主動(dòng)地探索，掌握認(rèn)識(shí)和解決問題的方法和步驟，研究客觀事物的屬性，發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展的起因和事物內(nèi)部的聯(lián)系，從中找出規(guī)律，形成概念，建立自己的認(rèn)知模型和學(xué)習(xí)方法架構(gòu)．探究式教學(xué)法能充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用． 探究式教學(xué)通常包括以下五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)： 創(chuàng)設(shè)情境——啟發(fā)思考——探究問題——形成結(jié)論——鞏固提高 ◆ 設(shè)計(jì)說(shuō)明 首先通過問題1由學(xué)生親自動(dòng)手操作得出“圓是軸對(duì)稱圖形”的結(jié)論，為接下來(lái)證明垂徑定理打下基礎(chǔ)；問題2通過趙州橋拱的半徑問題來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望．問題3讓學(xué)生回顧圓是軸對(duì)稱圖形及其對(duì)稱軸是經(jīng)過圓心的直線，問題4顯現(xiàn)垂徑定理的條件，為即將探索與證明垂徑定理作準(zhǔn)備．問題5和問題6探索并證明了垂徑定理及其推論．最后通過例、習(xí)題的鞏固，突出了垂徑定理及其推論的應(yīng)用． ◆ 教材分析 本節(jié)是北師大版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第三章《圓》的第3節(jié)《垂徑定理》的教學(xué)內(nèi)容，本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)概念和圓的對(duì)稱性的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，本節(jié)內(nèi)容是根據(jù)圓的軸對(duì)稱性研究了垂徑定理及其有關(guān)的結(jié)論．垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是證明線段或角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為有關(guān)圓的一些計(jì)算和作圖問題提供了方法和依據(jù)． 對(duì)于垂徑定理的學(xué)習(xí)，要幫助學(xué)生分析定理的條件和結(jié)論，加深學(xué)生對(duì)定理的理解．垂徑定理相關(guān)推論的學(xué)習(xí)，可以按條件畫出圖形，讓學(xué)生通過觀察、思考、親自得出結(jié)論． ◆ 教學(xué)目標(biāo) 【知識(shí)與能力目標(biāo)】 1、探索并證明垂徑定理及其逆定理． 2、能夠運(yùn)用垂徑定理及其推論解決相關(guān)證明、計(jì)算及作圖問題． 【過程與方法】 經(jīng)歷探索垂徑定理及其逆定理的過程，發(fā)展推理能力． 【情感態(tài)度與價(jià)值觀】 歷探索垂徑定理及其逆定理的過程，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，并體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣． ◆ 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 垂徑定理及其逆定理的證明． 【教學(xué)難點(diǎn)】 利用圓的軸對(duì)稱性研究垂徑定理及其逆定理． ◆ 課前準(zhǔn)備 多媒體課件、教具等． ◆ 教學(xué)過程 【創(chuàng)設(shè)情境】 問題1 請(qǐng)拿出準(zhǔn)備好的圓形紙片，將其沿圓心所在的任一條直線對(duì)折，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？多折幾次試一試． 追問1：由折紙可知圓是軸對(duì)稱圖形嗎？ 追問2：如果是一個(gè)殘缺的圓形紙片，你能找到它的圓心嗎？ 問題2 你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦長(zhǎng))為37.4m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？（精確到0.1m） 設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1由學(xué)生親自動(dòng)手操作得出“圓是軸對(duì)稱圖形”的結(jié)論，為接下來(lái)證明垂徑定理打下基礎(chǔ)；問題2通過趙州橋拱的半徑問題來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望． 【啟發(fā)思考】 問題3 通過前面的折紙我們知道圓是軸對(duì)稱圖形，那么它有幾條對(duì)稱軸？分別是什么？ 結(jié)論：⑴圓是軸對(duì)稱圖形； ⑵經(jīng)過圓心的每條直線（注：提醒學(xué)生說(shuō)不能說(shuō)直徑）都是它的對(duì)稱軸； ⑶圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條． 問題4 如圖，對(duì)折⊙O使圓的兩半部分重合得到一條折痕CD，在OC上取一點(diǎn)M，過點(diǎn)M再次對(duì)折⊙O，使CM與MD重合，新的折痕與⊙O交于A、B兩點(diǎn)． （1）觀察圖形，它是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由． 設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}3讓學(xué)生回顧圓是軸對(duì)稱圖形及其對(duì)稱軸是經(jīng)過圓心的直線，問題4顯現(xiàn)垂徑定理的條件，為即將探索與證明垂徑定理作準(zhǔn)備． 【探究問題】 問題5 已知：如圖 ，AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的一條直徑，并且CD⊥AB，垂足M． 求證：AM=BM，，． 證明：連接OA、OB，則OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直線CD是等腰△AOB的對(duì)稱軸，又是⊙O的對(duì)稱軸．所以沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，AM和BM重合，、分別和、重合．因此，AM=BM，，． 追問：你還有其他方法證明這個(gè)結(jié)論嗎？ 說(shuō)明：可以用全等三角形知識(shí)來(lái)證明． 問題6 如圖，AB是⊙O的弦（不是直徑），作一條平分AB的直徑CD，交AB于點(diǎn)M． （1）觀察圖形，它是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由． （3）AB與CD的位置關(guān)系如何？說(shuō)一說(shuō)你的理由． 解：，，．理由如下： 連接OA、OB，則OA=OB．又∵AM=BM，∴△AOM≌△BOM，∴∠AMO=∠BMO=90，∴，∴直線CD是等腰△AOB的對(duì)稱軸，而CD又是⊙O的對(duì)稱軸．所以沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，、分別和、重合．因此，，，． 【形成結(jié)論】 你能文字語(yǔ)言敘述問題5和問題6中的結(jié)論嗎？ 問題5的結(jié)論（垂徑定理）：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。? 問題6的結(jié)論（垂徑定理的推論）：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧． 追問：如果弦AB是直徑，以上結(jié)論還成立嗎？ 類似還有如下結(jié)論： （1）平分弦所對(duì)的兩條弧的直徑，垂直平分弦； （2）弦的垂直平分線，必過圓心且平分弦所對(duì)的兩條弧． 【鞏固提高】 例1 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中，點(diǎn)O是的圓心)，其中CD=600m，E為上一點(diǎn)，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m．求這段彎路的半徑． 解：連接OC． 設(shè)彎路的半徑為Rm，則OF=（R－90）m． ∵OE⊥CD， ∴（m）． 在Rt△OCF中，根據(jù)勾股定理，得，即． 解這個(gè)方程得R＝545． 所以，這段彎道的半徑是545m． 追問：現(xiàn)在能解決課前提出的趙州橋問題了嗎？ 解： 如圖，由題意可知，AB=37m，CD=7.23m，所以AD=AB＝18.5m，． 在Rt△OAD中，由勾股定理，得，即，解得（m）． 因此，趙州橋的主橋拱半徑為27.3m． 學(xué)生練習(xí)1 課本76頁(yè)隨堂練習(xí)第2題． 學(xué)生練習(xí)2 如圖，已知，請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖的方法作出的中點(diǎn)，說(shuō)出你的作法． 作法：(1)連接AB； (2)作AB的中垂線，交于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的點(diǎn)． 課堂小結(jié)： 本節(jié)課你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？ 在利用垂徑定理解決問題時(shí)，你掌握了哪些數(shù)學(xué)方法？ 1、本節(jié)課我們探索了圓的軸對(duì)稱性； 2、利用圓的軸對(duì)稱性研究了垂徑定理及其逆定理； 3、垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問題． 布置作業(yè)： 1、教科書習(xí)題3.3第1題、第2題．（必做題） 2、教科書習(xí)題3.3第3題、第4題．（選做題） ◆ 教學(xué)反思 略．